Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Pochodna i ekstrema funkcji 1
Zestaw nr 5. Pochodna funkcji, ekstrema, punkty przegięcia.
" Pochodna funkcji f zmiennej rzeczywistej w punkcie x0 :
f(x0 + "x) - f(x0)
f (x0) = lim (o ile ta granica istnieje).
"x0
"x
" Pochodne jednostronne. Niekiedy przy badaniu istnienia pochodnej w danym punkcie niezbęd-
ne jest rozważanie granic jednostronnych związanych z powyższą granicą, mianowicie
f(x0 + "x) - f(x0) f(x0 + "x) - f(x0)

f-(x0) = lim i f+(x0) = lim
"x0- "x0+
"x "x
 granice te, jeżeli istnieją, nazywamy odpowiednio pochodną lewostronną oraz prawostronną funk-
cji f w punkcie x0 . Oczywiście, pochodna (w zwykłym sensie) funkcji f w punkcie x0 istnieje

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją odpowiednie pochodne jednostronne f-(x0) i f+(x0) i są sobie
równe. Pojęcia pochodnej jednostronnej nie należy mylić z pojęciem odpowiedniej jednostronnej
granicy pochodnej w punkcie x0 , tzn. wielkościami
f (x0-) = lim f (x)
xx0-
i
f (x0+) = lim f (x) ;
xx0+
wprawdzie dla funkcji np. lewostronnie ciągłej w punkcie x0 istnienie lewostronnej granicy po-
chodnej przy x dążącym do x0 z lewej strony (tzn. istnienie f (x0-) ) pociąga za sobą istnienie

pochodnej lewostronnej funkcji f w punkcie x0 : f-(x0) i wtedy zachodzi równość f-(x0) =
f (x0-) , podobnie dla pochodnych i granic prawostronnych (wynika to z twierdzenia Lagrange a
zastosowanego do ilorazu różnicowego rozważanej funkcji)  ale odwrotna zależność nie zawsze
zachodzi, jak pokazuje przykład z zadania 4b.
" Jeżeli funkcja f ma pochodną (odpowiednio: pochodną lewostronną, pochodną prawostronną) w
punkcie x0 , to w szczególności funkcja ta jest ciągła (odpowiednio: ciągła lewostronnie, ciągła
prawostronnie) w tym punkcie.
" Uwaga. Niech x0 będzie ustalonym punktem, a funkcje g1 i g2 będą określone odpowiednio
dla x d" x0 i dla x e" x0 , przy czym funkcja g1 posiada pochodną lewostronną w punkcie x0

czyli g1-(x0) , zaś funkcja g2 posiada pochodną prawostronną w punkcie x0 , czyli g2+(x0) . (W
szczególności, funkcja g1 jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 , zaś funkcja g2 jest prawostronnie
ciągła w punkcie x0 .)
Rozważmy funkcję f powstałą poprzez  sklejenie tych funkcji w punkcie x0 na jeden z dwóch
możliwych sposobów, tzn. określoną

g1(x), x d" x0
albo warunkiem (I) f(x) = ,
g2(x), x > x0

g1(x), x < x0
albo warunkiem (II) f(x) = .
g2(x), x e" x0
Skupmy się najpierw na przypadku (I). Wtedy pochodna lewostronna funkcji f w punkcie x0 ,

czyli f-(x0) jest oczywiście równa pochodnej lewostronnej funkcji g1 , czyli f-(x0) = g1-(x0) .
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Pochodna i ekstrema funkcji 2
Natomiast odnośnie pochodnej prawostronnej analogiczny wniosek można sformułować dopie-
ro przy dodatkowym założeniu, że granica prawostronna funkcji g2 w punkcie x0 jest rów-
na liczbie g1(x0) która została przyjęta jako wartość funkcji f w punkcie x0 . Inaczej mó-
wiąc, funkcja f otrzymana przez takie  sklejenie musi być prawostronnie ciągła w punkcie x0 :
lim g2(x) = g2(x0) = g1(x0) . Podobnie, w przypadku (II), aby pochodna lewostronna funkcji f
xx0+

w punkcie x0 czyli f-(x0) była równa pochodnej lewostronnej funkcji g1 w tym punkcie, musi
być lim g1(x) = g1(x0) = g2(x0) .
xx0-
" Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu. Jeżeli istnieją f (x) i g (x) , to:
[f(x) ą g(x)] = f (x) ą g (x) ;

f(x) f (x) � g(x) - f(x) � g (x)
[f(x) � g(x)] = f (x)�g(x)+f(x)�g (x) ; = (o ile g(x) = 0 ).

