MODEL EKONOMETRYCZNY
Podstawowym obiektem rozpatrywanym w ekonometrii jest model ekonometryczny.
Modelem ekonometrycznym nazywamy formalny opis stochastycznej zależności
wyróżnionej wielkości, zjawiska lub przebiegu procesu ekonomicznego (
zjawisk, procesów) od czynników, które je kształtują, wyrażony w formie
pojedynczego równania bądź układu równań. Strukturę każdego równania określają:
zmienna objaśniana, zmienne objaśniające (nielosowe lub losowe) mające ustaloną
treść ekonomiczną, parametry strukturalne ,zmienna losowa (tradycyjnie nazywana
składnikiem losowym) o nieznanej treści oraz określony typ związku funkcyjnego
między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi i składnikiem losowym.
Przykład:1.1
Dany jest model ekonometryczny
w którym Y oznacza produkcję cukru w Polsce (tys.t), X-powierzchnię uprawy
buraka cukrowego (tys. ha). Zmienną Y nazywamy zmienną objaśnianą, zmienną X
-objaśniającą, są nieznanymi parametrami strukturalnymi modelu.
Składnik losowy wyraża tzw. błąd w równaniu, czyli wpływ na Y
czynników nie uwzględnionych w modelu w sposób bezpośredni, takich jak: warunki
klimatyczne, zawartość cukru w burakach cukrowych, przygotowanie cukrowni do
kampanii cukrowniczej itp. Zależność produkcji cukru od powierzchni uprawy
buraka cukrowego jest liniowa.
KLASYFIKACJA ZMIENNYCH WYSTĘPUJĄCYCH W MODELU EKONOMETRYCZNYM
Rozważamy dwa rozłączne podzbiory zmiennych występujących w modelach
ekonometrycznych:
A - zmienne endogeniczne: bieżące i opóźnione (wyjaśniane przez model),
B - zmienne egzogeniczne: bieżące i opóźnione (nie wyjaśniane przez model).
Ze względu na rolę pełnioną przez poszczególne zmienne w modelu możemy jeszcze
wprowadzić podział na:
C - zmienne objaśniane
D - zmienne objaśniające.
W ogólnym przypadku zbiory C i D nie są zbiorami rozłącznymi, ponieważ zmienna
objaśniana może być jednocześnie ( w tym samym modelu) zmienną objaśniającą. Z
taką sytuacją można zetknąć się w modelach wielorównaniowych.
KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
Modele ekonometryczne klasyfikujemy ze względu na pięć kryteriów.
KRYTERIUM 1. Liczba równań w modelu.
Podział: - modele jednorównaniowe (patrz przykład 1.1),
-modele wielorównaniowe, w których każde równanie objaśnia jedną
zmienną.
Przykład 1.2 Dany jest model ekonometryczny
w którym:
PKB - produkt krajowy brutto,
I - inwestycje,
Z - zatrudnienie,
- parametry modelu,
- składniki losowe,
t - numer roku.
Wcześniej zdefiniowane, odpowiednie podzbiory zmiennych modelu ekonometrycznego
są następujące:
A={PKB,I} , B={Z} , C= , D=
Zmienne nazywamy zmiennymi opóźnionymi.
KRYTERIUM 2. Postać analityczna zależności funkcyjnych modelu.
Podział:
- modele liniowe (przykłady 1.1 i 1.2), w których wszystkie zależności modelu
są liniowe,
- modele nieliniowe, w których chociaż jedna zależność modelu jest nieliniowa.
Przykład 1.3 Dany jest jednorównaniowy, nieliniowy model ekonometryczny

