Jak przedstawiać niepewności pomiarowe i jak z nich korzystać.
1. Eksperyment. Wyznacz przyspieszenie ziemskie korzystając z wahadła
matematycznego. Przeanalizuj jakimi niepewnościami pomiarowymi obar-
czony jest wynik i porównaj otrzymaną wartość z wartością tablicową.
2. W poniższej tabeli przedstawiono pomiary gęstości korony wykonane
przez dwóch ekspertów. Na ich podstawie roztrzygnij, czy korona jest wy-
konana z czystego zÅ‚ota, Ázota = 15, 5 g/cm3, czy ze stopu Ástopu = 13, 8
g/cm3.
Otrzymany wynik Ekspert A Ekspert B
Wartość oczekiwana Ákorony 15 13,9
Zakres prawdopodobieÅ„stwa Ákorony 13,5 - 16,5 13,7 - 14,1
3. Przepisz następujące odpowiedzi w najbardziej czytelnej formie z od-
powiedniÄ… liczbÄ… cyfr znaczÄ…cych:
a) h = 5, 03 Ä… 0, 04329 m;
b) t = 19, 5432 Ä… 1 s;
c) q = -3, 21 · 10-19 Ä… 2, 67 · 10-20 C;
d)  = 0, 000000563 Ä… 0, 00000007 m;
e) p = 3, 267 · 103 Ä… 42g · cm/s.
4. Student pięciokrotnie mierzy gęstość cieczy (w g/cm3) i otrzymuje
wyniki: 1,8; 2,0; 2,0; 1,9; 1,8. Jakie jest najlepsze przybliżenie i niepewność
tego pomiaru. Jaka jest rozbieżność pomiędzy najlepszym przybliżeniem a
wartością uznaną równą 1,85 g/cm3? Czy jest ona znacząca?
5. Aby zmierzyć czas 10 obrotów stolika obrotowego, użyto zegarka. Czas
ten określono odejmując czasy początku i końca pomiaru. Jaka jest niepew-
ność czasu dla 10 obrotów, jeśli czasy początkowy i końcowy, określone zo-
stały z niepewnością ą1 s każdy.
6. Oblicz niepewności procentowe dla pięciu pomiarów wymienionych w
zadaniu 3.
7. Linijka ma działki co 1 mm, suwmiarka zaś co 0,1 mm. Przypuśćmy,
że chcesz zmierzyć długość 2 cm z dokładnością 1 %. Czy możesz to zrobić
używając linijki? Czy jest to możliwe za pomocą suwmiarki?
8. W powyższej tabeli przedstawiono wartości początkowego L i końco-
wego L momentu pędu pewnego obracającego się układu, otrzymane przez
studenta w doświadczeniu sprawdzającym zasadę zachowania momentu pędu.
Dodaj do tabeli jeszcze jedną kolumnę z różnicą L - L i jej niepewność. Czy
wyniki studenta są zgodne z zasadą zachowania momentu pędu?
Początkowy moment pędu L Końcowy moment pędu L
3, 0 Ä… 0, 3 2, 7 Ä… 0, 6
7, 4 Ä… 0, 5 8, 0 Ä… 1
4, 3 Ä… 1 16, 5 Ä… 1
25 Ä… 2 24 Ä… 2
32 Ä… 2 31 Ä… 2
37 Ä… 2 41 Ä… 2
9. KorzystajÄ…c z danych z poprzedniego zadania, narysuj wykres za-
leżności końcowego momentu pędu L od początkowego momentu pędu L.
Zamieść na nim pionowe i poziome kreski granic błędu. Na jakiej krzywej
według Ciebie powinny się układać punkty eksperymentalne? Czy z dokład-
nością do niepewności pomiarowych punkty te leżą na spodziewanej krzywej?
10. W tabeli przedstawione są wyniki doświadczenia sprawdzającego
prawo Hooke a: F = kx, F = mg. Sprawdz
graficznie czy wydłużenie sprę-
żyny jest proporcjonalne do masy m? Na wykresie zaznacz podane błędy
pomiarowe.
Obciążenie m [g] 200 300 400 500 600 700 800 900
(´ m zaniedbywalnie maÅ‚e)
Wydłużenie x [cm] 1,1 1,5 1,9 2,8 3,4 3,5 4,6 5,4
(wszystkie Ä…0, 3)
11. Tabela przedstawia wyniki doświadczenia, w którym badano rzut pio-
nowy do góry; v2 oznacza kwadrat prędkości, z jaką został rzucony kamień,
h oznacza wysokość, na jaką wziósł się kamień.
h [m] v2 [m2/s2]
0, 4 Ä… 0.05 7 Ä… 3
0, 8 Ä… 0.05 17 Ä… 3
1, 4 Ä… 0.05 25 Ä… 3
2, 0 Ä… 0.05 38 Ä… 4
2, 6 Ä… 0.05 45 Ä… 5
3, 4 Ä… 0.05 62 Ä… 5
3, 8 Ä… 0.05 72 Ä… 6
a) Wykonaj wykres zależności v2 od h, zaznaczając pionowe i poziome
granice błędu. Czy wykres jest zgodny z przewidywalną zależnością v2 " h?
b) Na podstawie wykresu wyznacz graficznie najbardziej prawdopodobnÄ…
wartość 2g oraz jej błąd. Czy wynik jest zgodny z wartością uznaną 2g = 19, 6
m/s2.
