dr Maria Malejki
WMS
Egzamin z Analizy Matematycznej 1
dla grupy wykladowej IB kierunku matematyka
1. Struktura algebraiczna ciala -definicja i przykady.
2. Cialo uporz¸ adek, adek
adkowane, porz¸ porz¸ zgodny z dzialaniami. Przyklady.
3. Wlasność istnienia kresów zbiorów w ciele liczb rzeczywistych. Zbiory ograniczone. Definicje i wlasności
kresów podzbiorów rzeczywistych.
4. Relacja w iloczynie kartezjaÅ„skim X × Y . WlasnoÅ›ci relacji - definicje, dziedzina relacji, obraz, wlasność
prawo- i lewostronnej jednoznaczności relacji.
5. Definicja funkcji. Wlasności funkcji (wykres, obraz, injektywność, surjektywność, bijekcja). Funkcja
odwrotna. Przyklady funkcji odwrotnych.
6. Ciagi, ciagi liczbowe, podciagi - definicje. Wlasności monotoniczności i ograniczoności ciagów liczb rzeczy-
¸ ¸ ¸ ¸
wistych. Przyklady.
7. Granica ciagu - definicja. Dowód, że limn" 1/n = 0.
¸
8. Granica ciagu - definicja. Dowód stwierdzenia o jednoznaczności granicy ciagu zbieżnego.
¸ ¸
9. Wlasności granicy ciagu - granice sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu ciagów. Sformulowanie twierdzenia i
¸ ¸
dowód.
10. Granice niewlaściwe - definicje. Symbole nieoznaczone. Przyklady.
11. Twierdzenie o granicy 3 ciagów z dowodem.
¸
12. Tw. Weierstrassa o zbieżności ciagu monotonicznego i ograniczonego z dowodem.
¸
13. Tw. Weierstrassa o zbieżności ciagu monotonicznego i ograniczonego.
¸
1
Wykazać zbieżność ciagu {(1 + )n}" .
¸
n=1
n
14. Zasada Cantora; cz¸Å›Ä‡ wspólna zst¸ acego ciagu przedzialów domkni¸ i ograniczonych.
e epuj¸ ¸ etych
15. Tw. Bolzano-Weierstrzassa o ciagu ograniczonym. Dowód twierdzenia.
¸
16. Ciag Cauchy ego (fundamentalny)-definicja. Równoważność warunku Cauchy ego i zbieżności dla ciagów
¸ ¸
liczbowych.
17. Kryterium Cauchy ego zbieżności ciagów z dowodem.
¸
18. Tw. Stolza. Przyklady zastosowania.
19. Zbiór punktów skupienia dla ciagów. Granica górna i dolna dla ciagu rzeczywistego. Podstawowe wlasności
¸ ¸
granicy górnej i dolnej.
20. Szereg liczbowy -definicja. Poj¸ zbieżnoÅ›ci szeregów (definicja). Warunek konieczny zbieżnoÅ›ci szeregu
ecie
z dowodem.
21. Kryterium porównawcze zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych. Sformulowanie twierdzenia i dowód.
22. Kryterium Cauchy ego (pierwiastkowe) zbieżności szeregów. Sformulowanie twierdzenia i dowód.
23. Kryterium d Alemberta (ilorazowe) zbieżności szeregów. Sformulowanie twierdzenia i dowód.
"" 1 "" 1
24. Badanie zbieżnoaci szeregów harmonicznych np. , .
n=1 n=2 np(lnn)q
np
25. Zbieżność bezwzgl¸ szeregów. Dowód zbieżnoÅ›ci szeregu bezwzgl¸ zbieżnego.
edna ednie
1
26. Zagadnienie zmiany kolejnoÅ›ci sumowania dla szeregów o wyrazach nieujemnych lub szeregu bezwzgl¸
ednie
zbieżnego.
27. Iloczyn Cauchy ego szeregów.
28. Kryteria Leibniza i Dirichleta zbieżności szeregów z dowodami.
29. Granica funkcji - definicja wg Cauchy ego, definicja wg Heinego. Dowód równoważności tych definicji dla
funkcji rzeczywistych.
30. Granice cz¸Å›ciowe. Dowód limx0 sin x = 1.
e
x
31. Twierdzenie o granicy funkcji zlożonej.
32. Twierdzenie o istnieniu granic prawostronnych i lewostronnych dla funkcji monotonicznych. Sformulowanie
twierdzenia i dowód.
33. Asymptoty - definicje, wzory, przyklady.
34. Poj¸ funkcji ciaglej. Definicja ciagloÅ›ci w punkcie. Ciaglość funkcji na zbiorze. Podstawowe wlasnoÅ›ci
ecie ¸ ¸ ¸
funkcji ciaglych (z dowodami).
¸
35. Ciaglość sumy, iloczynu, ilorazu i zlożenia funkcji ciaglych. Sformulowanie twierdzeń i dowody.
¸ ¸
36. Tw. Weierstrassa o istnieniu wartoÅ›ci najwi¸ i wartoÅ›ci najmniejszej dla funkcji ciaglej na przedziale
ekszej ¸
domkni¸ i ograniczonym z dowodem.
etym
37. Tw. o wlasności Darboux dla funkcji ciaglej na przedziale.
¸
38. Jednostajna ciaglość, warunek Lipschiza -definicje i porównanie z wlasnościa ciaglości.
¸ ¸ ¸
39. Pochodna funkcji -definicja, wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji elementarnych.
40. Pochodna funkcji -definicja. Podstawowe wlasności pochodnych i wzory na pochodne sumy, iloczynu i
ilorazu dla funkcji różniczkowalych (dowody lub wyprowadzenie wzorów).
41. Pochodna funkcji -definicja. Wzory na pochodn¸ funkcji zlożonej i funkcji odwrotnej (wyprowadzenie
a
wzorów).
42. Ciaglość a różniczkowalność. Sformulowanie twierdzenia i dowód.
¸
43. Różniczka funkcji. Pochodne i różniczki wyższych rz¸ Klasy Cn, C".
edów.
44. Twierdzenia Rolle a, Cauchy ego i Lagrange a z dowodami.
45. Wzór Taylora z reszt¸ Peano, wzór Taylora z reszt¸ Lagrange a (przygotować dowód jednego z twierdzeÅ„).
a a
Rozwini¸ w szereg Taylora lub Maclaurina dla niektórych funkcji elementanych.
ecie
46. Regula de L Hospitala (z dowodem). Przyklady.
47. Warunek na monotoniczność funkcji wyrażony za pomoc¸ pochodnych (z dowodem).
a
48. Warunek konieczny i warunki wystarczajace na ekstrema lokalne (z pochodn¸ pierwszego rz¸ z dowo-
¸ a edu)
dem.
49. Warunki wystarczajace na ekstrema lokalne z pochodnymi wyższych rz¸ - sformulowanie twierdzeÅ„.
¸ edów
50. Wypuklość funkcji -definicja, badanie przedzialów wypukloÅ›ci za pomoc¸ pochodnej drugiego rz¸
a edu.
Sformulowanie twierdzenia i dowód.
51. Wypuklość a ciaglość. Sformulowanie twierdzenia i dowód.
¸
2