WYKA
AD NR 20
Przekształcenie liniowe
stosowane w analizie obwodów
trójfazowych.
Składowe symetryczne.
MENU EXIT
Wykład 20
" Metoda składowych symetrycznych.
" Metoda składowych symetrycznych.
" Filtry składowych symetrycznych.
" Filtry składowych symetrycznych.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
Istnieją trzy układy napięć trójfazowych
układ zgodny (1), układ przeciwny (2) i układ zerowy (3):
(1)
U
U = a2U ;
U = aU
A1
B1 A1
C1 A1
U
U = aU ;
(2)
U = a2U
A2
B2 A2
C 2 A2
U
U = U ;
U = U
A0
B0 A0
C0 A0
(3)
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Idea metody składowych symetrycznych
polega na tym, że stosując odpowiednie
przekształcenie liniowe zastępujemy układ
trzech wektorów niesymetrycznych przez
trzy równoważne układy symetryczne.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
U ,U ,U
A B C
" Załóżmy, że dane są trzy napięcia
tworzące układ niesymetryczny. Jeżeli układ tych
wektorów zastępujemy przez trzy układy symetryczne, to
każde z napięć wyrażamy przez sumę trzech napięć po
jednym z każdego układu symetrycznego:
U = U +U +U
A A0 A1 A2
U = U + a2U + aU
(4)
B A0 A1 A2
U = U + aU + a2U
C A0 A1 A2
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Przyjmujemy, że wektorem podstawowym
każdego układu jest wektor odpowiadający fazie
A i wprowadzimy oznaczenia:
(5)
U = U ;U1 = U ;U = U .
0 A0 A1 2 A2
U ,U1,U ,
" Wektory nazywamy składowymi
0 2
symetrycznymi odpowiednio zerową, zgodną i
przeciwną. Uwzględniając składowe symetryczne:
U = U +U1 +U
A 0 2
(6)
U = U + a2U1 + aU
B 0 2
U = U + aU1 + a2U
C 0 2
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Napięcia układu niesymetrycznego wyraziliśmy w funkcji
trzech składowych symetrycznych. W postaci
macierzowej:
U 1 1 1 U
Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
A 0
ó#U Ą# ó#1 a2 a Ą#ó#U Ą#
=
(7)
B 1
ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
ó# Ą# ó#
C Ś#Ł#U Ś#
2
Ł#U Ś# Ł#1 a a2 Ą#ó# Ą#
" Wprowadzimy oznaczenia:
U
Ą# ń#
A
" - macierz kolumnowa (wektor) napięć
ó#U Ą#
U =
B
ó# Ą#
niesymetrycznych
ó# Ą#
C
Ł#U Ś#
- macierz kolumnowa (wektor) składowych
U
Ą# ń#
0
ó#U Ą#
US =
symetrycznych
1
ó# Ą#
ó# Ą#
2
Ł#U Ś#
1 1 1
Ą# ń#
- macierz przekształcenia.
ó#1 Ą#
S = a2 a
ó# Ą#
ó#
Ł#1 a a2 Ą#
Ś#
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Równanie (7) można zapisać krótko w postaci
(8)
U = SUS
podobnie dla prądów .
(9)
I = SIS
Równania (8), (9) stosujemy wtedy, gdy są dane składowe
symetryczne, a należy wyznaczyć układ niesymetryczny.
Przeważnie jednak interesuje nas zagadnienie odwrotne:
wyznaczenie składowych symetrycznych przy danym
układzie niesymetrycznym. W tym celu pomnożymy
-1
lewostronnie równanie (8) przez macierz odwrotną ,
S
-1 -1
W wyniku czego otrzymamy S U = S SUS .
(10)
-1
Stąd przy czym:
US = S U
(11)
1 1 1
Ą# ń#
(11)
1
-1 ó#1 a a2 Ą#
S =
ó# Ą#
3
ó#
Ł#1 a2 a Ą#
Ś#
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" W postaci rozwiniętej równanie (11) napiszemy tak:
U 1 1 1 U
Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
0 A
1
ó#U Ą# ó#1 a a2 Ą#ó#U Ą#
(12)
=
1 B
ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
3
ó# Ą# ó#
2 Ś#Ł#U Ś#
C
Ł#U Ś# Ł#1 a2 a Ą#ó# Ą#
1
U = (U +U +U )
0 A B C
czyli:
3
1
(13)
U1 = (U + aU + a2U )
A B C
3
1
U = (U + a2U + aU )
2 A B C
3
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Dla zilustrowania przedstawionych równań
przeanalizujemy następujące zagadnienie. Załóżmy, że
odbiornik trójfazowy symetryczny jest zasilany ze z
ródła
trójfazowego niesymetrycznego o napięciach
U ,U ,U
A B C
(rys. 1a). W wyniku rozłożenia niesymetrycznego układu
napięć na składowe symetryczne, obwód pokazany na rys.
1a można zastąpić obwodem jak na rys. 1b.
