Wykład 4.
Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju cienkościennym otwartym i
zamkniętym.
Pręt o przekroju cienkościennym otwartym
Dla przekroju pręta pokazanego na rysunku 1 przyjmijmy funkcje naprężeń Prandtla, która
tylko w przybliżeniu, spełnia warunek brzegowy.
x2
x3
x1
C
x2
B
c b
h
Ms
h
x1
L
L>>h
´
h>>´
d
Ms
a
D
A
Rys. 1. Przekrój i szkic pręta cienkościennego o przekroju prostokątnym. Rzeczywiste
proporcje prostokąta powinny być inne niż wyobrażone na rysunku. Aby przybliżona teoria
nie prowadziła do dużych błędów, figury na rysunku powinny być bardziej smukłe.
Załóżmy, że zamiast znikać na całym obwodzie "S, funkcja ta jest równa zeru tylko na
bokach AB i CD (równanie (2)). Można wobec tego przyjąć ją w formie równania (1)
powierzchni cylindrycznej nad S. A
atwo sobie wyobrazić, że taka powierzchnia jest, poza
obszarem BCbc DAda, prawidłową funkcją naprężeń.
(1)
Õ = Õ(x1)
(2)
Õ(x1 = -´ / 2)= Õ(x1 = ´ / 2)= 0
Niejednorodne równanie harmoniczne redukuje sie do postaci:
(3)
Õ,11 = -2GÅš'
A
atwo obliczyć stałe całkowania w paraboli spełniającej (3) aby spełnić warunek (2).
Otrzymuje siÄ™ nastÄ™pujÄ…ce wyrażenie na Õ:
2
(4)
ëÅ‚ ´ öÅ‚
2 ìÅ‚ 2
Õ = GÅš - x1 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Obliczymy naprężenia:
(5)
2
Ä13 = 0 Ä = 2GÅš x1
23
Moment skręcający wynosi:
2
(6)
ëÅ‚ ´ öÅ‚
1
3
2 2
M = 2 dx2 Ò! M = 2GÅš - x1 ÷Å‚dx1dx2 = ´ hGÅš
+"Õdx +"ìÅ‚ 2 ÷Å‚
s 1
ìÅ‚
4 3
s s
íÅ‚ Å‚Å‚
Można teraz podać wzór na jednostkowy kąt skręcenia w typowej postaci, wyrażony przy
pomocy wskaz
nika sztywności przekroju na skręcanie Js:
3
(7)
M
´ h
s
2
Åš = gdzie Js =
JsG 3
Podobnie naprężenia (5) można teraz wyrazić w funkcji momentu skręcającego. Do
obliczenia Ämax użyjemy wskaz
nika wytrzymałości na skręcanie Ws:
(8)
M
s
Ä13 = 0 Ä = 2 x1
23
J
s
2
(9)
M
´ ´ h
ëÅ‚ öÅ‚
max s
Ä =Ä x1 = = Ws =
ìÅ‚ ÷Å‚
23
2 Ws 3
íÅ‚ Å‚Å‚
x2 x 2 x2
C C C
B B B
c b
h
x1 x1 x1
´
d
a
D D
A A A
a). b). c).
Rys. 2. a). - przekrój cienkościenny prostokątny; b). wykres naprężeń według przedstawionej
powyżej teorii przybliżonej; c). warstwice naprężeń zgodnych z teorią skręcania prętów
niekołowych - owalne kontury (nie są to elipsy!), warstwice naprężeń przybliżonych - proste,
linia przerywana.
2
Złożony przekrój cienkościenny otwarty.
Rozpatrzmy pręt o przekroju, który da się rozłożyć na skończoną ilość N przekrojów
będących smukłymi prostokątami. Załóżmy, że ich linie środkowe nie tworzą żadnej łamanej
zamkniętej (Rysunek 3).
Zamierzamy wykorzystać wzory uzyskane dla pojedynczego przekroju prostokątnego o małej
szerokości. Kluczem do tego jest następujące założenie, opisujące wspólna prace myślowo
wyodrębnionych fragmentów przekroju:
- jednostkowy kąt obrotu i-tego Śi fragmentu jest wspólny dla wszystkich fragmentów
składowych i taki jak dla całości przekroju Ś'
- wypadkowy moment skręcający Ms jest sumą momentów wypadkowych Mi obliczonych
dla każdego wyodrębnionego, i-tego fragmentu.
