www.iwiedza.net
Podstawy fizyki kwantowej.
Zadania z rozwiązaniami.
1
Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne
Progowa długość fali dla wybicia fotoelektronów z metalicznego sodu wynosi
5.45 �"10-7 m
a. wyznacz maksymalną prędkość elektronów wybijanych przez światło o długości fali
2�"10-7 m
b. jakie jest napięcie hamujące dla fotoelektronów wybijanych z sodu przez światło o długości
fali .
2�"10-7 m
Rozwiązanie
Znając progową długość fali na wybicie elektronu możemy obliczyć, jaka jest praca wyjścia
(praca potrzebna do wybicia elektronu z powierzchni metalu) dla sodu. Pomiędzy długością fali światła a
energią fotonu jest związek:
E = h�
1
� =
gdzie . Długość fali to inaczej odległość, jaką pokonuje fala w czasie jednego okresu,
T
c
� =
więc dla światła  = cT . Uwzględniając powyższe

hc
E =

hc
Ww =
gr
Ww gr
- praca wyjścia, - graniczna długość fali
Jeśli cała energia padającego fotonu zostanie zużyta na wybicie elektronu to elektron będzie
miał energię
E = h� -Ww
hc hc
E = -
 gr
Oczywiście E jest energią kinetyczną elektronu, więc można napisać
2
�ł �ł
me� 1 1
�ł
= hc�ł -
�ł
2  gr �ł
�ł łł
www.iwiedza.net
�ł �ł
2hc 1 1
2
�ł �ł
� = -
me �ł  gr �ł
�ł łł
�ł �ł
2hc 1 1
�ł �ł
� = -
me �ł  gr �ł
�ł łł
�ł - 1�ł
�ł
gr
2hc
�ł
� =
me �ł gr �ł
�ł łł
Obliczenie napięcia hamującego też nie jest problemem. Wystarczy energię elektronu w
dżulach podzielić przez ładunek elektronu. Po podstawieniu
m
� = 1.18 �"106
s
E = 6,29 �"10-19 J
U = 3.93V
2
Fale materii
Ile wynosi długość fali przypisana elektronowi o energii 100 eV.
Rozwiązanie
Długość fali cząstki materialnej poruszającej się z prędkością v jest opisana wzorem:
h
 =
m�
gdzie h oznacza stałą Plancka (tzw. kwant działania); m masa cząstki. Energia kinetyczna
elektronu to
2
me�
E =
2
więc
2E
� =
me
po podstawieniu do zależności na 
h
 =
2Eme
Energia wstawiana do powyższego wzoru musi być w J, należy więc dokonać zamiany
.
100eV = 100 �"1.602 �"10-19 J
Po podstawieniu wartości liczbowych dostajemy wynik
 = 1.23�"10-10 m
www.iwiedza.net
3
Model planetarny atomu według Bohra
Załóż, że model planetarny opisuje ruch elektronu w atomie wodoru. Jeśli promień orbity
elektronu wynosi oblicz:
5.3�"10-11m
a. częstość kołową elektronu,
b. prędkość liniową elektronu,
c. energię kinetyczną elektronu w eV. Jaka jest minimalna energia potrzebna do zjonizowania
atomu?
Rozwiązanie
Oczywiście trzeba pamiętać, że model Bohra jest błędny i nie oparty na żadnych konkretnych
przesłankach fizycznych. W zadaniu zakłada się jednak, że atom wodoru jest zbudowany tak
jak to opisał Bohr.
Wtedy rozważamy ruch elektronu wokół masywnego jądra*. Pomiędzy
*Przyjmujemy, i nie jest to
wielkim błędem, że środek
elektronem a protonem występuje kulombowskie oddziaływanie
masy układu jądro elektron
przyciągające
znajduje się jądrze. Elektron
ma masę
e2
F =
me = 9.109 �"10-31kg .
4Ą�0r2
Natomiast proton
(stanowiący jądro atomu
Jest to jednocześnie siła dośrodkowa w ruchu po okręgu. Jak
mp = 1.676 �"10-27 kg
wodoru) .
pamiętamy z lekcji fizyki siła dośrodkowa wyraża się wzorem
2 Jak widać jest to różnica
�
czterech rzędów wielkości.