1a)
1b)
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
= 1c)
+
+
" Rys. 1. Ilustracja metody składowych symetrycznych w
zastosowaniu do układu trójfazowego zasilanego
napięciami niesymetrycznymi: a) układ wyjściowy; b)
układ z zaznaczonymi składowymi symetrycznymi napięć;
c) układy składowe: zerowy, zgodny i przeciwny.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Jeżeli następnie zastosujemy zasadę superpozycji, to
wydzielimy 3 generatory symetryczne i utworzymy 3
niezależne układy trójfazowe symetryczne zasilane
układem napięć: zerowym, zgodnym i przeciwnym. W
każdym układzie obliczamy rozpływ prądów, przy czym
obliczenia są przeważnie bardzo proste, gdyż dotyczą
układów symetrycznych. Wypadkowy rozpływ prądów
otrzymujemy w wyniku geometrycznego dodania prądów
obliczonych w każdym układzie.
W metodzie składowych symetrycznych oblicza się nie
wszystkie wielkości, lecz wielkości odniesione do fazy
podstawowej, którą jest faza A.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Napiszemy, zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa,
równania dla oczek schematów z rys. 1c obejmujących
fazę A i przewód zerowy.
 Dla schematu składowej zerowej:
(14)
U = Z I + Z I
0 0 N N
przy czym I = 3I .
N 0
(15)
Stąd
(16)
U = Z I + 3Z I = Z I
0 N 0 0 0 ,
0
gdzie: - impedancja dla składowej zerowej.
Z = Z + 3Z
0 N
-- Dla schematu składowej zgodnej
U1 = Z I1 , (17)
gdzie - impedancja dla składowej zgodnej.
Z1 = Z
-- Dla schematu składowej przeciwnej ,
(18)
U = Z I
2 2
gdzie: - impedancja dla składowej przeciwnej.
Z = Z
2
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Równaniom (16), (17), (18) odpowiadają schematy
jednofazowe przedstawione na rys. 2:
Z = Z
3Z
Z
I
2
I1 Z1 = Z I
N
0
2
U1 U
U 2
0
" Moc pozorna w postaci zespolonej
* * *
(19)
S = 3(U I +U1I1 +U I )
0 0 2 2
" Stąd moc czynna
P = Re S = 3(U0I0 cos�0 +U1I1 cos�1 +U2I2 cos�2) (20)
" Moc bierna
(21)
Q = Im S = 3(U0I0 sin�0 +U1I1 sin�1 +U2I2 sin�2)
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
Praktyczne wnioski z wzorów (13) i (15):
" (a) w układzie trójfazowym trójprzewodowym składowa zerowa prądu
przewodowego jest równa zeru, ;
I0 = 0
" (b) w układzie trójfazowym czteroprzewodowym prąd w przewodzie
zerowym jest równy potrójnej wartości składowej zerowej,
I = 3I ;
N 0
" (c) w układzie trójfazowym zarówno trójprzewodowym, jak i cztero-
przewodowym, składowa zerowa napięć międzyfazowych jest równa zeru,
gdyż suma napięć międzyprzewodowych zawsze jest równa zeru;
" (d) w uzwojeniach z
ródła lub odbiornika połączonego w trójkąt, może krążyć
składowa zerowa prądów fazowych, ale nie może wyjść poza trójkąt;
" (e) ponieważ w maszynach elektrycznych trójfazowych układ zgodny prądów
wywołuje pole wirujące zgodne z kierunkiem prędkości obrotowej, a układ
przeciwny prądów wywołuje pole wirujące przeciwne do kierunku prędkości
obrotowej, zatem duża niesymetria w układzie trójfazowym może
spowodować zmianę kierunku wirowania maszyn (przy przewadze składowej
przeciwnej);
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
Praktyczne wnioski z wzorów (13) i (15):
" (f) występowanie składowej przeciwnej jest dla pracy
maszyn elektrycznych niekorzystne, gdyż pole
magnetyczne wirujące przeciwnie do kierunku wirowania
maszyny indukuje prądy o podwójnej częstotliwości:
" (g) przy przepływie przez linię elektroenergetyczną
składowych zerowych prądu, powstaje w otoczeniu linii
pole magnetyczne, które może wywierać niekorzystny
wpływ na przebiegające w sąsiedztwie inne linie, np. linie
telekomunikacyjne.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
Filtry składowych symetrycznych
" Filtrami składowych symetrycznych są nazywane
urządzenia, których zadaniem jest wydzielenie
odpowiednich składowych symetrycznych napięcia i prądu
występujących w układzie trójfazowym. Zaciski
wejściowe filtru są dołączone do odpowiedniej sieci
trójfazowej, a do jego zacisków wyjściowych jest
dołączony przyrząd pomiarowy lub przekaz
nik. Zadaniem
przekaz
nika jest albo sygnalizowanie niesymetrii, która
może powstać w wyniku występującego w sieci
zakłócenia, albo spowodowanie wyłączenia pewnych
urządzeń wrażliwych na działanie składowych
symetrycznych zerowych lub przeciwnych.
