OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI
1. Zapis konstrukcji
Model matematyczny konstrukcji  jest zapisem konstrukcji pozwalajÄ…cym na komputerowe
wspomaganie procesu konstruowania
Zapis konstrukcji podlega ewolucji, problemom zapisu konstrukcji poświęcony jest przedmiot 
rysunek techniczny
Wymagania odnośnie zapisu konstrukcji:
- warunek jednoznaczności: zapis nie powinien wymagać dodatkowych wyjaśnień i przez
każdego odbiorcę powinien zostać odczytany identycznie
- warunek zupełności zapisu: odbiorca może stwierdzić, że przedstawiony zapis jest
wystarczajÄ…cym i koniecznym przekazem
- liczba zastosowanych do zapisu znaków powinna być jak najmniejsza  ale wystarczająca
- rodzaj stosowanych znaków powinien odpowiadać celom wykonania zapisu
- zapis konstrukcji powinien być trwały i zabezpieczony przed nieupoważnionym dostępem
2. Matematyczny model konstrukcji
Istota konstruowania i zapisu konstrukcji polega na doborze i zapisie cech konstrukcyjnych
projektowanej maszyny.
Cechy geometryczne: kształt, powiązania elementów, wymiary i tolerancje, geometrię
powierzchni
Cechy materiałowe: informacja określająca strukturę wewnętrzną elementów maszyn: rodzaj
materiału, parametry obróbki cieplnej, własności wytrzymałościowe, własności chemiczne,
fizyczne
Cechy dynamiczne: informacja o naprężeniach wewnętrznych, obciążenia zewnętrzne i ich
charakterystyki
Powyższe cechy można zapisać liczbowo jaki układ N liczb lub funkcji
Przestrzeń konstrukcji:
X=(X1,...., X )"EK
N
Do przestrzeni konstrukcji można zaliczyć wektor X, którego współrzędne określają cechy konstrukcji,
Jeżeli cechy są liczbami wówczas wektor X będzie należał do przestrzeni euklidesowej. Współrzędne
mogą być typu:
- parametry  stałe dla konstrukcji
- zmienne decyzyjne  wielkości dobierane w procesie konstruowania, w dalszym ciągu oznaczane
jako: x1, x2,& .,xn
Przestrzeń zmiennych decyzyjnych lub przestrzeń rozwiązań oznacza się symbolem Ex, zatem:
x=(x1,..., xn )"Ex
3. Matematyczne zapisy zasad konstrukcji
Konstruktor może przyjmować tylko pewne wartości zmiennych decyzyjnych co wynika z
ograniczeń nakładanych na konstrukcję
Zasada 1, ogólna: Konstrukcja powinna spełnić wszystkie ograniczenia w stopniu
niemniejszym: dla każdej zmiennej decyzyjnej xi można ustalić wstępnie zakres zmienności:
xi mind"xid"xi max ,i=1,..., n
- zmienne decyzyjne przyjmują wartości:
a) ciągłe w pewnym zakresie
b) dyskretne, wynikające np. z normalizacji, liczba zębów jest całkowita w kole zębatym itd.
Zbiór wartości zmiennych decyzyjnych spełniających wszystkie ograniczenia nazywa się
zbiorem dopuszczalnym Åš
Åš = Åš(x) ‚" Ex
Konstrukcja spełniająca zasadę 1 w zapisie matematycznym będzie miała postać:
x " Åš ‚" Ex
Zasady szczegółowe określają ograniczenia lub kryteria optymalizacyjne, można je zapisać
następująco:
Q(x)=(q1(x),...,qm (x))
4. Optymalizacja i polioptymalizacja konstrukcji
Zadanie optymalizacji konstrukcji: wybór ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych, rozwiązań,
dla których wartość funkcji celu, będącej kryterium optymalizacji, osiąga wartość
ekstremalną. Gdy występuje wiele kryteriów optymalizacji pojawia się zadanie
polioptymalizacji.
W przypadku minimalizacji funkcji celu rozwiązanie optymalne można zdefiniować
następująco:
(xopt"Åš) :"(x"Åš)Q(x)e"Q(xopt )
a w przypadku maksymalizacji:
(xopt " Åš) : "(x " Åš)Q(x) d" Q(xopt )
5. Przykład 1
Należy zbudować model matematyczny wału drążonego (rys) przenoszącego
moment skrętny M=1000 Nm. Zadany jest materiał. Z którego wykonany jest wał
(stal C55), oraz dopuszczalne naprężenia na skręcanie ks=100 MPa. Ze
względów technologicznych powinien być spełniony warunek: a1względów konstrukcyjnych warunek Db=0,05m
RozwiÄ…zanie:
a) dobór zmiennych decyzyjnych i parametrów
zmienne decyzyjne: zewnętrzna i wewnętrzna średnica wału, czyli x=(d,D)
parametry: M=1000 Nm, ks=100MPa, a1=0,2, a2=08, b=0,05m
b) określenie zbioru dopuszczalnego
- są to wszystkie wartości zmiennych decyzyjnych: d, D, które spełniają warunek
wytrzymałościowy i pozostałe ograniczenia, d i D muszą być liczbami dodatnimi
- zapis matematyczny:
 Warunek wytrzymałościowy
M D
s
Äs= d"ks
2Jo
Po podstawieniach:
4 4
D -d -5,1Å"10-5 De"0
Pozostałe ograniczenia:
d>a1D, d0, D>0
Po podstawieniu danych liczbowych, zbiór dopuszczalny:
4
Åš = {x = (d, D) : D4 - d - 5,1Å"10-5 D e" 0;d > a1D;d < a2D; D < b;d > 0; D > 0}
c) kryterium optymalizacyjne: minimalizacja masy  czyli minimalizacja przekroju poprzecznego:
Ä„
2
Q(d, D)= (D2-d )
4
- znalez
ć takie wartości (dopt,Dopt) aby wartość funkcji celu Q była minimalna
d) rozwiÄ…zanie graficzne
e)
f) rozwiÄ…zanie optymalne: punkt A
Dopt=0,044 m; dopt=0,035 m; Q=0,000525 m2