Fd = m
r
gdzie v prędkość liniowa ciała poruszającego się po okręgu; r promień okręgu; m masa ciała;
W tym zadaniu siła dośrodkowa wygląda następująco:
2
�
Fd = me
r
i jest równa sile oddziaływania elektrostatycznego, więc:
2
� e2
me =
r 4Ą�0r2
i dostajemy prędkość liniową
e2
� =
4Ą�0rme
Częstość kołową uzyskamy łatwo, gdy zauważymy, że:
2Ąr
� =
T
� 2Ą
= = �
r T
więc
www.iwiedza.net
1 e2
� =
r 4Ą�0rme
Obliczenie energii kinetycznej też nie stanowi problemu.
2
� me e2
=
2 8Ą�0r
e2
E =
8Ą�0r
*Elektron i jądro w atomie
tworzą stan związany,
Aby obliczyć energię jonizacji trzeba znać całkowitą energię
podobnie w stanie
elektronu, czyli nie tylko energię kinetyczną, ale i potencjalną. Suma
związanym są Ziemia i
tych energii daje energię całkowitą i dla stanów związanych* jest
Księżyc czy Ziemia i stacja
zawsze ujemna.
orbitalna. Gdy ludzie
wysyłają sondy kosmiczne
Energia potencjalna układu proton { elektron wyraża się wzorem
poza układ słoneczny to
e2
nadają im taką energię,
E = -
aby nie tworzyły stanów
4Ą�0r
związanych z innymi
Energia całkowita wyrazi się sumą
planetami.
Ec = Ep + Ek = E
jonizacji
e2 e2
E = - +
jonizacji
4Ą�0r 8Ą�0r
co po sprowadzeniu do wspólnego mianownika daje
e2
E = -
jonizacji
8Ą�0r
Ostatecznie po podstawieniu otrzymujemy wyniki:
� = 4.12 �"1016 s-1
m
� = 2185993
s
Ek = 13.6eV
E = -13.6eV
jonizacji
www.iwiedza.net
4
Widmo wodoru
Znajdz
długość fali w metrach dla pierwszych trzech linii serii Lymana dla
wodoru. W jakim obszarze widma leżą te linie.
Rozwiązanie
Seria Lymana obejmuje przejścia z powłok wyższych na powłokę pierwszą, czyli gdy n = 1,
m = 2, 3, 4,& Długość fali można obliczyć ze wzoru Balmera-Rydberga
1 1 1
�ł
= R�ł - �ł
�ł
 n2 m2 łł
�ł
gdzie oznacza stałą Rydberga.
R = 10973731.534m-1
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy
21 = 121.5nm
31 = 102.5nm
41 = 97.2nm
5
Przejście elektronowe
Elektron w atomie wodoru przechodzi ze stanu n = 5 do stanu podstawowego n = 1. Znajdz

energię i pęd emitowanego fotonu.
Rozwiązanie
Wykorzystując wzór z poprzedniego zadania dostajemy
1 1 1
�ł
= R�ł - �ł
�ł
 n2 m2 łł
�ł
1 m2 - n2
= R
 n2m2
Wzór na energię jest już znany
hc
E = h� =

więc wykorzystując wzór Rydberga
m2 - n2
E = hcR
n2m2
Pęd obliczymy ze wzoru
2 2
E = m0 c4 + p2c2
Foton nie ma masy spoczynkowej (m = 0), więc jeden człon wyrażenia znika i zostaje tylko
0
2
E = p2c2
w ten sposób po przekształceniu otrzymujemy wyrażenie na pęd fotonu
www.iwiedza.net
E
p =
c
Podstawiając wcześniejsze związki
h
p =

m2 - n2
p = hR
n2m2
Po podstawieniu wartości liczbowych:
E = 13.1eV
p = 6.98 �"10-27 m �" s-1 �" kg
6
Model Bohra
W modelu atomu wodoru Bohra orbity, n = 1,2,3,& są oznaczone
literami K, L, M,& . Dla elektronów na każdej z orbit K, L, M, oblicz:
a. promieniowanie orbit,
b. częstość obiegu,
c. prędkości liniowe,
d. momenty pędu,
e. całkowitą energię układu.
a. Pytanie jest nieprecyzyjnie sformułowany. Postulat Bohra mówi o tym, że elektrony
poruszające się po orbitach nie promieniują energii (inaczej musiałyby spadać na jądro).
