Wrocław, 10 lutego 2015
Lista zadań nr 1
dla studentów I roku Oddziału Analityki Medycznej.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, zmienna losowa, rozkład normalny.
1. Obliczyć ile jest liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza się żadna cyfra. (4536)
2. Ile można utworzyć parzystych liczb czterocyfrowych o nie powtarzających się cyfrach? (2296)
3. Rzucamy a) dwiema b) trzema kostkami. W ilu przypadkach otrzymamy na tych kostkach różne liczby oczek? (30, 120)
4. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których jedynie cyfra zero może się powtarzać i nie występuje na pierwszym miejscu?
(4761)
5. W jakiej największej liczbie punktów może przeciąć się 10 prostych, leżących w jednej płaszczyz
nie, jeżeli 4 z nich są równoległe.
(39)
6. Każda z siedmiu osób ma dwie kule: czarną i białą, i wrzuca do urny dokładnie jedną z nich.
a) Ile istnieje różnych możliwych układów kul w urnie? (8)
b) Ile istnieje możliwych układów, jeśli każdej z osób wolno się wstrzymać od wrzucenia kuli? (36)
7. Z talii 24 kart losujemy jednocześnie 3 karty. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
a) otrzymamy dokładnie jednego asa, (0.375)
b) otrzymamy co najmniej jednego asa. (0.437)
8. Talię 24 kart podzielono na połowę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w obu częściach znajdują się równe ilości czarnych i
czerwonych kart. (0.316)
9. Z talii 24 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kart otrzymamy dokładnie 3 karty
pikowe. (0.072)
10. Wiadomo, że wadliwość produkcji kłódek w przedsiębiorstwach A1, A2 i A3 wynosi odpowiednio 5%, 4% i 2%. Przedsiębiorstwa
te pokrywają zaopatrzenie rynku odpowiednio w 25%, 40% i 35%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupiona kłódka, która
okazała się wadliwa, została wyprodukowana w przedsiębiorstwie A1 ? (0.35)
11. Student ma do przygotowania na egzamin 21 tematów. Opracował jedynie 15 z nich. W czasie egzaminu losuje 3 tematy. W przypadku
odpowiedzi na wszystkie pytania otrzymuje bdb. Gdy odpowie na 2 pytania db, na jedno pytanie dst, na żadne ndst. Obliczyć
prawdopodobieństwo otrzymania przez studenta ocen: bdb, db, dst i ndst. (0.342, 0.474, 0.169, 0.015)
12. Rzucamy 4 razy 2 kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dwa razy otrzymamy sumę oczek nie większą od 3. (0.035)
13. Dana jest urna, w której jest 6 czarnych i 9 białych kul. Losujemy 5 razy po jednej kuli, kładąc za każdym razem wyciągniętą kulę
z powrotem do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania co najwyżej 3 razy kuli białej.
(0.663)
14. W pewnej miejscowości rodzi się średnio 520 chłopców i 480 dziewczynek na 1000 niemowląt. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
w pewnej rodzinie na 5 dzieci liczba dziewczynek jest nie większa od liczby chłopców. (0.54)
15. Siła kiełkowania ziarna grochu wynosi 0.9. Dla celów doświadczalnych wybieramy 10 ziaren. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wykiełkuje co najmniej 8. (0.93)
16. Prawdopodobieństwo wylosowania wygranego losu na loterii wynosi 0.2. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 8 kupionych
losów przynajmniej 3 będą wygrane.
17. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 500 ludzi dokładnie 2 osoby będą miały urodziny w dniu Nowego Roku. (0.2)
18. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 1000 osób co najmniej 3 będą miały urodziny w dniu Nowego Roku.
19. Sześć kul rozmieszcza się losowo w 3 szufladach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadna szuflada nie będzie pusta. (5/14)
20. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania sumy 10 oczek przy równoczesnym rzucie 3 kostkami do gry. (1/8)
21. Zmienna losowa podlega rozkładowi danemu w następującej tabeli. Oblicz wartość przeciętną i wariancję rozkładu.
x 1 2 3 4 5
p(x) 2/15 1/3 4/15 1/5 1/15
22. Zmienna losowa podlega rozkładowi danemu w następującej tabeli. Oblicz wartość przeciętną i wariancję rozkładu.
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
p(x) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 7/36 2/9
23. Zmienna losowa podlega rozkładowi danemu w następującej tabeli. Oblicz wartość przeciętną i wariancję rozkładu.
x 2,01 3,45 3,77 4,12 4,15 5,33 6,02 7,11 10,23 21,13
p(x) 0,01 0,05 0,16 0,32 0,21 0,12 0,06 0,04 0,02 0,01
Odp.: E(x)= 4,6868, D2(x)= 4,155432
24. Dana jest gra polegająca na jednoczesnym rzucie dwoma monetami. Wygrana +3$ w przypadku (O,O), przegrana -2$ w przypadku
(R,R) i przegrana -1$ w pozostałych przypadkach. Obliczyć wartość przeciętną wygranej, dystrybuantę i wariancję rozkładu.
25. Po trasie jeżdżą 4 autobusy. Awarie ich są zdarzeniami niezależnymi o p=0.1. Oblicz średnią liczbę kursujących autobusów oraz
wariancję tego rozkładu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trasie kursują co najmniej 3 autobusy. Wykonać obliczenia dla 5
autobusów i prawdopodobieństwa awarii 0.05.
26. Po trasie jez
dzi 8 autobusów. Awarie ich są zdarzeniami niezależnymi o prawdopodobieństwie 0.04. Oblicz średnią liczbę
kursujących autobusów oraz wariancję tego rozkładu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trasie kursuje co najmniej 6 autobusów.
27. Rzucono 720 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych czwórek (czterech oczek) będzie zawarta
w granicach od 100 do 150?
P(-2 Ł� Z Ł� 3) = 0.9759
(� )�
28. Rzucono 1440 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych szóstek (sześciu oczek) będzie zawarta w
granicach od 220 do 270?
(P=0,9044)
29. W magazynie jest 1000 sztuk pewnego towaru. Prawdopodobieństwo, że dana rzecz jest wadliwa wynosi 0.05. Oblicz
prawdopodobieństwo, że w całej partii jest nie więcej niż 60 sztuk wadliwych.
(P=0,9266)
30. W magazynie jest 17945 sztuk pewnego towaru. Prawdopodobieństwo, że dana rzecz jest wadliwa wynosi 0.025. Oblicz
prawdopodobieństwo, że w całej partii jest nie więcej niż 450 sztuk wadliwych.
(P=0,5262)
31. Rzucono 2000 razy kostką. Ustalić granice symetryczne względem wartości przeciętnej, w których z pH"0,997 można spodziewać
się, że będzie zawarta liczba otrzymanych piątek. (283 < Y <384)
Wrocław, 10 lutego 2015
Lista zadań nr 2
dla studentów I roku Oddziału Analityki Medycznej.
Skale, szereg rozdzielczy, statystyka elementarna, testowanie hipotez  proporcje, test znaków.
Uwaga! Przed zajęciami należy przygotować rozkład z próby dla zadań z testowania hipotez (zadania 4  7) czyli tabele
prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego dla zadanych wartości n i p.
