��WykBad 6. Analogia bBonowa, analogia hydrodynamiczna, skrcanie
spr|ysto - plastyczne.
6.1. Analogia bBonowa
Analogia bBonowa sBu|y wizualizacji przebiegu funkcji napr|eD Prandtla dla dowolnego
konturu przekroju prta skrcanego. Analogii tej mo|na r�wnie| u|y w celu
do[wiadczalnego wyznaczenia napr|eD stycznych w przekroju.
Analogi t mo|na sformuBowa w postaci nastpujcego twierdzenia:
Warto[ci funkcji Prandtla w punktach przekroju o danym konturze s proporcjonalne do
odlegBo[ci od tego przekroju powierzchni membrany napitej na tym konturze i obci|onej
r�wnomiernym ci[nieniem o kierunku prostopadBym do przekroju.
Aby wykaza, |e tak jest, wyprowadzimy r�wnanie membrany rozpitej na konturze
przekroju i obci|onej r�wnomiernym ci[nieniem p. Ci[nienie to jest skierowane zawsze
prostopadle do odksztaBconej powierzchni membrany.
Zalo|ymy, |e w membranie panuje pBaski stan napr|enia. W ka|dym punkcie membrany
napr|enie gB�wne prostopadBe do jej powierzchni znika za[ pozostaBe napr|enia gB�wne s
identyczne maj warto[ s i nie zale| od x1, x2. ZakBadamy, |e przemieszczenia punkt�w na
powierzchni membrany w(x1, x2) s maBe na tyle, |e cos� H" 1, sin� H" tg� H" �. (Oznaczenia jak
na rysunku poni|ej)
� pdx1dx2
Sdx1
Sdx2
"�
� + dx1
"x1
�
x2
w(x1,x2)
"�
Sdx1
� + dx2
Sdx2
"x2
x1
Rysunek 6.1 Wycinek membrany rozpitej nad konturem przekroju. Zaznaczono wypadkowe
napr|eD w membranie i wypadkowa ci[nienia dziaBajcego na wycinek.
R�wnowaga wycinka membrany - suma rzut�w siB dziaBajcych na wycinek na o[ x3 -
zapisuje si nastpujco:
1
�� �� �� ��
"� "�
- sdx2 sin� + sdx2 sin��� + dx1 �� - sdx1 sin� + sdx1 sin�� � + dx2 �� + pdx1dx2 cos� = 0
�� ��
"x1 �� "x2 ��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
"� "�
- sdx2� + sdx2 ��� + dx1 �� - sdx1� + sdx1�� � + dx2 �� + pdx1dx2 E" 0
�� ��
"x1 �� "x2 ��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
"� "� "w "w
sdx2 �� dx1 �� + sdx1�� dx2 �� + pdx1dx2 E" 0 poniewa| � = oraz � = :
��
"x1 �� �� "x2 �� "x1 "x2
�� �� �� ��
�� �� �� ��
"2w "2w
s�� �� + s�� 2 �� + p E" 0
�� �� �� ��
"x12 "x2
�� �� �� ��
(1)
"2w "2w p
+ E" -
"x12 "x2 2 s
Wida, |e r�wnanie powierzchni membrany jest formalnie identyczne z r�wnaniem jakie
musi speBnia funkcja Prandtla:
(2)
�,11 + �,22 = -2G�'
Wynika std, |e funkcja Prandtla jest proporcjonalna do funkcji przemieszczenia membrany,
jako rozwizanie tego samego r�wnania ro|niczkowego. Je[li (1) i (2) przeksztaBci tak aby
byBy identyczne (niech prawa strona bdzie r�wna 1) to otrzyma si � wyra|one przez w:
2
2� Gs
� = w = cw
p
Rysunek 6.2. Po lewej - kty, kt�rych tangens jest proporcjonalny do moduBu warto[ci
odpowiedniej skladowej napr|enia stycznego, po prawej - rysunek orientacyjny wektora
napr|enia stycznego do warstwic membrany.
2
Je[li w eksperymencie uda si zmierzy w(x1,x2) - ugicie napitej membrany, to otrzymamy
Batwo funkcj Prandtla bez konieczno[ci rozwizywania r�wnania r�|niczkowego.