" Rozróżniamy filtry składowej zerowej, składowej
przeciwnej i składowej zgodnej.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
2b)
2a)
" Rys. 2. Filtry składowej zerowej prądu: a) zastosowanie
trzech przekładników prądowych połączonych równolegle;
b) przekładnik Ferrantiego.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" W układzie trójfazowym czteroprzewodowym
włączenie amperomierza do przewodu zerowego pozwala
stwierdzić, czy istnieje składowa zerowa prądów. Prąd w
przewodzie zerowym jest bowiem równy potrójnej
wartości składowej zerowej prądów przewodowych. Tak
włączony amperomierz spełnia więc rolę filtru składowej
zerowej. W układzie trójfazowym trójprzewodowym
stosuje się filtry składowej prądu jak pokazano na rys. 2.
W układzie z rys. 2a przez amperomierz płynie suma
prądów przetransformowanych przez przekładniki
prądowe. Układ przedstawiony na rys. 2b stosujemy np. w
sieci kablowej, gdy nie ma możliwości włączenia
przekładników do poszczególnych faz sieci. Układ ten nosi
nazwę przekładnika Ferrantiego. Działa on na zasadzie
indukowania w uzwojeniu przekładnika napięcia w
przypadku, gdy w otoczeniu kabla istnieje zmienne pole
magnetyczne.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Na rys. 3 jest
przedstawiony
filtr składowej
zerowej napięcia
fazowego.
Uzwojenie
pierwotne filtru
jest połączone w
gwiazdę z
Rys. 3
uziemionym
punktem
zerowym, a
uzwojenie wtórne
w otwarty trójkąt.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
Rys. 4
" Rys. 4. Filtr składowej symetrycznej zgodnej i przeciwnej.
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" C.d.: Przedstawiamy dla przykładu jeden ze stosowanych
układów (rys. 4). Założymy, że w rozpatrywanym układzie
składowa zerowa prądów jest równa zeru, co jest jak
wiadomo spełnione w układach trójprzewodowych. Ustalimy
Z
warunki, jakie muszą spełniać impedancje i Z . Impe-
C
A
dancję przekaz
nika lub innego elementu reagującego na
występowanie określonej składowej symetrycznej oznaczono
Z
p
" Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla oczka
Z , Z , Z
obejmującego impedancje mamy
C A p
Z I + Z I + Z I = 0
" . (22)
C KO A LO p p
" Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzłów
K i L:
I = I + I ; I = I + I .
(23)
KO C p LO A p
I I
" Podstawiając prądy KO i LO do równania (22)
otrzymamy
Z I + Z I
A A C C
I = -
. (24)
p
Z + Z + Z
MENU EXIT
A C p
Wykład 20
Wykład 20
" Prądy I oraz I są prądami płynącymi po stronie
A C
wtórnej transformatorów prądowych, a więc w pewnej
skali wyrażają prądy przewodowe. Przy przyjętym
założeniu, że w układzie nie występują skłądowe zerowe,
I = aI1 + a2 I .
można napisać I = I1 + I ;
C 2
(25)
A 2
" Po podstawieniu prądów oraz wyrażonych za
I I
A C
pośrednictwem skłądowych zgodnej i przeciwnej, do
równania (24) otrzymamy
Z (I1 + I ) + Z (aI1 + a2 I )
A 2 C 2
I = - ,
(26)
p
Z + Z + Z
A C p
skąd po przegrupowaniu wyrazów licznika
I1(Z + aZ ) + I (Z + a2 Z )
A C 2 A C
(27)
I = - .
p
Z + Z + Z
A C p
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
I
" Prąd przekaz
nika reaguje tylko na składową zgodną,
p
jeśli
(28)
Z + a2 Z = 0,
A C

czyli
j
3
(29)
Z = -a2 Z = Z e .
A C C
Warunek określony równaniem (29) można spełnić
Ą
j
przyjmując np.
R R
Z = R;
3
C
(30)
Z = R *e = + j 3.
A
2 2
Układ z rys. 4 jest filtrem składowej zgodnej jeśli
Z
Z
impedancje i są dobrane zgodnie z zależnościami
C
A
(30): Prąd I przekaz
nika reaguje tylko na składową
p
przeciwną, jeśli
Z + aZ = 0, (31)
A C
czyli
Ą
- j
3
Z = -aZ = Z e .
(32)
A C C
MENU EXIT
Wykład 20
Wykład 20
" Warunek określony równaniem (32) można spełnić
Z = R;
przyjmując np.
C
Ą
- j
R R
3
Z = R*e = - j 3.
(33)
A
2 2
" Układ z rys. 4 jest filtrem składowej przeciwnej jeżeli
impedancje i Z są dobrane zgodnie z zależnościami
Z
C
A
Z
(32). W przypadku filtru składowej zgodnej impedancja
A
ma charakter indukcyjny, w przypadku filtru składowej
Z
przeciwnej impedancja ma charakter pojemnościowy,
A
przy czym moduły tej impedancji w obu przypadkach są
jednakowe.
MENU EXIT