1. Zbadano poziom cholesterolu u 24 osób i uzyskano następujące wyniki (mmol/dm3)
9.1 5.8 3.2 5.0 5.6 8.2 8.5 10.1 11.0 3.0 3.2 9.9
6.5 13.0 11.9 12.7 12.7 6.0 6.5 7.3 7.9 11.1 11.8 6.5
�� Zmień skalę interwałową na porządkową (od najmniejszego pomiaru).
�� Oblicz średnią arytmetyczną pomiarów, wariancję i odchylenie standardowe, określ medianę i modę.
�� Utwórz szereg rozdzielczy (5 równych przedziałów), określ rzeczywiste granice przedziałów klasowych i ich środki, narysuj histogram,
znajdz
przedział modalny, oceń skośność rozkładu. Na podstawie szeregu rozdzielczego oblicz średnią ważoną.
�� Przyjmując, że poziom referencyjny dla cholesterolu wynosi 3,9  7,2 mmol/dm3, podziel wyniki na 3 grupy.
2. Zbadano poziom erytrocytów w krwi u 48 kobiet uzyskując następujące wyniki (mln/mm3)
5,2 6,4 2,9 5,7 4,8 4,3 2,3 6,2 3,2 5,4 3,2 3,2
6,6 2,3 2,2 3,7 3,2 6,0 6,5 5,0 3,4 4,6 2,8 2,6
4,3 6,1 5,2 5,1 7,0 3,9 5,7 3,6 6,8 2,2 5,1 6,3
6,0 4,7 3,5 3,1 5,7 5,4 5,2 4,6 4,6 3,1 4,1 4,5
�� Zmień skalę interwałową na porządkową (od najmniejszego pomiaru).
�� Oblicz średnią arytmetyczną pomiarów, wariancję i odchylenie standardowe, określ medianę i modę.
�� Utwórz szereg rozdzielczy (8 równych przedziałów), określ rzeczywiste granice przedziałów klasowych i ich środki, narysuj histogram,
znajdz
przedział modalny, oceń skośność rozkładu. Na podstawie szeregu rozdzielczego oblicz średnią ważoną.
�� Przyjmując, że poziom referencyjny dla erytrocytów wynosi 3,6  5,0 mln/mm3, podziel wyniki na 3 grupy.
3. Zbadano poziom erytrocytów w krwi u 36 mężczyzn uzyskując następujące wyniki (mln/mm3)
7,2 7,3 2,6 4,2 2,8 2,7 6,8 4,1 5,9 7,4 4,9 3,5
2,6 4,2 4,0 6,1 7,3 3,3 6,7 6,5 4,1 4,7 5,1 7,3
7,7 6,9 3,8 4,0 5,8 4,1 8,1 6,2 5,4 6,5 4,9 4,7
�� Zmień skalę interwałową na porządkową (od najmniejszego pomiaru).
�� Oblicz średnią arytmetyczną pomiarów, wariancję i odchylenie standardowe, określ medianę i modę.
�� Utwórz szereg rozdzielczy (7 równych przedziałów), określ rzeczywiste granice przedziałów klasowych i ich środki, narysuj histogram,
znajdz
przedział modalny, oceń skośność rozkładu. Na podstawie szeregu rozdzielczego oblicz średnią ważoną.
�� Przyjmując, że poziom referencyjny dla erytrocytów wynosi 4,2  5,5 mln/mm3, podziel wyniki na 3 grupy.
4. Chcemy sprawdzić czy moneta jest rzetelna, w tym celu rzucamy nią osiem razy, każdorazowo notując wypadnięcie orła lub reszki.
�� Podaj założenia, podaj hipotezę zerową (H0) i hipotezę alternatywną (H1).
�� Wyznacz rozkład z próby, wyznacz obszar krytyczny dla poziomu ufności 0,05, dla jakich wyników doświadczenia należy odrzucić H0.
�� Przeanalizuj wyniki dla kilku możliwych wyników doświadczenia (liczby wyrzuconych orłów), np. 0, 1, 6, 7.
�� Jakie błędy popełnisz przyjmując lub odrzucając H0.
5. W celu sprawdzenia czy liczba kobiet i mężczyzn jeżdżących na rowerach jest identyczna przeprowadzono obserwacje na jednej ze ścieżek
rowerowych. W ciągu godziny przejechało 16 osób.
�� Podaj założenia, podaj hipotezę zerową (H0) i hipotezę alternatywną (H1).
�� Wyznacz rozkład z próby, wyznacz obszar krytyczny dla poziomu ufności 0,05, dla jakich wyników doświadczenia należy odrzucić H0.
�� Przeanalizuj wyniki dla kilku możliwych wyników doświadczenia (liczby kobiet wśród rowerzystów), np. 1, 2, 3, 4, 10, 16.
�� Jakie błędy popełnisz przyjmując lub odrzucając H0.
6. Według producenta pewnego specyfiku, jeżeli podajemy go zdrowym pacjentom to u 75% zauważa się poprawę zdolności zapamiętywania. W
celu sprawdzenia czy palenie papierosów ma wpływ na działanie tego specyfiku zbadano próbę złożoną z 20 palaczy.
�� Podaj założenia, podaj hipotezę zerową (H0) i hipotezę alternatywną (H1).
�� Wyznacz rozkład z próby, wyznacz obszar krytyczny dla poziomu ufności 0,05, dla jakich wyników doświadczenia należy odrzucić H0.
�� Przeanalizuj wyniki dla kilku możliwych wyników doświadczenia (liczby osób którym lekarstwo pomogło), np. 20. 19, 18, 12, 11, 10.
�� Jakie błędy popełnisz przyjmując lub odrzucając H0.
7. Przed i po podaniu leku, który mógł mieć wpływ na poziom cholesterolu, zbadano jego poziom u 18 osób, wyniki w mmol/dm3. Odpowiednim
testem ustal czy podanie leku ma wpływ na poziom cholesterolu u pacjentów.
przed 4,2 5,3 5,2 4,5 7,4 6,7 6,4 7,8 6,9 11,0 12,1 7,4 9,7 9,6 8,4 8,9 5,6 7,9
po 4,5 5,6 5,6 6,7 6,5 7,8 9,0 6,9 8,9 12,1 13,5 8,7 8,9 11,9 9,8 10,2 7,9 9,5
�� Podaj założenia, podaj hipotezę zerową (H0) i hipotezę alternatywną (H1).
�� Wyznacz rozkład z próby, wyznacz obszar krytyczny dla poziomu ufności 0,05, dla jakich wyników doświadczenia należy odrzucić H0.
�� Przeanalizuj wyniki, jakie błędy popełnisz przyjmując lub odrzucając H0.
Wrocław, 10 lutego 2015
Lista zadań nr 3
dla studentów I roku Oddziału Analityki Medycznej.
Testowanie hipotez  test c�2.
1. Producent deklaruje, że co najwyżej 0,02 jego wyrobów jest wadliwych. W celu sprawdzenia tej wartości
pobrano 30 próbek po 150 sztuk w każdej próbce. Wyniki kontroli podano w tabeli. Zakładając, że liczba
braków w próbce podlega rozkładowi dwumianowemu (2 parametry), za pomocą testu c�2 zweryfikuj podany
przez producenta wskaz
nik dla poziomu istotności a�=0,10.