g(x)
[g(x)]2
" Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną f (x) oraz funkcja z = g(y) ma pochodną g (y) , to
funkcja złożona h(x) = g[f(x)] ma pochodną h (x) = g [f(x)] � f (x) .
" Pochodne niektórych funkcji elementarnych:
f(x) xą xn ex ax sin x cos x tg x ctg x ln |x| loga x arc sin x arc tg x
1 1 1 1 1 1
f (x) ąxą-1 nxn-1 ex ax ln a cos x sin x - "
cos2 x sin2 x x x ln a - x2 1 + x2
1
Zadania
1
1) Policzyć z definicji pochodną funkcji a) f(x) = cos 2x ; b) f(x) = .
1 + x2
2) Znalez
ć pochodne funkcji:
ln(sin2 x)
a) f(x) = sin(x2 sin x); b) f(x) = arc tg(ln x + x); c) f(x) = ;
x

3
"
d) f(x) = 2sin x log2 x; e) f(x) = x ln2 x + ln x2 ; f) f(x) = cos3 e2x + ln2 tg x;
g) f(x) = logx(sin x); h) f(x) = xx; i) f(x) = xsin x;
"
"
1 + x
j) f(x) = sin(ln x cos x); k) f(x) = arc tg ; l) f(x) = ln(x + x2 + K);
1 - x
"
x" K
m) f(x) = x2 + K + ln(x + x2 + K).
2 2
Wskazówki do g), h): logb a = (ln a)/(ln b) ; ab = eb ln a . Uwaga: w podpunktach l), m) maksymalnie
uprościć wynik.
3) Dla jakich , n i ew. p w punkcie c) funkcja f dana poniższymi wzorami jest różniczkowalna:
m
x2, x d" x0 x2 - x - 1, x d" 3
a) f(x) = ; b) f(x) = ;
mx + n, x > x0 nemx, x > 3
ńł
4x, x d" 0
�ł
c) f(x) = mx2 + nx + p, 0 < x < 1 .
ół
3 - 2x, x e" 1
4) Zbadać różniczkowalność (zwłaszcza w punkcie x = 0 i ew. x = 2 w podpunkcie c)) funkcji:

1 1
x sin , x = 0 x2 sin , x = 0

a) f(x) = ; b) f(x) = (czy f (0) = lim f (x)?)
x x
x0
0, x = 0 0, x = 0
ńł
1
�ł - x2, x < 0
c) f(x) = (x - 1)2, 0 d" x d" 2
ół
4 - x, x > 2
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Pochodna i ekstrema funkcji 3
5) Dobrać parametr a tak, aby krzywa y = a(1 + x2) ln(x - 2) przecinała oś Ox pod kątem ą .
6) Dla jakich wartości parametru a parabola y = ax2 jest styczna do krzywej y = ln x ?
7) Pokazać, że prawdziwe są nierówności:
x
a) ex > 1 + x dla x = 0; b) d" ln(1 + x) d" x dla x > -1.

1 + x
2x
8) Wykazać, że funkcja f(x) = 2 arc tg x + arc sin jest stała na 1, +") . Jaka jest wartość tej
1 + x2
stałej?
"
9) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x2 + 6x w punkcie x0 = 2 .
10) Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji
1 x
a) f(x) = 4x + b) f(x) = ex(x + 1) c) f(x) =
x ln x
x3 x
d) f(x) = x ln2 x e) f(x) = f) f(x) = x - arc sin
3 - x2 2
11) Znalez
ć ekstrema funkcji
x
a) f(x) = x3 - 4x2 b) f(x) = x ln x c) f(x) =
x2 + 4
d) f(x) = xx e) f(x) = x2e-x f) f(x) = |x2 - 5x - 6|
"
"
3
g) f(x) = x - x h) f(x) = 2x2 - x3 i) f(x) = xe1/x