Kolokwium 1
Zadania przykładowe
1. Rozwiązać nadokreślony układ równań
2x + 3y = 6 , x = 5 / 2y , 3x - y = 7
metodą najmniejszych kwadratów. Problem i jego rozwiązanie przedstawić graficznie.
0 12 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
2. Dana jest macierz 2 13 12śł . Obliczyć normy i Euklidesa tej macierzy.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚41 2 0 śł
ûÅ‚
2
îÅ‚ -1
Å‚Å‚
3. Dokonać rozkładu macierzy A = na czynniki trójkątne LU. Obliczyć wyznacznik oraz
ïÅ‚-1 5 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
rozwiązać układ równań 2x - y = -5 , - x + 5y = 7 metodą Gaussa.
4. Podać algorytm iteracyjnego rozwiązania układu równań
(x -1)2 + (y - 2)2 = 2 , 2y = (x - 5 / 2)2
metodą Newtona-Raphsona. Startując z punktu (3/4,1) wykonać dwa kroki iteracji. Oszacować błąd
otrzymanego rozwiÄ…zania w normie Euklidesa.
5. Podać schematy iteracyjne rozwiązania równania y5 - 2y3 / 2 = 16 metodami:
(i) iteracji prostej, (ii) bisekcji, (iii) Newtona, (iv) siecznych, (v) regula falsi.
6. Zadanie 5 rozwiązać metodą Newtona. Przyjąć punkt startowy y0 = 3/ 4 . Wykonać dwa kroki
iteracji. Po dwu krokach określić błąd rozwiązania.
7. Wartości własne macierzy F wynoszą 1=0.2, 2= - 2.5, 3= - 3.3, 4= - 4.6. Do której wartości
własnej k, k=1,2,3,4 będą zbieżne metody potęgowa i odwrotna przy przesunięciu widma macierzy F
o wartość 19/4, -9/5, 4/6, 0 ?
10 3
îÅ‚ Å‚Å‚
8. Znalez
ć wartości i wektory własne macierzy
ïÅ‚ śł
3 10
ðÅ‚ ûÅ‚
- korzystając z definicji problemu własnego
- metodą potęgową i odwrotną. Oszacować błędy takiego rozwiązania po dwóch krokach iteracji.
Przyjąć wektor startowy {-1, 1}
- dokonać oszacowania widma wartości własnych metodą Gerszgorina.
9. Udowodnić, że rzutowanie wektora na prostą jest tensorem. Podać macierz reprezentującą ten tensor.
10. Wartości własne macierzy A wynoszą 1, 2, 4, 5. Obliczyć wartości własne macierzy
C = - 2 A3 + 4 A2 + 5 A  3 I.




a + bex
xi-1 < xi < xi+1
fi2 H" Ä…1fi-1 + Ä…2fi + Ä…3fi+1
fi2 2 H" ²1fi-1 + ²2fi + ²3fi+1

sin x
f(x) =
x
x = 5 xi-1 xi+1

Ä„
sin x x
0


0.1
dy
= x3 - 2y3, y(0) = 1
dx


u2 2 + u2 + u = x2, x " (0, 3)
u2 (0) = 1
u(3) = 2



10kN/m

100kN
3m