0 lub 1 2 3 4 5 i więcej
liczba braków w
próbce
4 7 8 8 3
liczba obserwacji
2. Producent deklaruje, że co najwyżej 0,01 jego wyrobów jest wadliwych. W celu sprawdzenia tej wartości
pobrano 45 próbek po 250 sztuk w każdej próbce. Wyniki kontroli podano w tabeli. Zakładając, że liczba
braków w próbce podlega rozkładowi dwumianowemu (2 parametry), za pomocą testu c�2 zweryfikuj podany
przez producenta wskaz
nik dla poziomów istotności a�=0,05 i a�=0,01.
0 1 2 3 4 5
liczba braków w
próbce
4 7 7 10 12 5
liczba obserwacji
3. Studenci maja zajęcia w trzech grupach. W tabeli przedstawiono wyniki przeprowadzonego sprawdzianu z
podziałem na grupy. Za pomocą testu c�2, dla poziomu istotności 0,05, zweryfikuj hipotezę, że nie ma
zależności pomiędzy wynikiem testu a grupą ćwiczeniową.
. dobrze średnio słabo razem
Grupa A 23 22 10 55
Grupa B 16 12 22 50
Grupa C 14 16 18 48
razem 53 50 50 153
4. Studenci mający zajęcia w trzech grupach zostali poproszeni o ocenę prowadzenia zajęć. Za pomocą testu c�2,
dla poziomu istotności 0,05, zweryfikuj hipotezę, że nie ma zależności pomiędzy oceną jakości zajęć a grupą
do której się uczęszczało na ćwiczenia.
dobrze średnio tak sobie z
le razem
Grupa A 13 7 7 8 35
Grupa B 6 7 20 5 38
Grupa C 5 12 6 11 34
razem 24 26 33 24 107
5. Respondentów poproszono o ocenę pewnego produktu pochodzenia naturalnego pochodzącego z trzech
różnych stanowisk. Za pomocą testu c�2, dla poziomu istotności 0,05, zbadaj czy istnieje zależność pomiędzy
oceną a pochodzeniem produktu.
doskonały dobry taki sobie do niczego razem
Stanowisko 1 13 17 19 11 60
Stanowisko 2 6 8 10 36 60
Stanowisko 3 18 16 20 6 60
razem 37 41 49 53 180
Wrocław, 10 lutego 2015
Lista zadań nr 4
dla studentów I roku Oddziału Analityki Medycznej.
Rozkład normalny, test z, test t.
1. Mamy zbiór 20000 nasion grochu o średniej średnicy X =� 5,00 mm i odchyleniu standardowym s = 0,28 mm. Oblicz:
�� Ile procent nasion ma średnicę zawartą pomiędzy 4,70 a 5,30 mm.
�� Ile (sztuk) nasion ma średnicę mniejszą od 4,25 mm.
�� Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane ziarno będzie miało średnicę większą od 6,00 mm, a jakie, że mniejszą od
4,20 mm.
�� Z populacji pobieramy próby 64 elementowe, w jakich granicach ( w mm) zmieści się 80 % średnich z prób 64 elementowych
skupionych wokół średniej z populacji.
�� 64 ziarna grochu pochodzące z innej partii mają średnią średnicę 4,93 mm. Czy mogą pochodzić z populacji charakteryzującej
się takimi samymi parametrami jak nasza. Sprawdz
dla poziomu istotności 0,05 i hipotezie alternatywnej, że średnica ziaren
grochu w nowej partii jest niższa niż w naszej. Obliczenia wykonaj też dla poziomu istotności 0,01.
2. Według dotychczasowego stanu wiedzy skuteczność standardowej terapii wynosi 0,47 (47% pacjentów jest wyleczonych). W celu
sprawdzenia skuteczności nowej terapii poddano jej 100 losowo wybranych pacjentów. Okazało się, że 55 spośród nich zostało
wyleczonych. Dla poziomu istotności 0,05 sprawdz
H0, że skuteczność nowej terapii nie różni się od dotychczasowej, przy hipotezie
alternatywnej  nowa terapia jest skuteczniejsza od dotychczasowej. Przeanalizuj założenia konieczne przy ocenie wyników
doświadczenia.
3. Według dotychczasowego stanu wiedzy skuteczność pewnego leku wynosi 0,44 (u 44% pacjentów zauważa się widoczną poprawę).
W celu sprawdzenia skuteczności nowego leku podano go 200 losowo wybranych pacjentów. Okazało się, że stan 124 spośród nich się
poprawił. Dla poziomu istotności 0,05 sprawdz
H0, że skuteczność nowego leku nie różni się od stosowanego dotychczas, przy
hipotezie alternatywnej  nowy lek jest skuteczniejszy od starego. Przeanalizuj założenia konieczne przy ocenie wyników
doświadczenia.
4. Czy próba N=32 może pochodzić z populacji o m�=20 i s�=7? Przeanalizować różne hipotezy alternatywne dla a�=0,05 oraz a�=0,01.
15 18 23 22 38 25 23 25 29 20 13 20 29 23 17 16
22 19 18 21 25 32 30 25 36 21 16 19 33 24 26 13
5. Na poziomie istotności a�=0,05 znajdz
dwustronny przedział ufności dla średniej na podstawie próby N=20 elementowej. Czy ta
próba może pochodzić z populacji o m�=73, jeżeli nie to oszacuj błąd I rodzaju.
67 73 68 69 72 71 77 69 66 68
72 74 69 68 72 76 75 70 71 73
6. Na poziomie istotności a�=0,05 znajdz
jednostronny przedział ufności dla średniej na podstawie próby N=16 elementowej. Czy ta
próba może pochodzić z populacji o m�=64, jeżeli nie to oszacuj błąd I rodzaju.
60 62 61 64 58 55 59 60
63 64 65 61 61 58 64 61
Wrocław, 10 lutego 2015
Lista zadań nr 5
dla studentów I roku Oddziału Analityki Medycznej.
Testy dla par wiązanych.
1. W celu sprawdzenia skuteczności preparatu depilacyjnego przeprowadzono badania na 16 ochotnikach. Na
wydzielonej powierzchni skóry policzono włosy i zastosowano preparat. Po pewnym czasie policzono włosy na
tych samych miejscach. Wyniki testu zamieszczone zostały w tabeli. Korzystając z testu t Studenta dla par
wiązanych oceń skuteczność preparatu dla poziomu istotności a�=0,05. Jako hipotezę alternatywną przyjmij, że
preparat zmniejsza ilość włosów na skórze. Korzystając z testu Wilcoxona, dla tego samego poziomu istotności
sprawdz
H0, że pomiędzy próbami nie ma różnic.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
przed 127 134 165 176 145 198 178 245 187 110 79 320 148 110 87 69
po 117 113 119 132 174 167 231 225 202 73 37 185 186 54 48 42
2. Korzystając z testów dla par wiązanych sprawdz
dla poziomu istotności a�=0,05 czy pomiędzy dwoma
próbami istnieją różnice istotne statystyczne. Jakie hipotezy alternatywne są możliwe?
