Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Grudzieł
2007
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
1. Wyznaczenie ilorazu ciÄ…gu a : q = 2.1
^ h
n
Wyznaczenie wzoru ogólnego ciągu: a = 6$2n - 1.1
n
Obliczenie drugiego i piÄ…tego wyrazu ciÄ…gu: a2= 12, a5= 96.1
12 + 1 + 3x + 2 96
U"oŻenie równania wynikającego z treĘci zadania: = .1
2 4
Rozwiązanie równania: x = 11.1
2. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok"adnie opisanych 1
oznaczeł
: a,b,c  kÄ…ty odpowiednio przy wierzcho"kach A, B, C, AC = 10,
BC = 10 2, R = 10.
2
1
Obliczenie sinusów kątów (np. z twierdzenia sinusów): sina= , sinb= 1
2 2.
Wyznaczenie kątów trójkąta: a= 45c,b= 30c.1
Wyznaczenie szukanego kąta trójkąta: c= 105c.1
^x - 1h^x + 1h^x + 2h
3. Przekszta"cenie wzoru funkcji do postaci: f (x) = .1
^x + 2h^x - 1h
Zapisanie wzoru funkcji w postaci: f (x) = x + 1/x ! R["-2, 1,.1
Narysowanie wykresu funkcji f : prosta o równaniu y = x + 1 bez punktów 1
^-2, - 1h,^1, 2h.
0 dla x ! -1, +3 h["1,
Wyznaczenie wzoru funkcji g: g (x) =(
2x + 2 dla x !^-3, - 1h["-2,.1
Narysowanie wykresu funkcji g.1
Podanie zbioru wartoĘci funkcji g: D- 1=^-3, 0 ["-2,.1
4. Obliczenie wspó"czynnika b: b =-16.1
Obliczenie wspó"czynnika c: c = 24.1
2 2
Przekszta"cenie wyraŻenia x1 + x2 do postaci umoŻliwiającej zastosowanie 1
2
wzorów ViŻte a: x1+ x2 - 2x1 x2.
^ h
2 2 2 2
Obliczenie wartoĘci wyraŻenia x1 + x2: x1 + x2 = 40.1
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
5. Zapisanie d"ugoĘci kolejnych boków czworokąta za pomocą wyrazów ciągu 1
arytmetycznego: a, a + r, a + 2r, a + 3r.
Wykorzystanie twierdzenia o czworokÄ…cie opisanym na okr´gu do zapisania 1
równania: a + a + 2r = a + r + a + 3r.
RozwiÄ…zanie równania i zapisanie wniosku: r = 0, wi´c boki majÄ… równe d"ugoĘci, 1
czyli czworokÄ…t jest rombem.
6. Przekszta"cenie równania do postaci: x^a + 7h= a2 - 49.1
Zapisanie warunków, które muszÄ… byç spe"nione, aby równanie mia"o 1
nieskoł
czenie wiele rozwiązał
: a + 7 = 0/a2 - 49 = 0.
Rozwiązanie równania: a2 - 49 = 0: a =- 70a = 7.1
Rozwiązanie równania a + 7 = 0 i wyznaczenie wartoĘci parametru a, dla którego 1
równanie ma nieskoł
czenie wiele rozwiązał
: a =- 7.
7. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok"adnie opisanych 1
oznaczeł
, np: ABCD - dany trapez, AB = a, CD = b, K, L  Ęrodki przekątnych
odpowiednio AC, BD, M, N  punkty przeci´cia prostej KL odpowiednio
z ramionami AD, BC.
a
Wyznaczenie d"ugoĘci odcinka KN: KN =
2.1
b
Wyznaczenie d"ugoĘci odcinka LN: LN =
2.1
a - b
Wyznaczenie d"ugoĘci odcinka KL: KL = .1
2
3
8. Obliczenie odleg"oĘci d Ęrodka okr´gu S od prostej y =- x + 2: d = 2.1
4
Zapisanie warunku stycznoĘci prostej i okr´gu i podanie d"ugoĘci promienia
okr´gu r: d = r, r = 2.1
22
Zapisanie równania okr´gu: ^x - 10h +^y + 3h = 4.1
3
9. Podanie dziedziny równania: D = r, 2r r .1
&2 0
Przekszta"cenie równania trygonometrycznego do postaci: 1
tg x cos x^2 sin x + 1h= 0.
Zapisanie alternatywy równał
: tg x = 00cos x = 002 sin x + 1 = 0.1
Rozwiązanie w wyznaczonej dziedzinie równania tg x = 0: x ! "r, 2r,i równania 1
cos x = 0: x ! Q.
7
Rozwiązanie w wyznaczonej dziedzinie równania 2 sin x + 1 = 0: x ! r,11r . 1
&6 6 0
Zapisanie zbioru rozwiązał
równania tg x^2 sin x cos x + cos xh= 0:1
7
x ! r, r,11r, 2r .
&0
6 6
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
2n + 1m.1
10. Wyznaczenie mocy zbioru X: X=c
2
Wyznaczenie liczby zdarzeł
sprzyjajÄ…cych zdarzeniu A  wylosowanie liczby 1
n + 1mcnm.
parzystej i nieparzystej: A = c
1 1
n + 1
Obliczenie prawdopodobieł
stwa zajĘcia zdarzenia A: P (A) =
2n + 1.1
n + 1 7
Zapisanie nierównoĘci: >
2n + 1 13.1
+
Rozwiązanie nierównoĘci w N : n ! "1, 2, 3, 4, 5,.1
11. Wykonanie rysunku z oznaczeniami i zaznaczenie na nim odpowiedniego kÄ…ta 1
dwuĘciennego (podstawa ostros"upa  ABCD, kąt dwuĘcienny  BED).
Obliczenie d"ugoĘci kraw´dzi bocznej: b = a 5.1
4a 5
Obliczenie d"ugoĘci h: h = .1
5
Wyznaczenie d"ugoĘci przekątnej podstawy: DB = 2a 2.1
Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkąta DBE:1
22
4a 5o +e4a 5o - 2e4a 5oe4a 5ocosa= 2a 2 2
e _ i .
5 5 5 5
1
Obliczenie szukanego cosinusa: cosa=-
4.1
www. operon. pl
3