Wykład 3. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju eliptycznym.
Hipoteza kinematyczna zakłada, jak poprzednio, sztywny obrót rzutu przekroju i jego
deplanację w płaszczyz
nie prostopadłej do rzutu:
2 2 2
u1 = -Åš x2 x3 u2 =Åš x1x3 u3 =Åš È(x1 ,x2 )
Rozwiążemy zadanie "w naprężeniach", przyjmując funkcje naprężeń Prandtla znikającą
"tożsamościowo" na brzegu elipsy o średnicach 2a i 2b w formie równania elipsy:
2 2
(1)
ëÅ‚ x1 x2 öÅ‚
Õ = CìÅ‚ + -1÷Å‚
ìÅ‚
a2 b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Jak wiadomo, funkcja deplanacji w hipotezie kinematycznej wyrazi siÄ™ przez Õ nastÄ™pujaco:
"È 2(1+½ ) "Õ "È 2(1+½ ) "Õ (2)
= + x2 = - - x1
2 2
"x1 Åš E "x2 "x2 Åš E "x1
wynika stÄ…d warunek różniczkowy na Õ:
Õ,11 + Õ,22 = -2GÅš'
Obliczmy stałą C z (1) tak, aby spełnić ten warunek:
(3)
2 2 a2b2
öÅ‚
2 2
CëÅ‚ + = 2GÅš Ò! C = - GÅš
ìÅ‚ ÷Å‚
a2 b2 a2 + b2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
(4)
a2b2 ëÅ‚ x1 x2 öÅ‚
ìÅ‚
2
Õ = - GÅš + -1÷Å‚
a2 + b2 ìÅ‚ a2 b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczymy naprężenia:
(5)
a2 b2
2 2
Ä13 = -2x2 GÅš Ä = 2x1 GÅš
23
a2 + b2 a2 + b2
Warunki równowagi są, oczywiście, automatycznie spełnione i nie musimy tego sprawdzać.
Rozpatrzmy warunki brzegowe naprężeniowe na powierzchni przekroju poprzecznego.
Suma rzutów na osie x1 i x2 znika, moment wokół osi x3 wynosi:
2 2
ëÅ‚ x1 x2 öÅ‚
M = 2
+"Õdx1dx2 Ò! M = 2C+"ìÅ‚ a2 + b2 -1÷Å‚dx1dx2
s
ìÅ‚ ÷Å‚
s s
íÅ‚ Å‚Å‚
b
2
a2 -x1 2 2
a
a
ëÅ‚ x1 x2 öÅ‚
M = 2C + -1÷Å‚dx2dx1
+" +"ìÅ‚ a2 b2 ÷Å‚
ìÅ‚
b
-a
2
íÅ‚ Å‚Å‚
- a2 -x1
a
1
b
2
a2 -x1
2 3
a
a
ëÅ‚ x1 x2 öÅ‚
ìÅ‚
M = 2C x2 + - x2 ÷Å‚ dx1
+"
ìÅ‚
a2 3b2 ÷Å‚
b
-a
2
íÅ‚ Å‚Å‚
- a2 -x1
a
a
4b
2 2 2
M = 2C (x1 a2 - x1 - a2 a2 - x1 )dx1
+"
3a3
-a
a a
îÅ‚ëÅ‚ Å‚Å‚
4b x a2 a4 x öÅ‚ ëÅ‚ x a2 x öÅ‚
2 2 2 2
ïÅ‚ìÅ‚-
M = 2 C (a2 - x1 ) a2 - x1 + x a2 - x1 + arc sin ÷Å‚ - a2 ìÅ‚ a2 - x1 + arc sin ÷Å‚ śł
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3a3 ïÅ‚ìÅ‚ 8 8 a 2 2 a
śł
Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
-a -a
ðÅ‚íÅ‚ 4 ûÅ‚
a
ëÅ‚
4b x 3a2 3a4 x öÅ‚
2 2 2
M = 2 CìÅ‚- (a2 - x1 ) a2 - x1 - x a2 - x1 - arc sin ÷Å‚
÷Å‚
3a3 ìÅ‚ 4 8 8 a
íÅ‚ Å‚Å‚
-a
M = -Ä„abC
Ä„a3b3
2
M = GÅš
a2 + b2
Można teraz podać wzór na jednostkowy kąt skręcenia w typowej postaci, wyrażony przy
pomocy wskaz
nika sztywności przekroju na skręcanie Js:
(6)
M
s
2
Åš =
JsG
Ä„a3b3
Js =
a2 + b2
Podobnie naprężenia (5) można teraz wyrazić przez w funkcji momentu skręcającego. Do
obliczenia Ämax użyjemy wskaz
nika wytrzymałości na skręcanie Ws:
(7)
a2 M s b2 M s
Ä13 = -2x2 Ä = 2x1
23
J J
a2 + b2 s a2 + b2 s
(8)
M
Ä„a b2
max s
Ä = Ws = jeÅ›li bWs 2
Do wykonania obliczeń wytrzymałościowych wystarczy użyć wzorów (6) i (8).
Aby łatwiej wyobrazić sobie jak wygląda spaczony przekrój poprzeczny pręta wyznaczymy
teraz funkcję deplanacji, całkując wzory (2). Zauważmy, że funkcja naprężeń Prandtla (4)
wyraża sie również wzorem:
2 2
(9)
M ëÅ‚ x1 x2 öÅ‚
s
ìÅ‚
Õ = - + -1÷Å‚
ìÅ‚
Ä„ab a2 b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
(10)
2J 2J
"È ëÅ‚ öÅ‚ "È ëÅ‚ öÅ‚
s s
= ìÅ‚- +1÷Å‚x2 = ìÅ‚ -1÷Å‚x1
"x1 ìÅ‚ Ä„ab3 ÷Å‚ "x2 ìÅ‚Ä„ba3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(11)
ëÅ‚ ëÅ‚
"È b2 - a2 öÅ‚ "È b2 - a2 öÅ‚
= ìÅ‚ ÷Å‚x2 = ìÅ‚ ÷Å‚x1
"x1 ìÅ‚ a2 + b2 ÷Å‚ "x2 ìÅ‚ a2 + b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(12)
ëÅ‚ - a2 öÅ‚ ëÅ‚ - a2 öÅ‚
b2 b2
È = ìÅ‚ ÷Å‚x2 x1 + f2(x2 ) È = ìÅ‚ ÷Å‚x2x1 + f1(x1 )
ìÅ‚ ìÅ‚
a2 + b2 ÷Å‚ a2 + b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(13)
ëÅ‚ - a2 öÅ‚ ëÅ‚ - a2 öÅ‚
b2 b2
ìÅ‚ ÷Å‚x2 x1 + f2(x2 )= ìÅ‚ ÷Å‚x2 x1 + f1(x1 )
ìÅ‚ ìÅ‚
a2 + b2 ÷Å‚ a2 + b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
f2(x2 )= f1(x1 )= F
F jest translacją, można ją przyjąć równą zeru, stąd wzór na funkcję spaczenia:
ëÅ‚ - a2 öÅ‚
b2
È = ìÅ‚ ÷Å‚x2 x1
ìÅ‚
a2 + b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zauważmy, że dla koła, gdy a=b=R, spaczenie znika, jak to było zakładane w teorii
skręcania prętów okrągłych !
Dla elipsy a=2b, G=1, Ms=1 otrzymuje się wykres "poglądowy" następujący:
3
oba rysunki przedstawiają ten sam przypadek, na dolnym naniesiono dodatkowo płaszczyznę
elipsy nie zdeformowanej
4