A 32 22 17 12 65 34 27
B 45 30 15 31 43 49 38
3. Korzystając z testów dla par wiązanych sprawdz
dla poziomu istotności a�=0,05 czy pomiędzy dwoma
próbami istnieją różnice istotne statystyczne. Jakie hipotezy alternatywne są możliwe?
A 36 25 25 24 55 39 31 30 35 43
B 40 14 16 32 43 33 36 20 21 28
4. Korzystając z testów dla par wiązanych sprawdz
dla poziomu istotności a�=0,02 czy pomiędzy dwoma
próbami istnieją różnice istotne statystyczne. Jakie hipotezy alternatywne są możliwe?
A 37 23 36 32 59 29 26 41 34 45 28 23
B 41 35 17 25 41 23 21 21 19 29 20 25
5. Korzystając z testów dla par wiązanych sprawdz
dla poziomu istotności a�=0,01 czy pomiędzy dwoma
próbami istnieją różnice istotne statystyczne. Jakie hipotezy alternatywne są możliwe?
A 42 54 46 26 38 39 35 46 38 42 26 21
B 38 42 41 33 36 21 24 29 25 27 17 24
Wrocław, 10 lutego 2015
Lista zadań nr 6
dla studentów I roku Oddziału Analityki Medycznej.
Test F dla wariancji, różnice pomiędzy średnimi, analiza wariancji, regresja liniowa.
1. Z dwóch populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą testu F, na poziomie istotności a�=0,05 sprawdz
hipotezę zerową, że między
wariancjami populacji generalnych, z których pobrano te dwie próby, nie ma różnic.
Próba 1 158,2 158,6 157,4 157,9 158,9
Próba 2 155,4 156,6 156,3 159,8 157,9
2. Z dwóch populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą testu F, na poziomie istotności a�=0,05 sprawdz
hipotezę zerową, że między
wariancjami populacji generalnych, z których pobrano te dwie próby, nie ma różnic.
Próba 1 56,1 57,2 53,9 57,3 56,4 54,5
Próba 2 54,6 55,3 55,1
3. Z dwóch populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą testu F, na poziomie istotności 0, a�=05 sprawdz
hipotezę zerową, że między
wariancjami populacji generalnych, z których pobrano te dwie próby, nie ma różnic.
Próba 1 21,7 18,8 19,2 21,7 18,3 19,9 22,0 21,0 21,7 19,7
Próba 2 21,3 21,2 21,0 21,4 20,9 21,3 19,7 21,2 19,9 19,1
4. Z dwóch populacji generalnych pobrano próbki. Czy dwie próby mogły zostać pobrane z tej samej populacji lub czy zostały pobrane z populacji o
takich samych średnich (test t)?
Próba 1 56 33 67 95 52 94 72 27 95 72 44 44 56 56
Próba 2 45 34 34 34 45 44
5. Z dwóch populacji generalnych pobrano próbki. Czy dwie próby mogły zostać pobrane z tej samej populacji lub czy zostały pobrane z populacji o
takich samych średnich (test t)?
Próba 1 44 44 45 49 52 44 44 53 55 57 58
Próba 2 44 27 29 29 44 44 51 45
6. Z dwóch populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą testu Kołmogorowa-Smirnowa, na poziomie istotności a�=0,05 sprawdz
hipotezę
zerową, że między średnimi populacji generalnych, z których pobrano te dwie próby, nie ma różnic.
wartość 5 6 7 8 9
A 12 23 10 4 2
B 4 12 19 3 3
7. Czy są różnice pomiędzy wynikami dwóch kolokwiów?. Za pomocą testu Kołmogorowa-Smirnowa, na poziomie istotności a�=0,05 sprawdz

hipotezę zerową, że między kolokwiami, nie ma różnic w poziomie ocen (średnia).
punkty 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
kolokwium I 19 11 21 20 15 11 6 8 8 5 3
kolokwium II 23 7 3 9 7 13 10 6 15 13 9
8. Z trzech populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą analizy wariancji (klasyfikacja prosta), na poziomie istotności 0,05 sprawdz
hipotezę
zerową, że między grupami, z których pobrano te trzy próby, nie ma różnic w nasileniu badanej cechy. Jeżeli przyjmiesz hipotezę alternatywną, to za
pomocą testu Tukeya wykaż pomiędzy którymi grupami różnice są istotne statystycznie.
(Odp.: F=6,34 p=0,02; grupy 1-3)
Próba 1 15 16 18 23
Próba 2 9 11 17 19
Próba 3 6 5 14 3
9. Z trzech populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą analizy wariancji (klasyfikacja prosta), na poziomie istotności 0,05 sprawdz
hipotezę
zerową, że między grupami, z których pobrano te trzy próby, nie ma różnic w nasileniu badanej cechy. Jeżeli przyjmiesz hipotezę alternatywną, to za
pomocą testu Tukeya wykaż pomiędzy którymi grupami różnice są istotne statystycznie.
(Odp.: F=6,183 p=0,014; grupy 2-3)
Próba 1 242 247 262 254 250
Próba 2 273 261 248 265 253
Próba 3 234 242 251 238 245
10. Z trzech populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą analizy wariancji (klasyfikacja prosta), na poziomie istotności 0,05 sprawdz
hipotezę
zerową, że między grupami, z których pobrano te trzy próby, nie ma różnic w nasileniu badanej cechy. Jeżeli przyjmiesz hipotezę alternatywną, to za
pomocą testu Tukeya wykaż pomiędzy którymi grupami różnice są istotne statystycznie.
(Odp.: F=2,7 p=0,121)
Próba 1 101 102 102 103
Próba 2 102 104 106 108
Próba 3 105 110 115 102
11. Z trzech populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą analizy wariancji (klasyfikacja prosta), na poziomie istotności 0,05 sprawdz
hipotezę
zerową, że między grupami, z których pobrano te trzy próby, nie ma różnic w nasileniu badanej cechy.
(Odp.: F=3,06 p=0,111)
Próba 1 101 102 102 103
Próba 2 103 105 107
Próba 3 110 115 102
12. Z pięciu populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą analizy wariancji (klasyfikacja prosta), na poziomie istotności 0,05 sprawdz
hipotezę
zerową, że między grupami, z których pobrano te pięć prób, nie ma różnic w nasileniu badanej cechy. Jeżeli przyjmiesz hipotezę alternatywną, to za
pomocą testu Tukeya wykaż pomiędzy którymi grupami różnice są istotne statystycznie
(Odp.: F=35,2 p=0,000)
Próba 1 13 11 12 12 12
Próba 2 17 16 15 14 13
Próba 3 19 19 18 17 17
Próba 4 23 21 19 21 21
Próba 5 20 22 24 26 28
13. Z czterech populacji generalnych pobrano próbki. Za pomocą analizy wariancji (klasyfikacja prosta), na poziomie istotności 0,05 sprawdz

hipotezę zerową, że między grupami, z których pobrano te cztery próby, nie ma różnic w nasileniu badanej cechy.