Aatwo mo|na si przekona, |e:
- skBadowa napr|enia stycznego mo|e by zilustrowana jako kt nachylenia stycznej do
powierzchni ugicia membrany w danym punkcie.
"w "w
�31 = c � = -c
"x2 32 "x1
- maksymalna warto[ napr|enia wystpuje tam, gdzie nachylenie membrany do
przekroju jest najwiksze
- Wektor napr|enia stycznego jest r�wnolegBy do warstwic membrany
6.2. Analogia hydrodynamiczna.
Analogia hydrodynamiczna dla przekroju skrcanego cienko[ciennego zamknitego:
Kierunek wektora napr|enia stycznego dla przekroju cienko[ciennego zamknitego jest
styczny do linii prdu cieczy nielepkiej wirujacej w naczyniu cylindrycznym, kt�rego
podstaw jest przekr�j prta za[ tworzce prta s [ciankami bocznymi naczynia.
DBugo[ wektora napr|eD jest proporcjonalna do prdko[ci wirujcej cieczy.
6.3. Skrcanie spr|ysto - plastyczne.
Jak wiadomo z badaD eksperymentalnych, napr|enia nie mog przyjmowa warto[ci
dowolnie du|ych. Wyobrazmy sobie w uproszczeniu, |e dla stanu, w kt�rym wystpuj tylko
skladowe styczne - obszar dopuszczalny ograniczony jest od g�ry warto[ci �dop
(dopuszczalne). Zwizek �-� przedstawiony jest na rysunku 6.3.
�
�pl
�
Rysunek 6.3. Zachowanie elasto-idealnie plastyczne.
Wida, |e wraz ze wzrostem kta odksztaBcenia postaciowego napr|enie ro[nie do pewnej
warto[ci liniowo (prawo Hooke'a) p�zniej za[ pozostaje staBe. Taka idealizacja rzeczywistego
zachowania materialu nazywa si modelem spr|ysto - idealnie plastycznym.
ZaBo|my, |e w przekroju skrcanym, w kt�rym napr|enia rozBo|one s niejednorodnie -
najwiksze jego warto[ci osignBy ju| warto[ graniczn. WytworzyB sie zatem obszar
wewntrzny zwany "uplasytycznionym", w kt�rym napr|enia maj staB warto[c oraz obszar
spr|ysty, kt�ry nie pozwala na dowolnie du| warto[ kta skrcenia. Styczna do funkcji
3
Prandtla dla takiego stanu ma nad obszarem uolastycznionym styczna nachylona do konturu
pod staBym ktem, w ka|dym punkcie konturu. Jest tak, gdy| maksymalne napre|enie napierw
pojawia si na konturze. Przedstawia to rysunek 6.4.
cz[ spr|ysta
tg�=�pl � �
Rysunek 6.4. Funkcja Prandtla dla przekroju uplastycznionego cz[ciowo i caBkowicie.
W sytuacji granicznej, gdy nap|enia w ka|dym punkcie przekroju osigaja warto[c
dopuszczaln, funkcja Prandtla przyjmuje form ostrosBupa o krawdziach r�wnonachylonych
do konturu. Taka sytuacja oznacza, |e kt obrotu tego przekroju jest dowolnie du|y. PowstaB
w ten spos�b przegub plastyczny, kt�ry tym r�|ni si od przegubu plastycznego, |e wystpuje
w nim moment plastyczny Mpl, moment wypadkowy napr|eD plastycznych. Aatwo go
obliczyc jako podw�jn objto[ zamknit bryB ostrosBupa.
Ms=2V
Jest tak, gdy| zgodnie ze znanym ju| wzorem (wykBad 2) moment skrcajcy r�wny jest
podw�jnej caBce z funkcji Prandtla po przekroju.
4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
WMIV ml 09WMIV ml 10WMIV ml 07WMIV ml 03WMIV ml 08WMIV ml 01WMIV ml 04WMIV ml 05WMIV ml 02Tech tech chem11[31] Z5 06 usrodki ochrony 06[1]06 (184)06więcej podobnych podstron