ÿþW y k Ba d 6 . A n a l o g i a b Bo n o w a , a n a l o g i a h y d r o d y n a m i c z n a , s k r c a n i e
s p r |y s t o - p l a s t y c z n e .
6 . 1 . A n a l o g i a b Bo n o w a
A n a l o g i a b Bo n o w a s Bu |y w i z u a l i z a c j i p r z e b i e g u f u n k c j i n a p r |e D P r a n d t l a d l a d o w o l n e g o
k o n t u r u p r z e k r o j u p r t a s k r c a n e g o . A n a l o g i i t e j m o |n a r ó w n i e | u |y w c e l u
d o [w i a d c z a l n e g o w y z n a c z e n i a n a p r |e D s t y c z n y c h w p r z e k r o j u .
A n a l o g i t m o |n a s f o r m u Bo w a w p o s t a c i n a s t p u j c e g o t w i e r d z e n i a :
W a r t o [c i f u n k c j i P r a n d t l a w p u n k t a c h p r z e k r o j u o d a n y m k o n t u r z e s p r o p o r c j o n a l n e d o
o d l e g Bo [c i o d t e g o p r z e k r o j u p o w i e r z c h n i m e m b r a n y n a p i t e j n a t y m k o n t u r z e i o b c i |o n e j
r ó w n o m i e r n y m c i [n i e n i e m o k i e r u n k u p r o s t o p a d By m d o p r z e k r o j u .
A b y w y k a z a , |e t a k j e s t , w y p r o w a d z i m y r ó w n a n i e m e m b r a n y r o z p i t e j n a k o n t u r z e
p r z e k r o j u i o b c i |o n e j r ó w n o m i e r n y m c i [n i e n i e m p . C i [n i e n i e t o j e s t s k i e r o w a n e z a w s z e
p r o s t o p a d l e d o o d k s z t a Bc o n e j p o w i e r z c h n i m e m b r a n y .
Z a l o |y m y , |e w m e m b r a n i e p a n u j e p Ba s k i s t a n n a p r |e n i a . W k a |d y m p u n k c i e m e m b r a n y
n a p r |e n i e g Bó w n e p r o s t o p a d Be d o j e j p o w i e r z c h n i z n i k a z a [ p o z o s t a Be n a p r |e n i a g Bó w n e s
i d e n t y c z n e m a j w a r t o [ s i n i e z a l e | o d x 1 , x 2 . Z a k Ba d a m y , |e p r z e m i e s z c z e n i a p u n k t ó w n a
p o w i e r z c h n i m e m b r a n y w ( x 1 , x 2 ) s m a Be n a t y l e , |e c o s ³ H" 1 , s i n ± H" t g ± H" ±. ( O z n a c z e n i a j a k
n a r y s u n k u p o n i |e j )
² p d x 1 d x 2
S d x 1
S d x 2
"±
± + d x 1
"x 1
±
x 2
w ( x 1 , x 2 )
"²
S d x 1
² + d x 2
S d x 2
"x 2
x 1
R y s u n e k 6 . 1 W y c i n e k m e m b r a n y r o z p i t e j n a d k o n t u r e m p r z e k r o j u . Z a z n a c z o n o w y p a d k o w e
n a p r |e D w m e m b r a n i e i w y p a d k o w a c i [n i e n i a d z i a Ba j c e g o n a w y c i n e k .
