plik


��WykBad 6. Analogia bBonowa, analogia hydrodynamiczna, skrcanie spr|ysto - plastyczne. 6.1. Analogia bBonowa Analogia bBonowa sBu|y wizualizacji przebiegu funkcji napr|eD Prandtla dla dowolnego konturu przekroju prta skrcanego. Analogii tej mo|na r�wnie| u|y w celu do[wiadczalnego wyznaczenia napr|eD stycznych w przekroju. Analogi t mo|na sformuBowa w postaci nastpujcego twierdzenia: Warto[ci funkcji Prandtla w punktach przekroju o danym konturze s proporcjonalne do odlegBo[ci od tego przekroju powierzchni membrany napitej na tym konturze i obci|onej r�wnomiernym ci[nieniem o kierunku prostopadBym do przekroju. Aby wykaza, |e tak jest, wyprowadzimy r�wnanie membrany rozpitej na konturze przekroju i obci|onej r�wnomiernym ci[nieniem p. Ci[nienie to jest skierowane zawsze prostopadle do odksztaBconej powierzchni membrany. Zalo|ymy, |e w membranie panuje pBaski stan napr|enia. W ka|dym punkcie membrany napr|enie gB�wne prostopadBe do jej powierzchni znika za[ pozostaBe napr|enia gB�wne s identyczne maj warto[ s i nie zale| od x1, x2. ZakBadamy, |e przemieszczenia punkt�w na powierzchni membrany w(x1, x2) s maBe na tyle, |e cos� H" 1, sin� H" tg� H" �. (Oznaczenia jak na rysunku poni|ej) � pdx1dx2 Sdx1 Sdx2 "� � + dx1 "x1 � x2 w(x1,x2) "� Sdx1 � + dx2 Sdx2 "x2 x1 Rysunek 6.1 Wycinek membrany rozpitej nad konturem przekroju. Zaznaczono wypadkowe napr|eD w membranie i wypadkowa ci[nienia dziaBajcego na wycinek. R�wnowaga wycinka membrany - suma rzut�w siB dziaBajcych na wycinek na o[ x3 - zapisuje si nastpujco: 1 �� �� �� �� "� "� - sdx2 sin� + sdx2 sin��� + dx1 �� - sdx1 sin� + sdx1 sin�� � + dx2 �� + pdx1dx2 cos� = 0 �� �� "x1 �� "x2 �� �� �� �� �� �� �� �� �� "� "� - sdx2� + sdx2 ��� + dx1 �� - sdx1� + sdx1�� � + dx2 �� + pdx1dx2 E" 0 �� �� "x1 �� "x2 �� �� �� �� �� �� �� �� �� "� "� "w "w sdx2 �� dx1 �� + sdx1�� dx2 �� + pdx1dx2 E" 0 poniewa| � = oraz � = : �� "x1 �� �� "x2 �� "x1 "x2 �� �� �� �� �� �� �� �� "2w "2w s�� �� + s�� 2 �� + p E" 0 �� �� �� �� "x12 "x2 �� �� �� �� (1) "2w "2w p + E" - "x12 "x2 2 s Wida, |e r�wnanie powierzchni membrany jest formalnie identyczne z r�wnaniem jakie musi speBnia funkcja Prandtla: (2) �,11 + �,22 = -2G�' Wynika std, |e funkcja Prandtla jest proporcjonalna do funkcji przemieszczenia membrany, jako rozwizanie tego samego r�wnania ro|niczkowego. Je[li (1) i (2) przeksztaBci tak aby byBy identyczne (niech prawa strona bdzie r�wna 1) to otrzyma si � wyra|one przez w: 2 2� Gs � = w = cw p Rysunek 6.2. Po lewej - kty, kt�rych tangens jest proporcjonalny do moduBu warto[ci odpowiedniej skladowej napr|enia stycznego, po prawej - rysunek orientacyjny wektora napr|enia stycznego do warstwic membrany. 