Wykład 3. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju eliptycznym.
Hipoteza kinematyczna zakłada, jak poprzednio, sztywny obrót rzutu przekroju i jego
deplanację w płaszczyz
nie prostopadłej do rzutu:
2 2 2
u1 = -Ś x2 x3 u2 =Ś x1x3 u3 =Ś �(x1 ,x2 )
Rozwiążemy zadanie "w naprężeniach", przyjmując funkcje naprężeń Prandtla znikającą
"tożsamościowo" na brzegu elipsy o średnicach 2a i 2b w formie równania elipsy:
2 2
(1)
�ł x1 x2 �ł
� = C�ł + -1�ł
�ł
a2 b2 �ł
�ł łł
Jak wiadomo, funkcja deplanacji w hipotezie kinematycznej wyrazi się przez � następujaco:
"� 2(1+� ) "� "� 2(1+� ) "� (2)
= + x2 = - - x1
2 2
"x1 Ś E "x2 "x2 Ś E "x1
wynika stąd warunek różniczkowy na �:
�,11 + �,22 = -2GŚ'
Obliczmy stałą C z (1) tak, aby spełnić ten warunek:
(3)
2 2 a2b2
�ł
2 2
C�ł + = 2GŚ �! C = - GŚ
�ł �ł
a2 b2 a2 + b2
�ł łł
2 2
(4)
a2b2 �ł x1 x2 �ł
�ł
2
� = - GŚ + -1�ł
a2 + b2 �ł a2 b2 �ł
�ł łł
Obliczymy naprężenia:
(5)
a2 b2
2 2
�13 = -2x2 GŚ � = 2x1 GŚ
23
a2 + b2 a2 + b2
Warunki równowagi są, oczywiście, automatycznie spełnione i nie musimy tego sprawdzać.
Rozpatrzmy warunki brzegowe naprężeniowe na powierzchni przekroju poprzecznego.
Suma rzutów na osie x1 i x2 znika, moment wokół osi x3 wynosi:
2 2
�ł x1 x2 �ł
M = 2
+"�dx1dx2 �! M = 2C+"�ł a2 + b2 -1�łdx1dx2
s
�ł �ł
s s
�ł łł
b
2
a2 -x1 2 2
a
a
�ł x1 x2 �ł
M = 2C + -1�łdx2dx1
+" +"�ł a2 b2 �ł
�ł
b
-a
2
�ł łł
- a2 -x1
a
1
b
2
a2 -x1
2 3
a
a
�ł x1 x2 �ł
�ł
M = 2C x2 + - x2 �ł dx1
+"
�ł
a2 3b2 �ł
b
-a
2
�ł łł
- a2 -x1
a
a
4b
2 2 2
M = 2C (x1 a2 - x1 - a2 a2 - x1 )dx1
+"
3a3
-a
a a
�ł�ł łł
4b x a2 a4 x �ł �ł x a2 x �ł
2 2 2 2
�ł�ł-
M = 2 C (a2 - x1 ) a2 - x1 + x a2 - x1 + arc sin �ł - a2 �ł a2 - x1 + arc sin �ł śł
�ł �ł �ł
3a3 �ł�ł 8 8 a 2 2 a
śł
łł �ł łł
-a -a
�ł�ł 4 �ł
a
�ł
4b x 3a2 3a4 x �ł
2 2 2
M = 2 C�ł- (a2 - x1 ) a2 - x1 - x a2 - x1 - arc sin �ł
�ł
3a3 �ł 4 8 8 a
�ł łł
-a
M = -ĄabC
Ąa3b3
2
M = GŚ
a2 + b2
Można teraz podać wzór na jednostkowy kąt skręcenia w typowej postaci, wyrażony przy
pomocy wskaz
nika sztywności przekroju na skręcanie Js:
(6)
M
s
2
Ś =
JsG
Ąa3b3
Js =
a2 + b2
Podobnie naprężenia (5) można teraz wyrazić przez w funkcji momentu skręcającego. Do
obliczenia �max użyjemy wskaz
nika wytrzymałości na skręcanie Ws:
(7)
a2 M s b2 M s
�13 = -2x2 � = 2x1
23
J J
a2 + b2 s a2 + b2 s
(8)
M
Ąa b2
max s
� = Ws = jeśli bWs 2
Do wykonania obliczeń wytrzymałościowych wystarczy użyć wzorów (6) i (8).
Aby łatwiej wyobrazić sobie jak wygląda spaczony przekrój poprzeczny pręta wyznaczymy
teraz funkcję deplanacji, całkując wzory (2). Zauważmy, że funkcja naprężeń Prandtla (4)
wyraża sie również wzorem:
2 2
(9)
M �ł x1 x2 �ł
s
�ł
� = - + -1�ł
�ł
Ąab a2 b2 �ł
�ł łł
2
(10)
2J 2J
"� �ł �ł "� �ł �ł
s s
= �ł- +1�łx2 = �ł -1�łx1
"x1 �ł Ąab3 �ł "x2 �łĄba3 �ł
�ł łł �ł łł
(11)
�ł �ł
"� b2 - a2 �ł "� b2 - a2 �ł
= �ł �łx2 = �ł �łx1
"x1 �ł a2 + b2 �ł "x2 �ł a2 + b2 �ł
�ł łł �ł łł
(12)
�ł - a2 �ł �ł - a2 �ł
b2 b2
� = �ł �łx2 x1 + f2(x2 ) � = �ł �łx2x1 + f1(x1 )
�ł �ł
a2 + b2 �ł a2 + b2 �ł
�ł łł �ł łł
(13)
�ł - a2 �ł �ł - a2 �ł
b2 b2
�ł �łx2 x1 + f2(x2 )= �ł �łx2 x1 + f1(x1 )
�ł �ł
a2 + b2 �ł a2 + b2 �ł
�ł łł �ł łł
f2(x2 )= f1(x1 )= F
F jest translacją, można ją przyjąć równą zeru, stąd wzór na funkcję spaczenia:
�ł - a2 �ł
b2
� = �ł �łx2 x1
�ł
a2 + b2 �ł
�ł łł
Zauważmy, że dla koła, gdy a=b=R, spaczenie znika, jak to było zakładane w teorii
skręcania prętów okrągłych !
Dla elipsy a=2b, G=1, Ms=1 otrzymuje się wykres "poglądowy" następujący:
3
oba rysunki przedstawiają ten sam przypadek, na dolnym naniesiono dodatkowo płaszczyznę
elipsy nie zdeformowanej
4