R ó w n o w a g a w y c i n k a m e m b r a n y - s u m a r z u t ó w s i B d z i a Ba j c y c h n a w y c i n e k n a o [ x 3 -
z a p i s u j e s i n a s t p u j c o :
1
ëø öø ëø öø
"± "²
- s d x 2 s i n ± + s d x 2 s i n ìø± + d x 1 ÷ø - s d x 1 s i n ² + s d x 1 s i n ìø ² + d x 2 ÷ø + p d x 1 d x 2 c o s ³ = 0
ìø ìø
"x 1 ÷ø "x 2 ÷ø
íø øø íø øø
ëø öø ëø öø
"± "²
- s d x 2 ± + s d x 2 ìø± + d x 1 ÷ø - s d x 1 ² + s d x 1 ìø ² + d x 2 ÷ø + p d x 1 d x 2 E" 0
ìø ìø
"x 1 ÷ø "x 2 ÷ø
íø øø íø øø
ëø öø ëø öø
"± "² "w "w
s d x 2 ìø d x 1 ÷ø + s d x 1 ìø d x 2 ÷ø + p d x 1 d x 2 E" 0 p o n i e w a | ± = o r a z ² = :
ìø
"x 1 ÷ø ìø "x 2 ÷ø "x 1 "x 2
íø øø íø øø
ëø öø ëø öø
"2 w "2 w
s ìø ÷ø + s ìø 2 ÷ø + p E" 0
ìø ÷ø ìø ÷ø
"x 1 2 "x 2
íø øø íø øø
( 1 )
"2 w "2 w p
+ E" -
"x 1 2 "x 2 2 s
W i d a , |e r ó w n a n i e p o w i e r z c h n i m e m b r a n y j e s t f o r m a l n i e i d e n t y c z n e z r ó w n a n i e m j a k i e
m u s i s p e Bn i a f u n k c j a P r a n d t l a :
( 2 )
Õ, 1 1 + Õ, 2 2 = - 2 G ˜'
W y n i k a s t d , |e f u n k c j a P r a n d t l a j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o f u n k c j i p r z e m i e s z c z e n i a m e m b r a n y ,
j a k o r o z w i z a n i e t e g o s a m e g o r ó w n a n i a r o |n i c z k o w e g o . J e [l i ( 1 ) i ( 2 ) p r z e k s z t a Bc i t a k a b y
b y By i d e n t y c z n e ( n i e c h p r a w a s t r o n a b d z i e r ó w n a 1 ) t o o t r z y m a s i Õ w y r a |o n e p r z e z w :
2
2 ¸ G s
Õ = w = c w
p
R y s u n e k 6 . 2 . P o l e w e j - k t y , k t ó r y c h t a n g e n s j e s t p r o p o r c j o n a l n y d o m o d u Bu w a r t o [c i
o d p o w i e d n i e j s k l a d o w e j n a p r |e n i a s t y c z n e g o , p o p r a w e j - r y s u n e k o r i e n t a c y j n y w e k t o r a
n a p r |e n i a s t y c z n e g o d o w a r s t w i c m e m b r a n y .
2
J e [l i w e k s p e r y m e n c i e u d a s i z m i e r z y w ( x 1 , x 2 ) - u g i c i e n a p i t e j m e m b r a n y , t o o t r z y m a m y
Ba t w o f u n k c j P r a n d t l a b e z k o n i e c z n o [c i r o z w i z y w a n i a r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o .
Aa t w o m o |n a s i p r z e k o n a , |e :
- s k Ba d o w a n a p r |e n i a s t y c z n e g o m o |e b y z i l u s t r o w a n a j a k o k t n a c h y l e n i a s t y c z n e j d o
p o w i e r z c h n i u g i c i a m e m b r a n y w d a n y m p u n k c i e .
"w "w
Ä3 1 = c Ä = - c
"x 2 3 2 "x 1
- m a k s y m a l n a w a r t o [ n a p r |e n i a w y s t p u j e t a m , g d z i e n a c h y l e n i e m e m b r a n y d o
p r z e k r o j u j e s t n a j w i k s z e
- W e k t o r n a p r |e n i a s t y c z n e g o j e s t r ó w n o l e g By d o w a r s t w i c m e m b r a n y
6 . 2 . A n a l o g i a h y d r o d y n a m i c z n a .
A n a l o g i a h y d r o d y n a m i c z n a d l a p r z e k r o j u s k r c a n e g o c i e n k o [c i e n n e g o z a m k n i t e g o :
K i e r u n e k w e k t o r a n a p r |e n i a s t y c z n e g o d l a p r z e k r o j u c i e n k o [c i e n n e g o z a m k n i t e g o j e s t
s t y c z n y d o l i n i i p r d u c i e c z y n i e l e p k i e j w i r u j a c e j w n a c z y n i u c y l i n d r y c z n y m , k t ó r e g o
p o d s t a w j e s t p r z e k r ó j p r t a z a [ t w o r z c e p r t a s [c i a n k a m i b o c z n y m i n a c z y n i a .
D Bu g o [ w e k t o r a n a p r |e D j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o p r d k o [c i w i r u j c e j c i e c z y .
6 . 3 . S k r c a n i e s p r |y s t o - p l a s t y c z n e .