w którym:
- produkt krajowy brutto w roku t,
- majątek produkcyjny w roku t,
- zatrudnienie w gospodarce w roku t,
- parametry,
- czynnik losowy.
Zmienną losową w przykładach 1.1 i 1.2 włączoną do modelu przez dodawanie
nazywamy addytywnym składnikiem losowym, a zmienną losową w przykładzie 1.3
włączoną do modelu przez mnożenie nazywamy multiplikatywnym składnikiem
losowym.
KRYTERIUM 3. Rola czynnika czasu w równaniach modelu.
Podział:
- modele statyczne (przykłady 1.1 i 1.3), nie uwzględniają czynnika czasu,
wśród zmiennych objaśniających nie występują zmienne opóźnione ani zmienna
losowa,
- modele dynamiczne, w których uwzględnia ie czynnik czasu (przykład 1.2).
Najlepiej znanym przypadkiem modelu dynamicznego jest model autoregresyjny, w
którym wśród zmiennych objaśniających występują jedynie opóźnione w czasie
zmienne objaśniane.
KRYTERIUM 4. Ogólno poznawcze cechy modelu.
Podział:
- modele przyczynowo opisowe wyrażające związki przyczynowo skutkowe między
zmiennymi objaśniającymi i objaśnianymi,
- modele symptomatyczne, w których rolę zmiennych objaśniających pełnią zmienne
skorelowane z odpowiednimi zmiennymi objasnianymi a nie wyrażające źródeł
zmienności zmiennych objaśnianych.
Ostatnie kryterium podziału modeli ekonometrycznych dotyczy modeli
wielorównaniowych.
KRYTERIUM 5. Charakter powiązań między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi
w modelu wielorównaniowym.
Podział:
- modele proste,
- modele rekurencyjne,
- modele o równaniach współzależnych.
Postać jednorównaniowego modelu ekonometrycznego.

Rozpatrujemy liniową zależność zmiennej objaśnianej od zmiennych objaśniających
i składnika losowego
(2.1)
gdzie:
Y- zmienna objaśniana,
- zmienne objaśniające, j=1,2,3,...,k,
- nieznane parametry strukturalne modelu, j=0,1,...,k
- składnik losowy
Naszym celem jest oszacowanie parametrów modelu na podstawie posiadanych
informacji statystycznych, dotyczących wartośc zmiennych występujących w
modelu. zakładamy, że dysponujemy n-elementowymi szeregami czasowymi obserwacji
dla wszystkich zmiennych modelu. W przypadku danych przekrojowych n oznacza
liczbe obiektów. Oznaczamy:
- wartość zmiennej objaśnianej w okresie t, t=1,2,...,n,
- wartość j-tej zmiennej objaśniającej w okresie t, t=1,2,...,n,
oraz zapisujemy posiadane informacje w ujęciu macierzowym:

- wektor obserwacji zmiennej objaśnianej,


- macierz zaobserwowanych wartości zmiennych objaśniających.
Po uwzględnieniu znanych wartości poszczególnych zmiennych zależność (2.1)
przyjmuje postać układu n-równań liniowych:
(2.2)
Przy dodatkowym oznaczeniu:

-wektor składników losowych,


-wektor nieznanych parametrów modelu,

jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny zapisujemy w postaci
(2.3)
Równanie macierzowe (2.3) zawiera nieznane parametry strukturalne modelu
oraz składniki losowe , których własności a priori nie znamy.
Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK).
Najlepiej znaną i najczęściej stosowaną w praktyce metodą estymacji nieznanych
parametrów strukturalnych modelu jest metoda najmniejszych kwadratów (MNK).
Przyjmujemy następujące założenia dotyczące stosowalności MNK do szacowania
wektora w modelu :
(Z1) zmienne objaśniające są nielosowe i nieskorelowane ze składnikiem losowym
,
(Z2) rz(x)=k+1n,
(Z3) E=0,
(Z4) , przy czym
Niekiedy przyjmuje się dodatkowe założenie (Z5), rozszerzające założenia (Z3) i
(Z4) , mianowicie
(Z5) dla t=1,2,...,n
Założenie (Z5) oznacza, że składnik losowy w każdym z okresów ma rozkład
normalny o wartości oczekiwanej 0 i skończonej, stałej wariancji Zasadność
założenia (Z2) ma charakter algebraiczny i zostanie wyjaśniona poniżej.
Założenia (Z3) i (Z4) warunkują korzystne własności estymatora a wektora
parametrów wymienione w podanym dalej twierdzeniu Gaussa-Markowa. Symbolużyty
w twierdzeniu Z4 oznacza macierz wariancji i kowariancji wektora składników
losowych.
Założenia (Z1)-(Z4) dotyczące modelu nazywane są założeniami klasycznej metody
najmniejszych kwadratów, a MNK przy tych założeniach określa się mianem
klasycznej metody najmniejszych kwadratów (KMNK).
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (MNK)
Zamierzamy wyznaczyć oceny a nieznanych parametrów modelu . Wartości zmiennej
objaśnianej otrzymane przy ocenach a nazwiemy wartościami teoretycznymi
zmiennej objaśnianej, oznaczymy je przez i obliczymy jako:
t=1,2,...,n (2.4)
Resztą dla okresu t nazwiemy różnicę między wartością empiryczną a teoretyczną
zmiennej objaśnianej , czyli
t=1,2,...,n
(2.5)
wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej oraz reszty możemy zapisać w postaci
wektorów:
oraz
Wobec tego otrzymujemy macierzowy zapis równań (2.4)
(2.6)
oraz równań (2.5)
(2.7)
Idea metody najmniejszych kwadratów (MNK) polega na wyznaczenia takiego wektora
oszacowań a wektora parametrów, przy którym funkcja S(a) = osiąga minimum .
Funkcja S(a) wyraża sumę kwadratów odchyleń teoretycznych wartości zmiennej
objaśnianej od empirycznych wartości tej zmiennej i może być przedstawiona w
postaci
(2.8)
Poszukiwanie punktu stacjonarnego funkcji S z warunku koniecznego istnienia
ekstremum funkcji,