Próba 1 15,8 14,5 15,9 14,3 15,2 14,7 14,5 15,1 15,7 15,3
Próba 2 15,8 13,8 13,9 14,3 13,5 13,0 14,4 14,1
Próba 3 14,4 14,3 15,2 15,9 14,2 14,4 15,5 14,6 15,0 15,5
Próba 4 14,3 14,6 15,0 15,5 14,5 15,9 16,2 15,8 14,1
14. Metodą najmniejszych kwadratów oblicz współczynnik nachylenia prostej regresji dla 12 par danych doświadczalnych X i Y, wartości xi i yi
przedstawiono w tabeli. Oblicz współczynnik korelacji Pearsona oraz za pomocą testu F sprawdz
hipotezę zerową, że parametryczne współczynniki
regresji i korelacji (dla populacji) są równe zeru. Oblicz współczynnik korelacji Spearmana, na podstawie tego testu sprawdz
hipotezę zerową o braku
związku między zmiennymi X i Y. Dla obydwu testów należy przyjąć poziom istotności jako równy 0,05.
xi
-3 -1 1 2 3 4 5 6 8 10 11 14
yi
-1 -4 2 4 17 34 14 35 9 8 47 27
15. Metodą najmniejszych kwadratów oblicz współczynnik nachylenia prostej regresji dla 12 par danych doświadczalnych X i Y, wartości xi i yi
przedstawiono w tabeli. Oblicz współczynnik korelacji Pearsona oraz za pomocą testu F sprawdz
hipotezę zerową, że parametryczne współczynniki
regresji i korelacji (dla populacji) są równe zeru. Oblicz współczynnik korelacji Spearmana, na podstawie tego testu sprawdz
hipotezę zerową o braku
związku między zmiennymi X i Y. Dla obydwu testów należy przyjąć poziom istotności jako równy 0,05.
xi
-7 -5 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 7 10
yi
2 -1 -4 -12 -6 -2 0 1 10 5 16 3
16. Metodą najmniejszych kwadratów oblicz współczynnik nachylenia prostej regresji dla 14 par danych doświadczalnych X i Y, wartości Xi i Yi
przedstawiono w tabeli. Oblicz współczynnik korelacji Pearsona oraz za pomocą testu F sprawdz
hipotezę zerową, że parametryczne współczynniki
regresji i korelacji (dla populacji) są równe zeru. Oblicz współczynnik korelacji Spearmana, na podstawie tego testu sprawdz
hipotezę zerową o braku
związku między zmiennymi X i Y. Dla obydwu testów należy przyjąć poziom istotności jako równy 0,05.
Xi
-5 -3 -1 1 2 5 6 8 9 10 11 12 14 15
Yi
0 -5 1 3 12 8 12 24 2 7 21 18 17 20
R o z k ł a d n o r m a l n y
1
-� x2
1
2
f(x) = e
2p�
Wartości dystrybuanty F�(z) zmiennej losowej z o rozkładzie normalnym N(0,1).
z 1
-� t2
1
2
F�(z) =�
��e dt
2p�
-�Ą�
z z z z z z z z
F�(z) F�(z) F�(z) F�(z) F�(z) F�(z) F�(z) F�(z)
0.00 0.5000 0.50 0.6915 1.00 0.8413 1.50 0.9332 2.00 0.9772 2.50 0.9938 3.00 0.9987 3.50 0.9998
0.02 0.5080 0.52 0.6985 1.02 0.8461 1.52 0.9357 2.02 0.9783 2.52 0.9941 3.02 0.9987 3.52 0.9998
0.04 0.5160 0.54 0.7054 1.04 0.8508 1.54 0.9382 2.04 0.9793 2.54 0.9945 3.04 0.9988 3.54 0.9998
0.06 0.5239 0.56 0.7123 1.06 0.8554 1.56 0.9406 2.06 0.9803 2.56 0.9948 3.06 0.9989 3.56 0.9998
0.08 0.5319 0.58 0.7190 1.08 0.8599 1.58 0.9429 2.08 0.9812 2.58 0.9951 3.08 0.9990 3.58 0.9998
0.10 0.5398 0.60 0.7257 1.10 0.8643 1.60 0.9452 2.10 0.9821 2.60 0.9953 3.10 0.9990 3.60 0.9998
0.12 0.5478 0.62 0.7324 1.12 0.8686 1.62 0.9474 2.12 0.9830 2.62 0.9956 3.12 0.9991 3.62 0.9999
0.14 0.5557 0.64 0.7389 1.14 0.8729 1.64 0.9495 2.14 0.9838 2.64 0.9959 3.14 0.9992 3.64 0.9999
0.16 0.5636 0.66 0.7454 1.16 0.8770 1.66 0.9515 2.16 0.9846 2.66 0.9961 3.16 0.9992 3.66 0.9999
0.18 0.5714 0.68 0.7517 1.18 0.8810 1.68 0.9535 2.18 0.9854 2.68 0.9963 3.18 0.9993 3.68 0.9999
0.20 0.5793 0.70 0.7580 1.20 0.8849 1.70 0.9554 2.20 0.9861 2.70 0.9965 3.20 0.9993 3.70 0.9999
0.22 0.5871 0.72 0.7642 1.22 0.8888 1.72 0.9573 2.22 0.9868 2.72 0.9967 3.22 0.9994 3.72 0.9999
0.24 0.5948 0.74 0.7704 1.24 0.8925 1.74 0.9591 2.24 0.9875 2.74 0.9969 3.24 0.9994 3.74 0.9999
0.26 0.6026 0.76 0.7764 1.26 0.8962 1.76 0.9608 2.26 0.9881 2.76 0.9971 3.26 0.9994 3.76 0.9999
0.28 0.6103 0.78 0.7823 1.28 0.8997 1.78 0.9625 2.28 0.9887 2.78 0.9973 3.28 0.9995 3.78 0.9999
0.30 0.6179 0.80 0.7881 1.30 0.9032 1.80 0.9641 2.30 0.9893 2.80 0.9974 3.30 0.9995 3.80 0.9999
0.32 0.6255 0.82 0.7939 1.32 0.9066 1.82 0.9656 2.32 0.9898 2.82 0.9976 3.32 0.9995 3.82 0.9999
0.34 0.6331 0.84 0.7995 1.34 0.9099 1.84 0.9671 2.34 0.9904 2.84 0.9977 3.34 0.9996 3.84 0.9999
0.36 0.6406 0.86 0.8051 1.36 0.9131 1.86 0.9686 2.36 0.9909 2.86 0.9979 3.36 0.9996 3.86 0.9999
0.38 0.6480 0.88 0.8106 1.38 0.9162 1.88 0.9699 2.38 0.9913 2.88 0.9980 3.38 0.9996 3.88 0.9999
0.40 0.6554 0.90 0.8159 1.40 0.9192 1.90 0.9713 2.40 0.9918 2.90 0.9981 3.40 0.9997 3.90 1.0000
0.42 0.6628 0.92 0.8212 1.42 0.9222 1.92 0.9726 2.42 0.9922 2.92 0.9982 3.42 0.9997 3.92 1.0000
0.44 0.6700 0.94 0.8264 1.44 0.9251 1.94 0.9738 2.44 0.9927 2.94 0.9984 3.44 0.9997 3.94 1.0000
0.46 0.6772 0.96 0.8315 1.46 0.9279 1.96 0.9750 2.46 0.9931 2.96 0.9985 3.46 0.9997 3.96 1.0000
0.48 0.6844 0.98 0.8365 1.48 0.9306 1.98 0.9761 2.48 0.9934 2.98 0.9986 3.48 0.9997 3.98 1.0000
Wartości zmiennej losowej z o rozkładzie normalnym N(0,1) dla zadanej wartości dystrybuanty F�(z).
