Egzamin, matematyka A, 1 lutego 2005  rozwiazania

Mam nadzieje, że tu nie ma zbyt wielu bledów, jeszcze sprawdze ten tekst w środe. Jeśli ktoś czytajac

natknie sie na niezrozumialy tekst prosze o list elektroniczny, telefon lub wizyte.


czwartek (10 lutego) 10:15 -12, piatek (11 lutego) 11:00 -12:30,
sobota (16 lutego) 16:00 -18:00.

L. Podać definicje liczby loga x , czyli logarytmu liczby x przy podstawie a . Jakie warunki musza
spelniać liczby a oraz x , by można bylo określić loga x ?
" " "
3+log 2 4+9 log 2
1
"
Wykazać, że < log 3 < . Znalez
ć log , log2 1 , log 10 · 10 · 10 · 10
3
7 9 8
10
Rozw. Logarytmem liczby x > 0 przy podstawie a " (0, ") , a = 1 nazywamy taka liczbe y " ,

a
że ay = x , czyli alog x = x .
3+log 2

< log 3 wtedy i tylko wtedy, gdy 103+log 2 < 37 , a ponieważ 103+log 2 = 2000 i 37 = 2187 , wiec
7
4+9 log 2
nierówność jest prawdziwa. log 3 < wtedy i tylko wtedy, gdy 39 < 104+9 log 2 , a ponieważ
9

39 = 19683 i 104+9 log 2 = 5120000 , wiec nierówność jest prawdziwa.
1
1 1 1
" 3 "
log = -1 , bo 10- = = .
3
3 101/3 3 10
10
1 1
log2 1 = -3 , bo 2-3 = = .
8 23 8
" " "
1 1 1 7
log 10· 10· 10· 10 = log 10·101/2·101/4·101/8 = 101+1/2+1/4+1/4 = 1+ + + = 1 .
2 4 8 8

T. Rozwiazać nierówność tg(2t) e" ctg(3t) . Zaznaczyć na okregu x2+y2 = 1 odpowiedni zbiór, tj. zlożony

z punktów (x, y) = (cos t, sin t) , gdzie t oznacza liczbe spelniajaca nierówność tg(2t) e" ctg(3t) .
Rozw. Nierówność tg(2t) e" ctg(3t) równoważna jest temu, że
cos(3t) sin(2t) cos(3t) cos(2t)-sin(2t) sin(3t) cos(3t+2t) cos(5t)
0 e" ctg(3t) - tg(2t) = - = = = .
sin(3t) cos(2t) sin(3t)cos(2t) sin(3t) cos(2t) sin(3t) cos(2t)
Ta nierówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy 0 e" cos(5t) sin(3t) cos(2t) i sin(3t) = 0 = cos(2t) .

Iloczyn trzech liczb jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest ujemna a pozostale dwie do-

datnie lub wszystkie trzy sa ujemne. Zauważmy, że cos(2t) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba
Ä„ Ä„
calkowita k taka, że 2t = (2k + 1) , czyli t = (2k + 1) . Dalej sin(3t) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
2 4
Ä„
istnieje liczba calkowita m taka, że 3t = mĄ , czyli t = m i wreszcie cos(5t) = 0 wtedy i tylko wtedy,
3
Ä„ Ä„
gdy istnieje liczba calkowita n taka, że 5t = (2n+ 1) , czyli t = (2n+1)10 . Latwo można zauważyć,
2

że otrzymane trzy warunki wzajemnie sie wykluczaja, co oznacza, że jeśli jeden z trzech czynników
przyjmuje wartość 0 , to pozostale sa różne od 0 . Oczywiste jest również to, że każdy z czynników
cos(5t) , sin(3t) i cos(2t) zmienia znak przy przejściu przez swój pierwiastek. Wobec tego iloczyn
Ä„ Ä„
cos(5t) sin(3t) cos(2t) zmienia znak w każdym z punktów postaci (2n+1) , (2k+1) i mĄ . Funkcja
10 4 3
cos(5t) sin(3t) cos(2t) jest oczywiście okresowa, a jej okresem (najmniejszym dodatnim) jest liczba Ą :
cos 5(t + Ä„) sin 3(t + Ä„) cos 2(t + Ä„) = - cos(5t) - sin(3t) cos(2t) = cos(5t) sin(3t) cos(2t) .
Z tego co napisaliśmy wynika natychmiast, że funkcja cos(5t) sin(3t) cos(2t) jest niedodatnia na
Ä„ Ä„ 3Ä„ Ä„ Ä„ 2Ä„ 7Ä„ 3Ä„ 9Ä„
każdym z przedzialów , , , , , , , oraz , Ą ; w pozostalych punktach
10 4 10 3 2 3 10 4 10
przedzialu (0, Ą] funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie. Nierówność tg(2t) e" ctg(3t) jest spelniona