2 Je[li w eksperymencie uda si zmierzy w(x1,x2) - ugicie napitej membrany, to otrzymamy Batwo funkcj Prandtla bez konieczno[ci rozwizywania r�wnania r�|niczkowego. Aatwo mo|na si przekona, |e: - skBadowa napr|enia stycznego mo|e by zilustrowana jako kt nachylenia stycznej do powierzchni ugicia membrany w danym punkcie. "w "w �31 = c � = -c "x2 32 "x1 - maksymalna warto[ napr|enia wystpuje tam, gdzie nachylenie membrany do przekroju jest najwiksze - Wektor napr|enia stycznego jest r�wnolegBy do warstwic membrany 6.2. Analogia hydrodynamiczna. Analogia hydrodynamiczna dla przekroju skrcanego cienko[ciennego zamknitego: Kierunek wektora napr|enia stycznego dla przekroju cienko[ciennego zamknitego jest styczny do linii prdu cieczy nielepkiej wirujacej w naczyniu cylindrycznym, kt�rego podstaw jest przekr�j prta za[ tworzce prta s [ciankami bocznymi naczynia. DBugo[ wektora napr|eD jest proporcjonalna do prdko[ci wirujcej cieczy. 6.3. Skrcanie spr|ysto - plastyczne. Jak wiadomo z badaD eksperymentalnych, napr|enia nie mog przyjmowa warto[ci dowolnie du|ych. Wyobrazmy sobie w uproszczeniu, |e dla stanu, w kt�rym wystpuj tylko skladowe styczne - obszar dopuszczalny ograniczony jest od g�ry warto[ci �dop (dopuszczalne). Zwizek �-� przedstawiony jest na rysunku 6.3. � �pl � Rysunek 6.3. Zachowanie elasto-idealnie plastyczne. Wida, |e wraz ze wzrostem kta odksztaBcenia postaciowego napr|enie ro[nie do pewnej warto[ci liniowo (prawo Hooke'a) p�zniej za[ pozostaje staBe. Taka idealizacja rzeczywistego zachowania materialu nazywa si modelem spr|ysto - idealnie plastycznym. ZaBo|my, |e w przekroju skrcanym, w kt�rym napr|enia rozBo|one s niejednorodnie - najwiksze jego warto[ci osignBy ju| warto[ graniczn. WytworzyB sie zatem obszar wewntrzny zwany "uplasytycznionym", w kt�rym napr|enia maj staB warto[c oraz obszar spr|ysty, kt�ry nie pozwala na dowolnie du| warto[ kta skrcenia. Styczna do funkcji 3 Prandtla dla takiego stanu ma nad obszarem uolastycznionym styczna nachylona do konturu pod staBym ktem, w ka|dym punkcie konturu. Jest tak, gdy| maksymalne napre|enie napierw pojawia si na konturze. Przedstawia to rysunek 6.4. cz[ spr|ysta tg�=�pl � � Rysunek 6.4. Funkcja Prandtla dla przekroju uplastycznionego cz[ciowo i caBkowicie. W sytuacji granicznej, gdy nap|enia w ka|dym punkcie przekroju osigaja warto[c dopuszczaln, funkcja Prandtla przyjmuje form ostrosBupa o krawdziach r�wnonachylonych do konturu. Taka sytuacja oznacza, |e kt obrotu tego przekroju jest dowolnie du|y. PowstaB w ten spos�b przegub plastyczny, kt�ry tym r�|ni si od przegubu plastycznego, |e wystpuje w nim moment plastyczny Mpl, moment wypadkowy napr|eD plastycznych. Aatwo go obliczyc jako podw�jn objto[ zamknit bryB ostrosBupa. Ms=2V Jest tak, gdy| zgodnie ze znanym ju| wzorem (wykBad 2) moment skrcajcy r�wny jest podw�jnej caBce z funkcji Prandtla po przekroju. 4

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WMIV ml 09
WMIV ml 10
WMIV ml 07
WMIV ml 03
WMIV ml 08
WMIV ml 01
WMIV ml 04
WMIV ml 05
WMIV ml 02
Tech tech chem11[31] Z5 06 u
srodki ochrony 06[1]
06 (184)
06

więcej podobnych podstron