z z z z z
F�(z) F�(z) F�(z) F�(z) F�(z)
0,50 0,00000 0,60 0,25335 0,70 0,52440 0,80 0,84162 0,90 1,28155
0,51 0,02507 0,61 0,27932 0,71 0,55338 0,81 0,87790 0,91 1,34075
0,52 0,05015 0,62 0,30548 0,72 0,58284 0,82 0,91537 0,92 1,40507
0,53 0,07527 0,63 0,33185 0,73 0,61281 0,83 0,95416 0,93 1,47579
0,54 0,10043 0,64 0,35846 0,74 0,64334 0,84 0,99446 0,94 1,55477
0,55 0,12566 0,65 0,38532 0,75 0,67449 0,85 1,03643 0,95 1,64485
0,56 0,15097 0,66 0,41246 0,76 0,70630 0,86 1,08032 0,96 1,75069
0,57 0,17637 0,67 0,43991 0,77 0,73885 0,87 1,12639 0,97 1,88079
0,58 0,20189 0,68 0,46770 0,78 0,77219 0,88 1,17499 0,98 2,05375
0,59 0,22755 0,69 0,49585 0,79 0,80642 0,89 1,22653 0,99 2,32634
2
R o z k ł a d c�
Tablica podaje wartości c�a�2 dla n stopni swobody takie, że
Ą�
1 1
1
n-�1
2
2 2
P(c�2ń�c�a� ) =� x �� e-� xdx =� a�
1
n
1
2 ��
G�( n) �� 2
2
2
c�a�
a� = 0,995 a� = 0,990 a� = 0,975 a� = 0,950 a� = 0,050 a� = 0,040 a� = 0,030 a� = 0,025 a� = 0,020 a� = 0,010 a� = 0,005 a� = 0,001
Ż� n
1 0,00004 0,0002 0,0010 0,0039 3,84 4,22 4,71 5,02 5,41 6,63 7,88 10,83
2
0,010 0,020 0,051 0,103 5,99 6,44 7,01 7,38 7,82 9,21 10,60 13,82
3
0,07 0,11 0,22 0,35 7,81 8,31 8,95 9,35 9,84 11,34 12,84 16,27
4
0,21 0,30 0,48 0,71 9,49 10,03 10,71 11,14 11,67 13,28 14,86 18,47
5
0,41 0,55 0,83 1,15 11,07 11,64 12,37 12,83 13,39 15,09 16,75 20,52
6
0,68 0,87 1,24 1,64 12,59 13,20 13,97 14,45 15,03 16,81 18,55 22,46
7
0,99 1,24 1,69 2,17 14,07 14,70 15,51 16,01 16,62 18,48 20,28 24,32
8
1,34 1,65 2,18 2,73 15,51 16,17 17,01 17,53 18,17 20,09 21,95 26,12
9
1,73 2,09 2,70 3,33 16,92 17,61 18,48 19,02 19,68 21,67 23,59 27,88
10
2,16 2,56 3,25 3,94 18,31 19,02 19,92 20,48 21,16 23,21 25,19 29,59
11
2,60 3,05 3,82 4,57 19,68 20,41 21,34 21,92 22,62 24,72 26,76 31,26
12
3,07 3,57 4,40 5,23 21,03 21,79 22,74 23,34 24,05 26,22 28,30 32,91
13
3,57 4,11 5,01 5,89 22,36 23,14 24,12 24,74 25,47 27,69 29,82 34,53
14
4,07 4,66 5,63 6,57 23,68 24,49 25,49 26,12 26,87 29,14 31,32 36,12
15
4,60 5,23 6,26 7,26 25,00 25,82 26,85 27,49 28,26 30,58 32,80 37,70
16
5,14 5,81 6,91 7,96 26,30 27,14 28,19 28,85 29,63 32,00 34,27 39,25
17
5,70 6,41 7,56 8,67 27,59 28,44 29,52 30,19 31,00 33,41 35,72 40,79
18
6,26 7,01 8,23 9,39 28,87 29,75 30,84 31,53 32,35 34,81 37,16 42,31
19
6,84 7,63 8,91 10,12 30,14 31,04 32,16 32,85 33,69 36,19 38,58 43,82
20
7,43 8,26 9,59 10,85 31,41 32,32 33,46 34,17 35,02 37,57 40,00 45,31
21
8,03 8,90 10,28 11,59 32,67 33,60 34,76 35,48 36,34 38,93 41,40 46,80
22
8,64 9,54 10,98 12,34 33,92 34,87 36,05 36,78 37,66 40,29 42,80 48,27
23
9,26 10,20 11,69 13,09 35,17 36,13 37,33 38,08 38,97 41,64 44,18 49,73
24
9,89 10,86 12,40 13,85 36,42 37,39 38,61 39,36 40,27 42,98 45,56 51,18
25
10,52 11,52 13,12 14,61 37,65 38,64 39,88 40,65 41,57 44,31 46,93 52,62
26
11,16 12,20 13,84 15,38 38,89 39,89 41,15 41,92 42,86 45,64 48,29 54,05
27
11,81 12,88 14,57 16,15 40,11 41,13 42,41 43,19 44,14 46,96 49,64 55,48
28
12,46 13,56 15,31 16,93 41,34 42,37 43,66 44,46 45,42 48,28 50,99 56,89
29
13,12 14,26 16,05 17,71 42,56 43,60 44,91 45,72 46,69 49,59 52,34 58,30
30
13,79 14,95 16,79 18,49 43,77 44,83 46,16 46,98 47,96 50,89 53,67 59,70
31
14,46 15,66 17,54 19,28 44,99 46,06 47,40 48,23 49,23 52,19 55,00 61,10
32
15,13 16,36 18,29 20,07 46,19 47,28 48,64 49,48 50,49 53,49 56,33 62,49
33
15,82 17,07 19,05 20,87 47,40 48,50 49,88 50,73 51,74 54,78 57,65 63,87
34
16,50 17,79 19,81 21,66 48,60 49,72 51,11 51,97 53,00 56,06 58,96 65,25
35
17,19 18,51 20,57 22,47 49,80 50,93 52,34 53,20 54,24 57,34 60,27 66,62
Rozkład t Studenta
Tablica podaje wartości ta� dla n-1 stopni swobody takie, że
Ą�
2 1
P T ń�ta� =�
dx =� a�
(� )�
n
��
�� ��
n -1 �� Bć� 12,(n -1)2 �� ta� ć�1+� x2 ��
2
Ł� ł�
��
Ł� (n -1)��
ł�
dwustronny
a� =0,200 a� =0,100 a� =0,050 a� =0,040 a� =0,030 a� =0,020 a� =0,010 a� =0,005 a� =0,002
jednostronny
a� =0,100 a� =0,050 a� =0,025 a� =0,020 a� =0,015 a� =0,010 a� =0,005 a� =0,0025 a� =0,001
Ż� df=n-1 Ż�
1 3,078 6,314 12,71 15.89 21.20 31,82 63,66 127,3 318,3
2
1,886 2,920 4,303 4.849 5.643 6,965 9,925 14,09 22,33
3
1,638 2,353 3,182 3.482 3.896 4,541 5,841 7,453 10,21
4
1,533 2,132 2,776 2.999 3.298 3,747 4,604 5,598 7,173
5
1,476 2,015 2,571 2.757 3.003 3,365 4,032 4,773 5,894
6
1,440 1,943 2,447 2.612 2.829 3,143 3,707 4,317 5,208
7
1,415 1,895 2,365 2.517 2.715 2,998 3,499 4,029 4,785
8
1,397 1,860 2,306 2.449 2.634 2,896 3,355 3,833 4,501
9
1,383 1,833 2,262 2.398 2.574 2,821 3,250 3,690 4,297
10
1,372 1,812 2,228 2.359 2.527 2,764 3,169 3,581 4,144
11
1,363 1,796 2,201 2.328 2.491 2,718 3,106 3,497 4,025
12