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba calkowita j taka, że spelniona jest jedna z pieciu podwójnych
Ä„ Ä„ 3Ä„ Ä„ Ä„ 2Ä„ 7Ä„ 3Ä„
nierówności +jĄ d" t < +jĄ , +jĄ d" t < +jĄ , +jĄ < t < +jĄ , +jĄ d" t < +jĄ ,
10 4 10 3 2 3 10 4
9Ä„

+ jĄ d" t < Ą + jĄ . Na okregu jednostkowym zaznaczyć należy końce dziesieciu luków rozlacznych
10

pozostawiajac dziesieć niezaznaczonych luków (luk) miedzy nimi. Zaczynamy od domknieto otwartej
Ä„ Ä„ Ä„

luki dlugości . Nastepnie luk domknieto otwarty dlugości - , luka domknieto otwarta dlugości
10 4 10
3Ä„ Ä„ Ä„ 3Ä„ Ä„ Ä„

- , luk domknieto otwarty dlugości - , luka domknieta dlugości - , luk otwarty dlugości
10 4 3 10 2 3
2Ä„ Ä„ 7Ä„ 2Ä„ 3Ä„ 7Ä„

- , luka domknieto otwarta dlugości - , luk domknieto otwarty dlugości - , luka
3 2 10 3 4 10
9Ä„ 3Ä„ 9Ä„

domknieto otwarta dlugości - i wreszcie luk domknieto otwarty dlugości Ą - . Cia g dalszy
10 4 10

to oczywista konsekwencja okresowości, wiec nie ma potrzeby kontynuować tej wyliczanki.
x2

1. Znalez
ć na paraboli y = punkt P znajdujacy sie najbliżej punktu A = (2, 5) . Znalez
ć kat miedzy
4

odcinkiem AP i prosta styczna do paraboli w punkcie P .
x2 2
Rozw. Niech f(x) = |AP |2 = (x - 2)2 + - 5 . Mamy
4
x2 x 1
f (x) = 2 · (x - 2) + 2 · - 5 · 2 · = x3 - 12x - 16 .
4 4 4

Bez trudu stwierdzamy, że spośród dzielników liczby -16 pierwiastkami wielomianu x3 -12x -16 sa
liczby -2 oraz 4 . Wobec tego wielomian ten jest podzielny przez x - (-2) x - 4 = x2 - 2x - 8 .

Stad bez trudu otrzymujemy rozklad x3 - 12x - 16 = (x + 2)2(x - 4) . Jasne jest, że jeśli x " (4, ") ,
to f (x) > 0 , jeśli x " (-", -2) *" (-2, 4) , to f (x) < 0 , zatem na pólprostej (-", 4] funkcja f

jest ściśle malejaca, a na pólprostej [4, ")  ściśle rosnaca. Wynika stad, że najmniejsza wartościa
42 2 42
tej funkcji jest f(4) = (4 - 2)2 + - 5 = 5 . Wobec tego punkt P = 4, = 4, 4) jest punktem
4 4

paraboli leżacym najbliżej punktu A = (2, 5) .
x2

Ponieważ pochodna funkcji w punkcie 4 równa jest 2 , wiec równanie stycznej do paraboli w punk-
4
cie (4, 4) ma postać y = 2(x - 4) + 4 = 2x - 4 . Na tej prostej leży też punkt Q = (2, 0) . Mamy
|QA|2-|QP |2-|P A|2 = (2-2)2+(5-0)2-(4-2)2-(4-0)2-(2-4)2-(5-4)2 = 0+25-4-16-4-1 = 0 .