J a k w i a d o m o z b a d a D e k s p e r y m e n t a l n y c h , n a p r |e n i a n i e m o g p r z y j m o w a w a r t o [c i
d o w o l n i e d u |y c h . W y o b r a zm y s o b i e w u p r o s z c z e n i u , |e d l a s t a n u , w k t ó r y m w y s t p u j t y l k o
s k l a d o w e s t y c z n e - o b s z a r d o p u s z c z a l n y o g r a n i c z o n y j e s t o d g ó r y w a r t o [c i Äd o p
( d o p u s z c z a l n e ) . Z w i z e k ³- Ä p r z e d s t a w i o n y j e s t n a r y s u n k u 6 . 3 .
Ã
Äp l
µ
R y s u n e k 6 . 3 . Z a c h o w a n i e e l a s t o - i d e a l n i e p l a s t y c z n e .
W i d a , |e w r a z z e w z r o s t e m k t a o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o n a p r |e n i e r o [n i e d o p e w n e j
w a r t o [c i l i n i o w o ( p r a w o H o o k e ' a ) p ó zn i e j z a [ p o z o s t a j e s t a Be . T a k a i d e a l i z a c j a r z e c z y w i s t e g o
z a c h o w a n i a m a t e r i a l u n a z y w a s i m o d e l e m s p r |y s t o - i d e a l n i e p l a s t y c z n y m .
Z a Bo |m y , |e w p r z e k r o j u s k r c a n y m , w k t ó r y m n a p r |e n i a r o z Bo |o n e s n i e j e d n o r o d n i e -
n a j w i k s z e j e g o w a r t o [c i o s i g n By j u | w a r t o [ g r a n i c z n . W y t w o r z y B s i e z a t e m o b s z a r
w e w n t r z n y z w a n y " u p l a s y t y c z n i o n y m " , w k t ó r y m n a p r |e n i a m a j s t a B w a r t o [c o r a z o b s z a r
s p r |y s t y , k t ó r y n i e p o z w a l a n a d o w o l n i e d u | w a r t o [ k t a s k r c e n i a . S t y c z n a d o f u n k c j i
3
P r a n d t l a d l a t a k i e g o s t a n u m a n a d o b s z a r e m u o l a s t y c z n i o n y m s t y c z n a n a c h y l o n a d o k o n t u r u
p o d s t a By m k t e m , w k a |d y m p u n k c i e k o n t u r u . J e s t t a k , g d y | m a k s y m a l n e n a p r e |e n i e n a p i e r w
p o j a w i a s i n a k o n t u r z e . P r z e d s t a w i a t o r y s u n e k 6 . 4 .
c z [ s p r |y s t a
t g ±= Äp l ± ±
R y s u n e k 6 . 4 . F u n k c j a P r a n d t l a d l a p r z e k r o j u u p l a s t y c z n i o n e g o c z [c i o w o i c a Bk o w i c i e .
W s y t u a c j i g r a n i c z n e j , g d y n a p |e n i a w k a |d y m p u n k c i e p r z e k r o j u o s i g a j a w a r t o [c
d o p u s z c z a l n , f u n k c j a P r a n d t l a p r z y j m u j e f o r m o s t r o s Bu p a o k r a w d z i a c h r ó w n o n a c h y l o n y c h
d o k o n t u r u . T a k a s y t u a c j a o z n a c z a , |e k t o b r o t u t e g o p r z e k r o j u j e s t d o w o l n i e d u |y . P o w s t a B
w t e n s p o s ó b p r z e g u b p l a s t y c z n y , k t ó r y t y m r ó |n i s i o d p r z e g u b u p l a s t y c z n e g o , |e w y s t p u j e
w n i m m o m e n t p l a s t y c z n y M p l , m o m e n t w y p a d k o w y n a p r |e D p l a s t y c z n y c h . Aa t w o g o
o b l i c z y c j a k o p o d w ó j n o b j t o [ z a m k n i t b r y B o s t r o s Bu p a .
M s = 2 V
J e s t t a k , g d y | z g o d n i e z e z n a n y m j u | w z o r e m ( w y k Ba d 2 ) m o m e n t s k r c a j c y r ó w n y j e s t
p o d w ó j n e j c a Bc e z f u n k c j i P r a n d t l a p o p r z e k r o j u .
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