1,356 1,782 2,179 2.303 2.461 2,681 3,055 3,428 3,930
13
1,350 1,771 2,160 2.282 2.436 2,650 3,012 3,372 3,852
14
1,345 1,761 2,145 2.264 2.415 2,624 2,977 3,326 3,787
15
1,341 1,753 2,131 2.249 2.397 2,602 2,947 3,286 3,733
16
1,337 1,746 2,120 2.235 2.382 2,583 2,921 3,252 3,686
17
1,333 1,740 2,110 2.224 2.368 2,567 2,898 3,222 3,646
18
1,330 1,734 2,101 2.214 2.356 2,552 2,878 3,197 3,610
19
1,328 1,729 2,093 2.205 2.346 2,539 2,861 3,174 3,579
20
1,325 1,725 2,086 2.197 2.336 2,528 2,845 3,153 3,552
25
1,316 1,708 2,060 2.167 2.301 2,485 2,787 3,078 3,450
30
1,310 1,697 2,042 2.147 2.278 2,457 2,750 3,030 3,385
40
1,303 1,684 2,021 2.123 2.250 2,423 2,704 2,971 3,307
50
1,299 1,676 2,009 2.109 2.234 2,403 2,678 2,937 3,261
60
1,296 1,671 2,000 2.099 2.223 2,390 2,660 2,915 3,232
120
1,289 1,658 1,980 2.076 2.196 2,358 2,617 2,860 3,160
Ą� 1,282 1,645 1,960 2.054 2.170 2,326 2,576 2,807 3,090
Rozkład F
Jednostronne wartości krytyczne rozkładu F dla podanego poziomu istotności. Liczby stopni swobody w główce tablicy dotyczą
wyższego oszacowania wariancji, natomiast liczby stopni swobody w pierwszej kolumnie tablicy  niższego oszacowania wariancji.
a�=0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 40
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98 243,90 245,95 248,02 251,14
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,43 19,45 19,47
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,70 8,66 8,59
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,86 5,80 5,72
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,62 4,56 4,46
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,94 3,87 3,77
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,51 3,44 3,34
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,22 3,15 3,04
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,01 2,94 2,83
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,85 2,77 2,66
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,72 2,65 2,53
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,62 2,54 2,43
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,40 2,33 2,20
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,20 2,12 1,99
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,01 1,93 1,79
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,92 1,84 1,69
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99 1,95 1,87 1,78 1,63
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89 1,85 1,77 1,68 1,52
500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81 1,77 1,69 1,59 1,42
1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80 1,76 1,68 1,58 1,41
a� =0,025 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 40
1
647,79 799,48 864,15 899,60 921,83 937,11 948,20 956,64 963,28 968,63 973,03 976,72 984,87 993,08 1005,60
2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,41 39,43 39,45 39,47
3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,37 14,34 14,25 14,17 14,04
4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,79 8,75 8,66 8,56 8,41
5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,57 6,52 6,43 6,33 6,18
6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,41 5,37 5,27 5,17 5,01
7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,71 4,67 4,57 4,47 4,31
8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,24 4,20 4,10 4,00 3,84
9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,91 3,87 3,77 3,67 3,51
10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,66 3,62 3,52 3,42 3,26
11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,47 3,43 3,33 3,23 3,06
12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,32 3,28 3,18 3,07 2,91
15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 3,01 2,96 2,86 2,76 2,59
20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,72 2,68 2,57 2,46 2,29
30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,46 2,41 2,31 2,20 2,01
40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,33 2,29 2,18 2,07 1,88
50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 2,32 2,26 2,22 2,11 1,99 1,80
100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 2,18 2,12 2,08 1,97 1,85 1,64
500 5,05 3,72 3,14 2,81 2,59 2,43 2,31 2,22 2,14 2,07 2,02 1,97 1,86 1,74 1,52
1000 5,04 3,70 3,13 2,80 2,58 2,42 2,30 2,20 2,13 2,06 2,01 1,96 1,85 1,72 1,50
Rozkład F
Jednostronne wartości krytyczne rozkładu F dla podanego poziomu istotności. Liczby stopni swobody w główce tablicy dotyczą
wyższego oszacowania wariancji, natomiast liczby stopni swobody w pierwszej kolumnie tablicy  niższego oszacowania wariancji.
