Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1. W urnie znajduje się 25 kul, z których 15 jest białych i 10
czarnych. Losujemy bez zwracania kolejno po jednej kuli. Kończymy losowanie
w momencie, kiedy wyciągnięte zostaną wszystkie czarne kule.
Oblicz wartość oczekiwaną liczby pozostałych w urnie białych kul.
15
(A)
10
15
(B)
11
(C) 5
15
(D)
25
16
(E)
11
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2. Wektor losowy (X ,Y ) ma łączną gęstość prawdopodobieństwa
2 gdy x e" 0, y e" 0 i x + y d" 1;
Å„Å‚
f (x, y) =
òÅ‚
0 w przeciwnym przypadku.
ół
X
Podaj gęstość g(z) rozkładu zmiennej losowej Z = .
X + Y
(A) g(z) = 2z dla 0 d" z d" 1
(B) g(z) = 1 dla 0 d" z d" 1
(C) g(z) = 2(1- z) dla 0 d" z d" 1
(D) g(z) = 6z(1- z) dla 0 d" z d" 1
1
(E) g(z) = dla 0 d" z d" 1
Ä„ z(1- z)
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3. Załóżmy, że X1,..., X są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym,
n
ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa, mającymi momenty rzędu 1, 2 i 3. Znamy
2
µ = E(X ) i à = Var(X ) .
i i
Niech f (x) oznacza gęstość rozkładu pojedynczej zmiennej X . Wiemy, że rozkład jest
i
symetryczny w tym sensie, że f (µ + x) = f (µ - x) dla każdego . x
3
Oblicz trzeci moment sumy: E(Sn ), gdzie Sn = X1 + ... + X .
n
3 2 2
(A) E(Sn )= n2µ(2nµ + 3Ã )
3 2 2
(B) E(Sn )= nµ(n2µ + 3Ã )
3 2 2
(C) E(Sn )= n2µ(nµ + 3Ã )
3 2 2
(D) E(Sn )= n2µ(nµ + 2Ã )
3
(E) Podane informacje nie wystarczajÄ… do obliczenia E(Sn )
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4. Załóżmy, że zmienne losowe X1,..., X10 są niezależne i mają rozkłady normalne.
1 1
öÅ‚
Zmienna X ma rozkÅ‚ad NëÅ‚ µ, , innymi sÅ‚owy E(X ) = µ , Var(X ) = dla i = 1,...,10 .
ìÅ‚ ÷Å‚
i i i
i i
íÅ‚ Å‚Å‚
Wartość oczekiwana µ (jednakowa dla wszystkich zmiennych) jest nieznana. Należy
zbudować przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla µ na poziomie 1-Ä… = 0.95 . PrzedziaÅ‚ ma być postaci
Ć Ć Ć
[µ - d, µ + d], gdzie µ jest estymatorem najwiÄ™kszej wiarogodnoÅ›ci parametru µ .
Podaj liczbę d taką, że
Ć Ć
Pr(µ - d d" µ d" µ + d) = 0.95 .
(A) d = 2.6429
(B) d = 0.3920
(C) d = 0.1960
(D) d = 0.3354
(E) d = 0.2643
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5. Załóżmy, że X1, X ,..., X ,... jest ciągiem niezależnych zmiennych
2 n
losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
1
f (x) = exp(-x / µ) dla x > 0.
µ
Zmienna losowa N jest niezależna od X1, X ,..., X ,... i ma rozkład Poissona o wartości
2 n
oczekiwanej  . Niech c będzie ustaloną liczbą dodatnią,
Yi = min(X ,c) , Zi = X - Yi ,
i i
N N
(Y ) (Z )
S = , S = .
"Yi "Zi
i=1 i=1
(Y ) (Z )
Oblicz Cov(S , S ).
(Y ) (Z )
(A) Cov(S , S )= cµ e-c / µ
(Y ) (Z )
(B) Cov(S , S )= cµ (1- e-c / µ )
(Y ) (Z )
(C) Cov(S , S )= c e-c / µ
(Y ) (Z )
(D) Cov(S , S )= cµ e-c 
(Y ) (Z )
(E) Cov(S , S )= µ e-c / µ
5
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6. Załóżmy, że X1,..., X ,... jest ciągiem niezależnych, dodatnich
m
zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o gęstości
(*) f (x) = x exp(-x) dla x > 0.
Niech S0 = 0 i Sm = X1 + ... + X dla m > 0 . Określmy zmienną losową M w następujący
m
sposób:
M = max{m e" 0 : Sm d" 5}
Oblicz Pr(M = 2).
Wskazówka: M jest liczbą wyrazów rosnącego ciągu sum
X1 < X1 + X < X1 + X + X < ...
2 2 3
zawartych w przedziale [0,5]. Rozkład określony wzorem (*) jest rozkładem Gamma.
Zmienną losową X można przedstawić jako sumę dwóch niezależnych zmiennych losowych
i
o rozkładzie wykładniczym.
25
(A) e-1
12
625
(B) e-5
12
625
(C) e-5
24
25
(D) e-5
12
25
(E) e-2
12
6
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7. Niech N1, N2 ,..., N10 będzie próbką z rozkładu Poissona z nieznanym
parametrem  (parametr jest wartością oczekiwaną pojedynczej obserwacji,  = E (Ni ) ).