prowadzi do równania macierzowego
(2.9)
a w konsekwencji do układu równań normalnych względem a postaci
(2.10)
Macierz jest macierzą Grama dla macierzy X. Łatwo zauważyć ,że macierz jest
kwadratową, symetryczną macierzą stopnia k+1.Warunek konieczny i dostateczny
na to , by macierz była nieosobliwa jest identyczny z założeniem (Z2).
Widzimy więc że założenie (Z2) ma charakter algebraiczny i warunkuje
otrzymanie jedynego rozwiązania układu (2.10).
Przy założeniu (Z2) układ równań normalnych (2.10) jest więc układem Cramera
.Jego (jedyne) rozwiązanie dane jest wzorem
(2.11)
Można sprawić ,że macierz drugich pochodnych cząstkowych funkcji S względem a
jest równa
(2.12)
Jest ona dodatnio określona. Wobec tego funkcja S w punkcie a osiąga minimum
lokalne.
Gdy macierz X i wektor y mają znaną postać liczbową, wówczas ze wzoru (2.11)
otrzymamy oceny parametrów szacowanego modelu. W ogólnym przypadku wzór (2.11)
przedstawia postać estymatora parametrów modelu wyprowadzono przy użyciu MNK z
jedynym założeniem (Z2).Mimo identycznego symbolu a stosowanego w statystyce i
ekonometrii do oznaczenia estymatora i jego konkretnej wartości (czyli oceny
nieznanego parametru) nie należy mylić tych dwóch pojęć.
Twierdzenie (Gaussa-Markowa)
Estymator a wyznaczony KMNK jest estymatorem: liniowym , zgodnym, nieobciążonym
i najefektywniejszym w klasie liniowych i nieobciążonym estymatorów wektora
parametrów modelu .
Przypomnijmy, że:
- estymator zgodny jest zbieżny stochastycznie do ;
- estymator nieobciążony to taki ,dla którego E(a) = ;
- estymator najefektywniejszy ma w określonej klasie estymatorów najmniejszą
wariancję;
- estymator liniowy - uzasadnienie znajduje się poniżej.
Wektor a jest estymatorem liniowym, ponieważ każda składowa wektora a jest
liniową funkcją składowych wektora y o współczynnikach z iloczynu .
Wyznaczenie wektora ocen a za pomocą MNK jest tożsame z wyznaczeniem pewnej
hiperpłaszczyzny w przestrzeni .Odnotujemy niektóre algebraiczne własności
wektora a wyznaczonego przy użyciu MNK. Przyjmiemy przy tym oznaczenie dla
kolumnowego wektora jedynek
(2.13)

(2.14)
(2.15)
(2.16)

(2.17)
Procedura obliczenia wektora ocen a kończy etap estymacji parametrów
strukturalnych modelu ekonometrycznego.
Macierz kowariancji (niekiedy nazywana macierzą wariancji i kowariancji
estymatora a wyznaczamy ,korzystając z własności nieobciążności estymatora
a i z założenia (Z4), w podany sposób:


A zatem

(2.18)