Fotony są wyświecane wtedy, gdy następuje przejście elektronu z orbity wyższej na niższą.
Można, więc wykorzystać wzór Rydberga do wyznaczenia długości fal wypromieniowanych
przy przejściach:
21 = 121.5nm
31 = 102.5nm
32 = 656.1nm
b. Należy wyprowadzić wzór ogólny, pozwalający obliczyć promień dowolnej orbity
Bohrowskiego wodoru. Należy to zrobić w oparciu o postulat mówiący o skwantowaniu
momentu pędu elektronu na orbicie.
h
L = n
2Ą
gdzie L jest momentem pędu na orbicie n. Dla przypomnienia moment pędu jest iloczynem
r�
r� r�
wektorowym promienia wodzącego i pędu L = r � p . W przypadku toru będącego okręgiem
wartość momentu pędu wyraża się jako
L = m�r .
Nie będę przeprowadzał całego wywodu dotyczącego wzoru na częstość obiegu (można go
znalez
ć w podręcznikach do szkoły średniej). Ograniczę się do podania wzoru.
www.iwiedza.net
e2
� =
4Ą�0mern3
gdzie
�0h2
rn = n2
Ąmee2
Po podstawieniu wielkości liczbowych otrzymamy
�1 = 4.1�"1016 s-1
�2 = 5.1�"1015 s-1
�3 = 1.5�"1015 s-1
�
c. Obliczenie prędkości liniowych polega jedynie na wymnożeniu częstości przez promień
� = �nrn
n
m
�1= 2175459
s
m
� = 1087729
2
s
m
�3= 725153
s
d. Podstawiamy wartości do wzoru
h
Ln = n
2Ą
L1 = 1.0603�"10-34 m2s-1kg
L2 = 2.1206 �"10-34 m2s-1kg
L3 = 3.1809 �"10-34 m2s-1kg
e. Całkowita energia układu.
me4
En = -
2
8�0 h2n2
E1 = -13.6eV
E2 = -3.4eV
E3 = -1.5eV
www.iwiedza.net
Równanie Schr�dingera
Funkcja falowa
7
2Ąn
� ( x) = An sin�ł x�ł
�ł �ł
L
�ł łł
jest zdefiniowana jedynie w obszarze 0 <= x <= L. Skorzystaj z warunku normalizacji do
obliczenia stałej A .
n
Rozwiązanie
Warunek normalizacji mówi o tym, że całka kwadratu modułu funkcji falowej po całej
przestrzeni jest równa 1. Tutaj warunek będzie miał postać następującą.
L
2Ąn
2
An sin2�ł x�łdx = 1
�ł �ł
+"
L
�ł łł
0
L
2Ąn
2
An sin2�ł x�łdx = 1
�ł �ł
+"
L
�ł łł
0
Zastosujemy zamianę zmiennych. Niech
2Ąn
u = x
L
wtedy
2Ąn
L
2
An sin2(u)du = 1
+"
2Ąn
0
Obliczając całkę dostajemy, (Całkę można spisać z tablic lub, jeśli ktoś chce, obliczyć metodą "przez
części".)
2Ąu
2Ąn
�ł- 1 1
2
+"sin (u)du = �ł 2 sinu cosu + 2 ułł = Ąn
�ł śł
�ł0
0
Podstawiając wynik do warunku normalizacji otrzymamy
L
e
An = 1
2
co daje ostatecznie
2
An = 1
L
www.iwiedza.net
8
Udowodnij, że
i
� ( x,t) = Aexp�ł ( px - Et)łł
�łh� śł
�ł �ł
*
jest rozwiązaniem równania Schr�dingera. Czy funkcja jest też rozwiązaniem?