Te dwa założenia sformułowane są przy pomocy wzorów (10):
N
(10)
M = "i Åš'i =Åš'
"M i
s
i=1
Dla każdego pręta składowego możemy podać jego indywidualną sztywność. pozostaje
ustalić wzór na sztywność pręta złożonego (całkowitą), której rolęmożna odczytać z wzoru
(113).
3
(11)
M ´ hi M
si i s c
2 2 2
Åši = gdzie J = Åši = =Åš Js = ?
si
c
J G 3 J G
si s
Proste przekształcenia pokazują, że sztywność calkowita jest sumą sztywności składowych:
(12)
N N N N
´i 3hi
c c
2
Åš GJ = J G =Åš G J = =
"Åš 2 c 2 "J si s "J si "
s si
3
i=1 i=1 i=1 i=1
Moment skręcający przenoszony przez każdy pręt składowy jest częścią momentu
calkowitwgo, proporcjonalną do sztywności tego pręta:
(13)
M M J
si s si
2 2
Åši = =Åš = M = M
si s
c c
J G J G J
si s s
Obliczenie maksymalnego naprężenia ścinającego wynika z wzorów (9) i jest podane poniżej:
c
(14)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ J ´i öÅ‚ M J
M
max si si s s
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Ä =Äimax = ´i ÷Å‚ = M = ´ Wsc =
s max
c c
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
J J J ´
íÅ‚ Å‚Å‚max íÅ‚ s si Å‚Å‚max J s max
si
3
Ms
¸'
¸
hi
´i
¸'
Ms
¸
Rysunek 3. Przekrój złożony (a), jego rozkład na przekroje składowe (b), oznaczenia.
Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju cienkościennym zamkniętym.
x2
P'
ds
P
r
P''
Åš
x1
O
D
L>>D
´
D>>´
Rys. 2. Przekrój i szkic pręta cienkościennego zamkniętego.
Przyjmijmy, następujące założenie upraszczające dotyczące stanu naprężenia w przekroju:
- jedynÄ… skÅ‚adowÄ… naprężenia w przekroju jest Ä3i,
- naprężenie styczne jest równoległe do linii środkowej i stałe na grubości przekroju:

(15)
Ä´ (s)= ds Ä =Ä(s)
4
zależność Ä od współrzÄ™dnej Å‚ukowej s ustalimy obliczajÄ…c sumÄ™ rzutów wektorów naprężeÅ„
na ściankach wycinka ścianki wyjętego myślowo z cienkiego plasterka o wysokości dz, jak na
rysunku 3 (zależność grubości od współrzędnej łukowej jest dana):
(16)
(s)=
"ti3 = 0 Ò! "s1,s2 ´1Ä1 = ´ 2Ä 2 Ò!Ä(s)´ const
x3
Rys. 3. Wycinek pręta cienkościennego zamkniętego.
Obliczmy moment skręcający będący w równowadze z naprężeniami o takim rozkładzie:
(17)
M
s
M = ×Ä´ds =Ä´ ×ds = 2A0Ä´ Ò! Ä =
+"r +"r
s
2A0´
Maksymalne naprężenie występuje, jak widać z powyższego wzoru, tam, gdzie przekrój jest
najcieńszy:
(18)
M
max s min
Ä = Ws = 2A0´
Ws
Związek momentu z kątem skręcenia otrzymamy zapisując równość pracy momentu
skręcającego na jednostkowym kącie skręcenia (praca sil zewnętrznych) i pracy sił
wewnÄ™trznych to jest: pracy naprężenia stycznego Ä (jedynej niezerowej skÅ‚adowej tensora
naprężenia, wzór ()) na kącie odkształcenia postaciowego ł:
1 1 (19)
2
M Åš =
+"ÄÅ‚´ds
s
2 2
s
2
2 2 2 2 2
M
1 1 Ä 1 Ä ´ Ä ´ ds 1 ds
s
2
M Åš = ´ds = ds = =
+" +" +" +"
s
2
2 2 G 2 G´ 2G ´ 2G ´
4A0 s
s s s
M
1 ds
s
2
Åš =
+"´
2
G 4A0 s (s)
5
Otrzymany wzór na sztywność przekroju cienkościennego zamkniętego nazywa się wzorem
Bredta:
2
(20)
M 4A0
s
2
Åš = gdzie J =
s
ds
JsG
+"´
(s)
s
6