Oznacza to, że kat przy wierzcholku P w trójkacie QP A jest prosty.
Wywnioskować to można również z tego, że wektor [4 - 2, 4 - 5] = [2, -1] jest prostopadly do prostej
2x - y - 2 = 0  to fakt ogólny, udowodniony na ostatnim wykladzie w semestrze zimowym.
2. Wykazać, że jeśli x, y " i x = y , to arctg x - arctg y < |x - y| .


Rozw. Bez straty ogólności możemy zalożyć, że x < y . Wtedy arctg x < arctg y . Mamy wiec
1

arctg y - arctg x = (arctg) (c)(y - x) = (y - x) dla pewnego c " (x, y) . Stad arctg y - arctg x d"
1+c2

d"y - x przy czym równość zachodzić może jedynie dla c = 0 . Jeśli wiec y d" 0 lub 0 d" x , to
nierówność jest ostra. Jeśli x < 0 < y , to arctg y - arctg x = (arctg y - arctg 0) + (arctg 0 - arctg x) <
<(y - 0) + (0 - x) = y - x . Dowód zostal zakończony.

3. Niech A = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 d" 4, 1 d" z} bedzie cześcia kuli o środku (0, 0, 0) i promieniu 2

znajduja ca sie nad plaszczyzna pozioma z = 1 . Znalez
ć objetość zbioru A .

Rozw. Niech P (z) oznacza pole przekroju kuli plaszczyzna zawierajaca punkt (0, 0, z) , która jest
"
- -
- -

równolegla do plaszczyzny zawierajacej osie OX i OY . Ten przekrój jest kolem o promieniu 4 - z2 ,

zatem P (z) = Ä„(4 - z2) (dla z = 2 kolo degeneruje sie do jednego punktu, tzn. kola o promieniu 0 ).
2 2 2
1 8 1 5Ä„

Objetość jest wiec równa P (z)dz = Ą(4 - z2)dz = Ą(4z - z3) 1 = Ą(8 - ) - Ą(4 - ) = .
1 1 3 3 3 3

Na tym zakończyliśmy rozwiazywanie tego skomplikowanego i niezwykle trudnego problemu:
na egzaminie średnia równa byla 0,1 punktu na 10 , które można bylo uzyskać!
"
ln(x ln x+ x) tg x-(ax+bx2+cx3)
4. Znalez
ć lim i liczby a, b, c " takie, że granica lim jest skończona.
ln(4x+5 cos x) x5
x" x0
" 1 1
" "
ln x ln x 1+ ln x+ln(ln x)+ln 1+
ln(x ln x+ x)
x ln x x ln x
Rozw. Mamy lim = lim = lim =
ln(4x+5 cos x) 5 cos x 5 cos x
x" x" x"
ln 4 ln x 1+ ln x+ln 4+ln 1+
4 ln x 4 ln x
1
ln 1+ "
ln(ln x) x ln x
1+ +
ln(ln x) ln y
1+0+0 1
ln x ln x
= lim = = 1 , bo lim = lim =H lim = 0 ,
=
=
ln 4 5 cos x
1+0+0 ln x y y
1+ +
x" x" y" y"
ln x ln x
x>1
1 5 cos x 5
"
lim ln 1 + = ln 1 = 0 oraz 0 d" = = - 0 . Zakończyliśmy obliczanie pierw-
= = ---
x ln x ln x ln x
x" x"
szej granicy.

Ponieważ licznik i mianownik daża do 0 , wiec spróbujemy skorzystać z reguly de l Hospitala:
tg x-(ax+bx2+cx3) 1+tg2 x-(a+2bx+3cx2)
lim = lim . Ta granica istnieje i równa jest +" dla a < 1 , -"
x5 5x4
x0 x0

dla a > 1 . Jeśli wiec mamy otrzymać granice skończona, to musimy przyjać a = 1 . Wtedy w otrzy-

manym wyrażeniu licznik i mianownik daża do 0 , zatem możemy ponownie spróbować zastosować

regule markiza de l Hospitala:
a=1
1+tg2 x-(a+2bx+3cx2) tg2 x-(2bx+3cx2) 2 tg x(1+tg2 x)-(2b+6cx)
lim = = lim =H lim .
= = =
=
5x4 5x4 20x3
x0 x0 x0