� +�
Rozwiązanie
i
( px-Et )
� ( x,t) = Aeh�
warto zauważyć, że
i i
px - Et
h�
� ( x,t) = Aeh� e
czyli
i
- Et
h�
� ( x,t) =� ( x)e
Funkcja falowa dała się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy wyłącznie od
położenia a drugi tylko od czasu. Jeśli wykonamy teraz podstawienie do równania
Schr�dingera
h�2 "� ( x,t)
- "2� ( x,t) +U� ( x,t) = ih�
2m "t
więc
i i i
- Et
h�2 -h� Et E
�łe-h� Et
h�
- e "2� (x) +U� (x)e = ih�� (x)�ł- i
�ł �ł
2m h�
�ł łł
i
- Et
dzieląc stronami przez otrzymamy
h�
e
h�2
- "2� ( x) +U� (x) = E� ( x)
2m
Równanie to jest nazywane równaniem Schr�dingera bez czasu i dotyczy przypadków
stacjonarnych tzn. takich gdzie potencjał U nie zależy od czasu.
Dalej pisząc o równaniu Schr�dingera będę miał na myśli właśnie równanie Schr�dingera
bez czasu (Wtedy funkcję falową daje się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy tylko
od położenia a drugi tylko od czasu(.
Podstawiając do tego równania jawnie funkcję
i
px
� (x) = Aeh�
dostajemy
p2
� +U� = E�
2m
Pomiędzy energią kinetyczną i pędem w fizyce nie relatywistycznej zachodzi związek
www.iwiedza.net
więc równanie ma sens, dostaliśmy sumę energii potencjalnej i kinetycznej równą całkowitej
energii cząstki, co jest prawdą.
*
Jak łatwo obliczyć funkcja ś =� +� ma postać
1
ś = 2Acos�ł ( px - Et)�ł
�ł �ł
h�
�ł łł
po obliczeniach dostajemy
h�2 p2
- "2ś = ś
2m 2m
co, podobnie jak poprzednio, można podstawić do równania Schr�dingera.
Otrzymamy wtedy
�ł �ł
p2 �ł
�ł +U = Eś
�ł �łś
2m
�ł łł
Lewa strona jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej a prawa jest całkowitą energią
*
cząstki. Wynika z tego, że lewa strona jest równa prawej, czyli funkcja ś =� +� również
spełnia równanie Schr�dingera.
9
Zbadaj, czy
� ( x,t) = Asin(kx -�t)
jest rozwiązaniem równania Schr�dingera?
Rozwiązanie
Funkcję można wyrazić też wykorzystując związki
E = h��
oraz
p = h�k
Wtedy przybierze postać
1
� = Asin�ł ( px - Et)�ł
�ł �ł
h�
�ł łł
Pozostało już tylko podstawienie do równania
h�2
- "2� +U� = E�
2m
podobnie jak w poprzednim zadaniu otrzymamy
�ł �ł
p2 �ł
�ł +U = E�
�ł �ł�
2m
�ł łł
�
Ostatecznie możemy więc stwierdzić, że funkcja spełnia równanie Schr�dingera.
www.iwiedza.net
10
Wyznacz dozwolone wartości energii i funkcje falowe cząstki o masie m
znajdującej się w nieskończenie głębokiej, prostokątnej studni potencjału o
szerokości L.
Rozwiązanie
Sposobów rozwiązania jest kilka. Przedstawię najprostszy. Aby dotyczył też pozostałych
zadań przyjmijmy, że potencjał jest następujący
+ " "x < 0
ńł
�ł
V = 0 "0 < x < L
�ł
�ł+ " "x > L
ół
Tam gdzie potencjał jest nieskończenie duży funkcja falowa nie istnieje. W przedziale
zerowego potencjału mogą występować funkcje falowe odpowiadające cząstce swobodnej
poruszającej się w prawo oraz cząstce swobodnej poruszającej się w lewo. Dodatkowo na
brzegach studni funkcja falowa musi znikać. Potencjał nie zależy od czasu, więc
zrezygnujemy z pisania członów funkcji falowej zależnych od czasu. Uwzględniając to można
napisać:
� (x) =� ( x) +� ( x)
�!
� (0) = 0
� (L) = 0
czyli
� (x) = Aeikx + Be-ikx
Aeik0 + Be-ik 0 = AeikL + Be-ikL = 0
wynika z tego, że A + B = 0 więc B = -A.
