Wykład 2 (4 godziny)
Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju dowolnym.
Hipoteza kinematyczna:
załóżmy, że przemieszczenia są następującej postaci:
2 2 2
u1 = -Åš x2 x3 u2 =Åš x1x3 u3 =Åš È(x1 ,x2 )
Ilustruje to rysunek 2.1 i rysunek 2.2:
Rys. 2.1. a) obrót sztywny, b) skręcenie jednostkowe i kąt wzajemnego obrotu dwu
przekrojów, c) superpozycja skręcenia płaskiego jak w p. b) oraz deplanacji przekroju.
X2
x2 u2 u
u1
Åš'x3
X1
x1
S
Rys. 2.2. wektor przemieszczenia i jego składowe na osiach x1 i x2.
Kąt obrotu jest mały (na rysunku jest "powiększony". Składowe przemieszczenia w
płaszczyz
nie przekroju liczymy tak, jak to było pokazane na wykładzie (i ćwiczeniach) z
kinematyki przy analizie małych obrotów tarczy sztywnej.
Obliczmy odkształcenia:
µ11 = 0 µ = 0 µ33 = 0
22
1 1 1
2 2 2
µ12 = Åš (x3 - x3)= 0 µ13 = Åš (È - x2) µ = Åš (È + x1)
,1 23 ,2
2 2 2
Pole naprężeÅ„ Ä(x) jest nastÄ™pujÄ…ce:
Ä
Ä
Ä
à = 0 Ä12 = 0
( i )i
1
E 1 E 1
2 2
Ä13 = Åš (È - x2) Ä = Åš (È + x1)
,1 23 ,2
1 +½ 2 1 +½ 2
Sprawdzamy, czy Ä
Ä speÅ‚nia równania równowagi:
Ä
Ä
E 1
2
Ä13,3 = Åš (È - x2) = 0
,1
,3
1 +½ 2
E 1
2
Ä = Åš (È + x1) = 0
23,3 ,2 ,3
1 +½ 2
(1)
Ä13,1 + Ä = 0 Ò! È +È = 0
23,2 ,11 ,22
Aby trzeci warunek równowagi był spełniony, funkcja deplanacji musi być harmoniczna.
Sprawdzamy, czy Ä
Ä speÅ‚nia warunki brzegowe na pobocznicy prÄ™ta (wystarczy sprawdzić
Ä
Ä
trzecie równanie):
Ä13n1 + Ä n2 = 0 Ò! (È - x2)n2 +(È + x1)n2 = 0
23 ,1 ,2
niestety, równanie na brzegu jest trudne do spełnienia jak widać... Jeśli wprowadzimy
pomocnicza funkcjÄ™ Õ(x1,x2), tzw. funkcjÄ™ naprężeÅ„, otrzymamy Å‚atwiejsze zagadnienie
brzegowe. Wykorzystajmy prostą reprezentacje stanu naprężenia (o jedynie dwu niezerowych
skÅ‚adowych) przy pomocy funkcji Prandtla Õ(x1,x2):
"Õ(x1,x2) "Õ(x1 ,x2 )
Ä13 = Ä = -
23
"x2 "x1
reprezentacja ta jest tak skonstruowana, aby równanie równowagi było tożsamościowo
spełnione:
Ä13,1 + Ä = 0 Ò! Õ,21 - Õ,12 = 0
23,2
Warunek brzegowy jest teraz wyjątkowo łatwy do spełnienia:
"Õ(x1 ,x2 )n + "Õ(x1 ,x2 )n = 0 "Õ(x1 ,x2 ) dx2 "Õ(x1 ,x2 ) dx1
dÕ
+ = 0 = 0
"x2 1 "x1 2 "x2 ds "x1 ds ds
Õ(x1 ,x2 )= const na brzegu.
x2
n
s
1
dx2 n1 n2
x1
-dx1
ds
Rys. 2.2. Ilustracja związków pomiędzy wektorem jednostkowym normalnym do brzegu n i
jego cosinusami kierunkowymi a elementem brzegu ds i jego rzutami dx1 i dx2.
Pozostaje ustalić zwiÄ…zek pomiÄ™dzy Õ(x1,x2) a funkcjÄ… deplanacji (obie reprezentujÄ…
odpowiednie naprężenia, można je więc porównać):
2
(2)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"Õ E 1 "È "Õ E 1 "È
ìÅ‚ ìÅ‚
2 ìÅ‚ 2 ìÅ‚
= Åš - x2 ÷Å‚ - = Åš + x1 ÷Å‚
"x2 1 +½ 2 "x1 ÷Å‚ "x1 1 +½ 2 "x2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymaliśmy zależności pomiędzy pochodnymi cząstkowymi obu funkcji. Równania
powyższe pozwalają wyznaczyć równanie różniczkowe, jakie powinna spełniać funkcja
reprezentacji Prandtla (jak dotÄ…d znamy warunek brzegowy dla Õ, nie znamy zaÅ› równania
różniczkowego dla tej funkcji). Wystarczy zróżniczkować (2)1 po x2, (2)2 po x1, dodać
stronami i wykorzystać (1):
Õ,11 + Õ,22 = -2GÅš'
Na powierzchni przekroju poprzecznego nie uda nam się zapewnić zgodności rozkładu
naprężeń z dowolnym rzeczywistym (hipoteza kinematyczna jest zbyt ograniczająca).
Możemy jednak spełnić warunki brzegowe całkowo, dla wypadkowych sił i momentów.
Suma rzutów na osie x1 i x2 znika:
"Õ "Õ
dxdy = ds = 0 dxdy = ds = 0
+"Ä dxdy =+" +"Õn +"Ä dxdy =+" +"Õn
31 2 32 1
"y "x
S S "S S S "S
Moment wokół osi x3 wynosi (całkowanie przez części):
ëÅ‚ öÅ‚
"Õ "Õ
M = (-Ä31x2 +Ä32x1)dxdy = Õ(- x2n2 + x1n1)ds + 2 dx2
+" +"ìÅ‚- "x2 x2 + "x1 x1 ÷Å‚dxdy = - +"+"Õdx
1
ìÅ‚ ÷Å‚
S S íÅ‚ Å‚Å‚ "Ss
M = 2 dx2
+"Õdx
1
s
Przedstawione sformułowanie jest podstawą dla wyprowadzenia wzorów szczegółowych
opisujących skręcanie prętów o specyficznych przekrojach: eliptycznym, prostokątnym,
rurowym, cienkościennym zamkniętym lub otwartym. W kolejnych wykładach przedstawiona
zostanie również poglądowa interpretacja powyższych wzorów.
3