Rozumujac tak, jak przed chwila stwierdzamy, że dla istnienia skończonej granicy niezbednym warun-
2 tg x(1+tg2 x)-(2b+6cx) 2 tg x(1+tg2 x)-6cx
kiem jest równość b = 0 . Wtedy lim = lim i znów możemy
20x3 20x3
x0 x0
2 tg x+2 tg3 x-6cx (2+6 tg2 x)(1+tg2 x)-6c

stosować regule markiza de l Hospitala: lim = lim . Wykluczajac
20x3 60x2
x0 x0
1

granice nieskończona dochodzimy do wniosku, że 2 - 6c = 0 , czyli c = . Pozostaje znalez
ć granice
3
(2+6 tg2 x)(1+tg2 x)-2 8 tg2 x+6 tg4 x 8 tg2 x 6 tg2 x 8 6 2
lim = lim = lim + lim · tg2 x = ·12 + ·12 ·0 = ,
60x2 60x2 x0 60x2 x0 60x2 60 60 15
x0 x0
tg x
×
bowiem lim = 1 .
x
x0

Ten sam rezultat można osiagnać korzystajac z wzoru Taylora. Obliczajac kolejne pochodne funkcji
tangens otrzymujemy (tg x) = 1 + tg2 x , (tg x) = 2 tg x(1 + tg2 x) = 2 tg x + 2 tg3 x , (tg x)(3) =
=(2 + 6 tg2 x)(1 + tg2 x) = 2 + 8 tg2 x + 6 tg4 x , (tg x)(4) = (16 tg x + 24 tg3 x)(1 + tg2 x) = 16 tg x +

+40 tg3 x + 24 tg5 x i wreszcie (tg x)(5) = (16 + 120 tg2 x + 120 tg4 x)(1 + tg2 x) . Stad wynika, że

wartości kolejnych pieciu pochodnych funkcji tangens w punkcie 0 to: 1 , 0 , 2 , 0 , 16 . Wobec tego

piaty wielomian Taylora funkcji tangens w punkcie 0 (piaty wielomian Maclaurina) równy jest
2 16 1 2
x + x3 + x5 = x + x3 + x5 ,
3! 5! 3 15
1 2
tg x-(x+ x3+ x5)
tg x-(ax+bx2+cx3)
3 15
zatem lim = 0 . Wobec tego jeśli granica lim istnieje, to
x5 x5
x0 x0
1 2 1 2
x+ x3+ x5-(ax+bx2+cx3) (1-a)x-bx2+( -c)x3+ x5
tg x-(ax+bx2+cx3)
3 15 3 15
lim = lim = lim .
x5 x5 x5
x0 x0 x0
1

Stad natychmiast wynika, że jeśli ta granica jest skończona, to a = 1 , b = 0 , c = i wtedy
3
2
poszukiwana granica równa jest .
15
2 2
0

5. Znalez
ć calke nieoznaczona x3e-x dx oraz calke niewlaściwa x3e-x dx .
-"
2 2
y=-x2 przez
1 1
Rozw. x3e-x dx = x2 · xe-x = = = = = = -2 yey dy = = = yey - 1 · ey dy =
= = = = = =
2

dy=-2x dx cześci
2 2
1 1
=1 yey - ey + C = - x2e-x - e-x + C .
2 2 2
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1 1 1 1

Nastepnie x3e-x dx = lim x3e-x dx = lim c2e-c + e-c - 02e-0 - e-0 = - ,
-" c 2 2 2 2 2
c-" c-"
2 2
1 c2
bo lim e-c = lim = 0 i lim c2e-c = lim = 0 , ten drugi wynik byl na wykladzie
ec2 ec2
c-" c-" c-" c-"

(wielokrotnie), można go też latwo uzyskać stosujac regule de l Hospitala.