a� =0,01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 40
1 4052,2 4999,5 5403,4 5624,6 5763,6 5859,0 5928,4 5981,1 6022,5 6055,8 6083,3 6106,3 6157,3 6208,7 6286,8
2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,41 99,42 99,43 99,45 99,47
3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,13 27,05 26,87 26,69 26,41
4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,20 14,02 13,75
5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,72 9,55 9,29
6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,56 7,40 7,14
7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,31 6,16 5,91
8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,52 5,36 5,12
9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 4,96 4,81 4,57
10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,56 4,41 4,17
11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,25 4,10 3,86
12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,01 3,86 3,62
15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,52 3,37 3,13
20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,09 2,94 2,69
30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,70 2,55 2,30
40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,52 2,37 2,11
50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,42 2,27 2,01
100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,22 2,07 1,80
500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,28 2,22 2,07 1,92 1,63
1000 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,06 1,90 1,61
a� =0,005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 40
1 16210,7 19999,5 21614,7 22499,6 23055,8 23437,1 23714,6 23925,4 24091,0 24224,5 24334,4 24426,4 24630,2 24836,0 25148,2
2 198,50 199,00 199,17 199,25 199,30 199,33 199,36 199,37 199,39 199,40 199,41 199,42 199,43 199,45 199,47
3 55,55 49,80 47,47 46,19 45,39 44,84 44,43 44,13 43,88 43,69 43,52 43,39 43,08 42,78 42,31
4 31,33 26,28 24,26 23,15 22,46 21,97 21,62 21,35 21,14 20,97 20,82 20,70 20,44 20,17 19,75
5 22,78 18,31 16,53 15,56 14,94 14,51 14,20 13,96 13,77 13,62 13,49 13,38 13,15 12,90 12,53
6 18,63 14,54 12,92 12,03 11,46 11,07 10,79 10,57 10,39 10,25 10,13 10,03 9,81 9,59 9,24
7 16,24 12,40 10,88 10,05 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 8,27 8,18 7,97 7,75 7,42
8 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 7,10 7,01 6,81 6,61 6,29
9 13,61 10,11 8,72 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,54 6,42 6,31 6,23 6,03 5,83 5,52
10 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85 5,75 5,66 5,47 5,27 4,97
11 12,23 8,91 7,60 6,88 6,42 6,10 5,86 5,68 5,54 5,42 5,32 5,24 5,05 4,86 4,55
12 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 4,99 4,91 4,72 4,53 4,23
15 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42 4,33 4,25 4,07 3,88 3,58
20 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85 3,76 3,68 3,50 3,32 3,02
30 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34 3,25 3,18 3,01 2,82 2,52
40 8,83 6,07 4,98 4,37 3,99 3,71 3,51 3,35 3,22 3,12 3,03 2,95 2,78 2,60 2,30
50 8,63 5,90 4,83 4,23 3,85 3,58 3,38 3,22 3,09 2,99 2,90 2,82 2,65 2,47 2,16
100 8,24 5,59 4,54 3,96 3,59 3,33 3,13 2,97 2,85 2,74 2,66 2,58 2,41 2,23 1,91
500 7,95 5,35 4,33 3,76 3,40 3,14 2,94 2,79 2,66 2,56 2,48 2,40 2,23 2,04 1,72
1000 7,91 5,33 4,30 3,74 3,37 3,11 2,92 2,77 2,64 2,54 2,45 2,38 2,21 2,02 1,69
Wartości krytyczne T testu Wilcoxona
(dla pojedynczej próby i dla par wiązanych).
Tablica przystosowana do mniejszej z dwóch wartości T, poziom istotności  a�, liczba par  N.
Jeżeli otrzymana statystyka T jest mniejsza lub równa Ta� krytycznemu odczytanemu z tej
tablicy to wówczas odrzucamy hipotezę zerową.
test jednostronny a�=
0,025 0,010 0,005
test dwustronny a�=
N
0,050 0,020 0,010
6 0 - -
7 2 0 -
8 4 2 0
9 6 3 2
10 8 5 3
11 11 7 5
12 14 10 7
13 17 13 10
14 21 16 13
15 25 20 16
16 30 24 20
17 35 28 23
18 40 33 28
19 46 38 32
20 52 43 38
21 59 49 43
22 66 56 49
23 73 62 55
24 81 69 61
25 89 77 68
Test a posteriori Tukeya
Rozstęp studentyzowany, Q dla poziomu istotności 0,05.
zabiegi��
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
st.swobodyŻ�
1 18,00 27,00 32,80 37,20 40,50 43,10 45,40 47,30 49,10 50,60 51,90 53,20 54,30 55,40 56,30 57,20 58,00 58,80 59,60
2 6,09 8,33 9,80 10,89 11,73 12,43 13,03 13,54 13,99 14,39 14,75 15,08 15,38 15,65 15,91 16,14 16,36 16,57 16,77
3 4,50 5,91 6,83 7,51 8,04 8,47 8,85 9,18 9,46 9,72 9,95 10,16 10,35 10,52 10,69 10,84 10,98 11,12 11,24
4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,06 7,35 7,60 7,83 8,03 8,21 8,37 8,52 8,67 8,80 8,92 9,03 9,14 9,24
5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 6,99 7,17 7,32 7,47 7,60 7,72 7,83 7,93 8,03 8,12 8,21
6 3,46 4,34 4,90 5,31 5,63 5,89 6,12 6,32 6,49 6,65 6,79 6,92 7,04 7,14 7,24 7,34 7,43 7,51 7,59
7 3,34 4,16 4,68 5,06 5,35 5,59 5,80 5,99 6,15 6,29 6,42 6,54 6,65 6,75 6,84 6,93 7,01 7,08 7,16
8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 5,92 6,05 6,18 6,29 6,39 6,48 6,57 6,65 6,73 6,80 6,87
9 3,20 3,95 4,42 4,76 5,02 5,24 5,43 5,60 5,74 5,87 5,98 6,09 6,19 6,28 6,36 6,44 6,51 6,58 6,65
10 3,15 3,88 4,33 4,66 4,91 5,12 5,30 5,46 5,60 5,72 5,83 5,93 6,03 6,12 6,20 6,27 6,34 6,41 6,47
11 3,11 3,82 4,26 4,58 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 5,61 5,71 5,81 5,90 5,98 6,06 6,14 6,20 6,27 6,33
12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 5,40 5,51 5,61 5,71 5,80 5,88 5,95 6,02 6,09 6,15 6,21
13 3,06 3,73 4,15 4,46 4,69 4,88 5,05 5,19 5,32 5,43 5,53 5,63 5,71 5,79 5,86 5,93 6,00 6,06 6,11
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 5,36 5,46 5,56 5,64 5,72 5,79 5,86 5,92 5,98 6,03
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,59 4,78 4,94 5,08 5,20 5,31 5,40 5,49 5,57 5,65 5,72 5,79 5,85 5,91 5,96
16 3,00 3,65 4,05 4,34 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 5,26 5,35 5,44 5,52 5,59 5,66 5,73 5,79 5,84 5,90
17 2,98 3,62 4,02 4,31 4,52 4,70 4,86 4,99 5,11 5,21 5,31 5,39 5,47 5,55 5,61 5,68 5,74 5,79 5,84
18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,49 4,67 4,83 4,96 5,07 5,17 5,27 5,35 5,43 5,50 5,57 5,63 5,69 5,74 5,79
19 2,96 3,59 3,98 4,26 4,47 4,64 4,79 4,92 5,04 5,14 5,23 5,32 5,39 5,46 5,53 5,59 5,65 5,70 5,75
20 2,95 3,58 3,96 4,24 4,45 4,62 4,77 4,90 5,01 5,11 5,20 5,28 5,36 5,43 5,50 5,56 5,61 5,66 5,71
24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 4,92 5,01 5,10 5,18 5,25 5,32 5,38 5,44 5,50 5,55 5,59
30 2,89 3,48 3,84 4,11 4,30 4,46 4,60 4,72 4,83 4,92 5,00 5,08 5,15 5,21 5,27 5,33 5,38 5,43 5,48
40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,63 4,74 4,82 4,90 4,98 5,05 5,11 5,17 5,22 5,27 5,32 5,36
60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 4,65 4,73 4,81 4,88 4,94 5,00 5,06 5,11 5,15 5,20 5,24
120 2,80 3,36 3,69 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 4,56 4,64 4,71 4,78 4,84 4,90 4,95 5,00 5,04 5,09 5,13
2,77 3,32 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 4,62 4,68 4,74 4,80 4,84 4,89 4,93 4,97 5,01
Ą