�
Można już zapisać jako
� (x) = A(eikx - e-ikx)
�
Przechodząc do zapisu trygonometrycznego ma postać
� (x) = 2Ai sin(kx)
� ( x) = 0 � (L) = 0
W sposób naturalny dla ale trzeba też pamiętać o tym, że
Ą
gdzie n=1,2,3,4&
2Ai sin(kL) = 0 "k = n
L
Funkcję falową trzeba jeszcze unormować:
L
4 A2 0 2(kx)dx = 1
+"sin
po obliczeniu całki
L
1 1 1
4 A2 �ł- sin(kx)cos(kx) + (kx)łł = 1
�ł śł
k 2 2
�ł �ł0
2A2L = 1
1
A =
2L
www.iwiedza.net
�
Po uwzględnieniu wartości A oraz k funkcja przybiera postać
2 nĄ
� (x) = i sin�ł x�ł
�ł �ł
L L
�ł łł
� ( x,t)
Co po uwzględnieniu czynnika zależnego od czasu daje pełną funkcję falową
2 nĄ
� (x) = i sin�ł x�łe-i�t
�ł �ł
L L
�ł łł
Działając hamiltonianem na funkcję falową dostajemy wartości energii dla stanów własnych
prostokątnej nieskończonej studni kwantowej.
$
� = E�
E jest wartością własną hamiltonianu, czyli energią cząstki. Po podstawieniu funkcji falowej
otrzymamy
h�2 h�2 2
- "2 2Ai sin(kx) = k 2Ai sin(kx)
2m 2m
h�2 2
czyli $
� = k �
2m
Energia cząstki po uwzględnieniu wartości k wyraża się wzorem
2
h�2Ą
E = n2 gdzie n=1,2,3&
2mL2
Warto zauważyć, że cząstka w studni potencjału nie może przyjmować dowolnej
energii. Poziomy energetyczne są skwantowane.
11
Cząstka znajduje się w stanie podstawowym w prostokątnej studni
(0 < x < L)
potencjału o szerokości L i całkowicie nieprzepuszczalnych ściankach .
Oblicz prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w obszarze
1 2
L < x < L
3 3
Rozwiązanie
W tym zadaniu można wykorzystać obliczenia z zadania poprzedniego. Należy kwadrat
1 2
� ( x) L L
modułu unormowanej funkcji falowej (x) przecałkować od do
3 3
2L
3
2 Ą
P = sin2�ł x�łdx
+"L �ł L �ł
�ł łł
L
3
2L
3
1 �ł Ą Ą Ą łł
P = sin�ł x�łcos�ł x�ł + xśł
�ł- �ł L �ł �ł L �ł L
Ą
�ł łł �ł łł
�ł �łL
3
co po obliczeniu daje
P = 0,61
www.iwiedza.net
Przyjmując, że cząsteczka tlenu porusza się ze średnia prędkością
12
termiczną w temperaturze T = 300K między dwoma kolejnymi zderzeniami
znajduje się w prostokątnej studni potencjału o szerokości
L = 6 �"10-8 m
Oszacuj liczbę możliwych poziomów energetycznych tej cząstki.
Rozwiązanie
Zadanie jest trochę dziwnie sformułowane i mało fizyczne, ale spróbujemy je rozwiązać
następująco. Zakładając, że tlen w temperaturze pokojowej zachowuje się jak gaz doskonały,
(co jest właściwie prawdą przy ciśnieniu normalnym i niższym niż normalne). Wtedy średnia
energia kinetyczna cząsteczki wyraża się wzorem
3
Ek = kBT
śr
2
Porównując to ze wzorem na energię cząstki w prostokątnej studni potencjału dostajemy
2
3 h�2Ą
kBT = n2
2 2mL2
więc
L
n = 3kBTm
h�Ą
Po podstawieniu otrzymamy wynik: cząsteczka, o której mowa w zadaniu znajduje się w
stanie kwantowym n = 3277.
13
Jaka jest szerokość jednowymiarowej studni potencjału z nieskończenie
wysokimi ścianami, jeżeli przy przejściu elektronu z drugiego na pierwszy poziom kwantowy
wysyłana jest energia "E = 1eV
Rozwiązanie
Należy wykorzystać wzór na poziomy energetyczne w takiej studni, wyprowadzony w zadaniu
10 i rozwiązać równanie
E2 - E1 = "E
więc
2
h�2Ą
2 2
(n2 - n1 ) = "E
2mL2
2 2
h2(n2 - n1 )
L =
po podstawieniu dostajemy
L = 1.063 �"10-9 m