Zadanie bylo 22 stycznia, a średnia tylko 4,6 na 10 . Może jednak warto rozwiazać sobie
zadania z poprzednich kolokwiów, egzaminów . . .
3 3 9 3
6. Niech f(x) = x14/3 - x11/3 - x8/3 + x5/3 + 3x2/3 .
14 11 8 5
(x-1)(x-2)(x+1)2
"

Zachodza wtedy równości: f (x) = oraz
3
x
11(x+1)(x-x0)(x2+px+q)
"
f (x) = , gdzie 1,56 < x0 < 1, 57 i p2 < 4q .
3
3 x4
Funkcja nie ma asymptot.

a. Znalez
ć przedzialy, na których funkcja f jest rosnaca i przedzialy, na których jest malejaca;

przedzialy, na których funkcja f jest wypukla i przedzialy, na których jest wklesla.
b. Znalez
ć punkty, w których funkcja f nie ma pochodnej.
c. W jakich punktach funkcja f ma lokalne ekstrema?

d. Znalez
ć punkty przegiecia wykresu funkcji f .
e. Znalez
ć granice jednostronne funkcji f w ą" .
f. Znalez
ć granice jednostronne funkcji f (pochodnej funkcji f ) w końcach wszystkich przedzialów

skladajacych sie na jej dziedzine.

G. Naszkicować wykres funkcji f uwzgledniajac otrzymane rezultaty.
Rozw. Pierwiastkami pochodnej sa -1, 1, 2 , ale ważniejsze jest to, że zmienia ona swój znak w punk-
tach 0, 1, 2 . Wobec tego: jeśli x > 2 , to f (x) > 0 , jeśli 1 < x < 2 , to f (x) < 0 , jeśli 0 < x < 1 ,

to f (x) > 0 i f (x) < 0 dla x < 0 z wyjatkiem x = -1 . Stad wynika, że funkcja f jest ściśle

malejaca na pólprostej (-", 0] oraz na przedziale [1, 2] . Na przedziale [0, 1] i na pólprostej [2, ")

jest ściśle rosnaca. Mamy również lim f (x) = +"  ulamek jest dodatni i jego mianownik daży
x0+
do 0 . Analogicznie lim f (x) = -" . Wobec tego wykres funkcja f nie ma pochodnej w punkcie
x0-

0 , jednostronne pochodne istnieja, ale sa różne. W punkcie (0, 0) funkcja f ma  ostrze : lewa cześć
-
-
wykresu jest styczna do osi OY i prawa też.

Mamy też lim f(x) = +" , bo f(x) jest suma różnych poteg zmiennej x , wspólczynnik przy
x"

najwyższej z nich jest dodatni. Podobnie lim f(x) = +" (przyp. 14 jest liczba parzysta).
x-"
Mamy również lim f (x) = -" , bo licznik ma stopień 4 i jest dodatni dla x < 0 , mianownik jest
x-"
1
ujemny i ma mniejszy stopień . W taki sam sposób stwierdzić można, że lim f (x) = +" .
3
x+"
Druga pochodna jest dodatnia na pólprostych (x0, ") i (-", -1) , ujemna  na przedzialach (-1, 0)
i (0, x0) . W punkcie 0 funkcja oczywiście drugiej pochodnej nie ma, bo nawet zdefiniować jej nie

można, gdyż nie istnieje f (0) . Stad wynika, że funkcja f jest ściśle wypukla na pólprostych (-", 1]

i [x0, ") . Na przedzialach [-1, 0] i [0, x0] jest ściśle wklesla. Wobec tego punkty -1 oraz x0 to

punkty przegiecia funkcji f .

Funkcja nie jest wklesla na przedziale [-1, x0] , bo nie jest prawda, że odcinek laczacy punkty
1 1 1 1
, f(7 ) i - , f(- ) leży pod wykresem funkcji f , przeciwnie leży on nad tym wykresem,
7 7 7
co można bez trudu sprawdzić.

inf. Informacje przeróżne (pożyteczne lub zbedne):
"
5Ä„ 1 5Ä„ 2 Ä„
log10 x = log x ; sin = ; sin = - ; 1 + x d" ex dla x " ; sin x < x < tg x , gdy > x > 0 ;
6 2 4 2 2
sin(x Ä… y) = sin x cos y Ä… sin y cos x ; cos(x Ä… y) = cos x cos y " sin x sin y ; cos2 x + sin2 x = 1 ;
34 = 81 , 35 = 243 , 36 = 729 , 37 = 2187 , 38 = 6561 , 39 = 19683 , 310 = 59049 , 311 = 177147 .