12. a) Student postanowił sprawdzić, w doświadczeniu z wahadłem ma-
tematycznym, czy okres T jest niezależny od amplitudy A (zdefiniowanej
jako największy kąt wychylenia wahadła). Otrzymał wyniki przedstawione
w tabeli. Narysuj wykres zależności T od A. Narysuj dwa wykresy, jeden
zawierający początek układu współrzędnych i drugi zawierający tylko warto-
ści T pomiędzy 1,9 s a 2,2 s. Czy można stwierdzić, czy okres wahadła jest
niezależny od amplitudy?
Amplituda A [stopnie] Okres T [s]
5 Ä… 2 1, 932 Ä… 0, 005
17 Ä… 2 1, 94 Ä… 0, 01
25 Ä… 2 1, 96 Ä… 0, 01
40 Ä… 4 2, 01 Ä… 0, 01
53 Ä… 4 2, 04 Ä… 0, 01
67 Ä… 6 2, 12 Ä… 0, 02
b) Przedyskutuj, w jaki sposób wnioski z punktu (a) mogłyby się zmienić,
jeśli zmierzony okres T był obarczony niepewnością ą3 s.
13. Aby znalez
ć przyspieszenie wózka, student zmierzył jego początkową
i końcową wartość vp i vk, a następnie obliczył ich różnicę vk - vp. Wyniki
jego doświadczenia dla dwóch prób przedstawione są w tabeli. Wszystkie
pomiary miały niepewność 1 %.
vp [cm/s] vk [cm/s]
Pierwsza próba 14,0 18,0
Druga próba 19,0 19,6
a) Oblicz niepewność bezwględną dla wszystkich czterech pomiarów, znajdz

różnicę vk - vp, a także jej niepewność dla obu prób.
b) Znajdz
niepewność procentową dla każdej z dwóch wartości (vk - vp).
14. a) Student mierzy dwie wielkości a i b, otrzymując wyniki: a =
11, 5 ą 0, 2 cm i b = 25, 4 ą 0, 2 cm. Następnie oblicza iloczyn q = ab. Znajdz

odpowiedz
, podając zarówno niepewność bezwzględną, jak i procentową.
b) Powtórz punkt (a) dla pomiarów a = 10 ą 1 cm i b = 27, 2 ą 0, 1 s.
c) Powtórz punkt (a) dla pomiarów a = 3, 0 m ą 8% i b = 4, 0 kg ą 2%.
15. a) Student zmierzył dwie wielkości x i y: x = 10 ą 1 i y = 20 ą 1.
Jakie jest najlepsze przybliżenie iloczynu q = xy? Wykorzystując największe
i najmniejsze prawdopodobne wartości x i y, oblicz największą i najmniejszą
prawdopodobną wartość q. Porównaj swój wynik z wynikiem danym przez
regułę:
´q ´x ´y
+ (1)
|qnp| xnp ynp
b) Powtórz obliczenia dla pomiarów: x = 10 ą 8 i y = 20 ą 15.
16. W wyniku pomiaru otrzymano nastÄ™pujÄ…ce wartoÅ›ci: x Ä… ´x i y Ä… ´y.
Wyprowadz
wzór na oszacowanie niepewności x + y oraz x - y.
17. Eksperymentator miesza ciecze z dwóch zlewek. Uprzednio zważył
zarówno pełne, jak i puste zlewki. Na podstawie podanych wyników, oblicz
masę M mieszaniny oraz określ, z jaką niepewnością została ona wyznaczona.
Masa pierwszej zlewki z zawartością: M1 = 540 ą 10 g;
Masa pustej pierwszej zlewki: m1 = 72 Ä… 1 g;
Masa drugiej zlewki z zawartością: M2 = 940 ą 20 g;
Masa pustej drugiej zlewki: m1 = 97 Ä… 1 g.
18. W wyniku pomiaru otrzymano nastÄ™pujÄ…ce wartoÅ›ci: x Ä… ´x i y Ä… ´y.
Wyprowadz
wzór na oszacowanie niepewnoÅ›ci x · y oraz x/y.
19. Przypuśćmy, że zostały zmierzone trzy wielkości: x = 8, 0 ą 0, 2;
y = 5, 0 Ä… 0, 1; z = 4, 0 Ä… 0, 1. Wyraz
podane niepewności w postaci procen-
towej i oblicz q = xy/z oraz niepewność ´q.
20. Zmierzono trzy odległości: l1 = 60, 0 ą 0, 5, l2 = 1, 65 ą 0, 05,
l1l2
l3 = 3, 0 ą 0, 15. Oblicz najlepsze przybliżenie l = oraz jego niepew-
l3
ność.
21. Zmierzona została grubość T 200 kartek papieru i wynosi: T =
3, 3 ą 0, 2 cm. Oblicz grubość pojedynczej kartki i jej niepewność.
22. Została zmierzona średnica okręgu d = 5, 0ą0, 1 cm. Wyznacz obwód
okręgu i jego niepewność.
23. Długość boku pewnego sześcianu wynosi a = 2, 00 ą 0, 02 cm. Za-
mień niepewność tego pomiaru na niepewność procentową i oblicz objętość
sześcianu wraz z niepewnością.
24. Przypuśćmy, że znajdujemy przyspieszenie ziemskie na podstawie
spadku swobodnego, mierząc czas t, w jakim kamień spada z wysokości h,
1
h = gt2. Oblicz przyspieszenie ziemskie oraz określ jego niepewność dla
2
następujących wyników: t = 1, 6 ą 0, 1 s i h = 13, 9 ą 0, 1 m.