Interesuje nas drugi moment obserwacji, czyli wielkość m2 () = E (Ni2 ) . Chcemy
skonstruować taki estymator wielkości m2 () , który jest nieobciążony i który jest funkcją
zmiennej S = N1 + ... + N10 (zależy tylko od sumy obserwacji).
1
2
Ć
(A) m2 = S jest estymatorem o żądanych własnościach
100
1 1
2
Ć
(B) m2 = S - S jest estymatorem o żądanych własnościach
100 10
1
Ć
(C) m2 = S(S + 9) jest estymatorem o żądanych własnościach
100
10
1
2
Ć
(D) m2 = jest estymatorem o żądanych własnościach, ponieważ jest nieobciążony
"Ni
100
i=1
i można go przedstawić w postaci wzoru zawierającego tylko zmienną S
(E) Estymator o żądanych własnościach nie istnieje
7
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8. Niech X1, X ,..., X ,... będzie ciągiem zmiennych losowych o wartościach w
2 n
zbiorze {0,1}, stanowiącym łańcuch Markowa o macierzy przejścia
p00 p01 0.8 0.2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
P = ïÅ‚ = ïÅ‚ .
p10 p11 śł ðÅ‚0.2 0.8śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
Niech Z1, Z2 ,..., Zn ,... będzie ciągiem zmiennych losowych o wartościach w zbiorze {0,1},
niezależnych od siebie nawzajem i od zmiennych X1, X ,..., X ,..., o jednakowym
2 n
rozkładzie prawdopodobieństwa:
Pr(Zi = 1) = 0.9 i Pr(Zi = 0) = 0.1.
Obserwujemy zmienne Yi = Zi Å" X . Oblicz lim Pr(Yn > Yn+1) .
i
n"
(A) lim Pr(Yn > Yn+1) = 0.45
n"
(B) lim Pr(Yn > Yn+1) = 0.40
n"
(C) lim Pr(Yn > Yn+1) = 0.10
n"
(D) lim Pr(Yn > Yn+1) = 0.126
n"
(E) lim Pr(Yn > Yn+1) = 0.09
n"
8
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. Próbka X1, X ,..., X pochodzi z rozkÅ‚adu normalnego N(µ,1) z
2 n
nieznanÄ… wartoÅ›ciÄ… oczekiwanÄ… µ i wariancjÄ… 1. Na podstawie tej próbki
zbudowano w standardowy sposób przedziaÅ‚ ufnoÅ›ci na poziomie 0.95 dla µ :
Ć Ć
[X -1.96 n , X +1.96 n]= [µ- , µ+ ].
Chcemy wykorzystać skonstruowany przedział do przeprowadzenia testu pewnej hipotezy
statystycznej. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?
(A) Jednostajnie najmocniejszy test hipotezy H0 : µ = 3 przeciw alternatywie H1 : µ > 3 na
Ć
poziomie istotnoÅ›ci 0.025 odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy gdy µ- > 3
(B) Jednostajnie najmocniejszy test hipotezy H0 : µ = 3 przeciw alternatywie H1 : µ > 3 na
Ć
poziomie istotnoÅ›ci 0.05 odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy gdy µ- > 3
(C) Jednostajnie najmocniejszy test hipotezy H0 : µ = 3 przeciw alternatywie H1 : µ > 3 na
Ć
poziomie istotnoÅ›ci 0.025 odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy gdy µ+ > 3
(D) Jednostajnie najmocniejszy test hipotezy H0 : µ = 3 przeciw alternatywie H1 : µ `" 3 na
Ć Ć
poziomie istotnoÅ›ci 0.05 odrzuca H0 wtedy i tylko wtedy gdy ( µ- > 3 lub µ+ < 3).
(E) Żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.
9
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. Załóżmy, że X1, X ,..., X ,... jest ciągiem niezależnych zmiennych
2 n
losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
1
f (x) = exp(-x / µ) dla x > 0.
µ
Zmienna losowa N jest niezależna od X1, X ,..., X ,... i ma rozkład geometryczny dany
2 n
wzorem:
Pr(N = n) = p(1- p)n dla n = 0,1,2,...
N
Niech SN = X (przy tym S0 = 0 , zgodnie z konwencjÄ…).
" i
i=1
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe Pr(N = 1| SN = s) , dla s > 0 .
Wskazówka: Warunkowo, dla N > 0 , zmienna losowa SN ma rozkład wykładniczy, którego
wartość oczekiwaną można łatwo obliczyć znając E(SN ) = E(SN | N > 0) Pr(N > 0) .
(A) Pr(N = 1| SN = s) = 1- s exp[- s(1- p) / µ]
(B) Pr(N = 1| SN = s) = s exp[- s(1- p) / µ]
(C) Pr(N = 1| SN = s) = exp[- s(1- p) / µ]
(D) Pr(N = 1| SN = s) = 1- exp[- s(1- p) / µ]
(E) Pr(N = 1| SN = s) = exp[- sp / µ]
10
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 25 stycznia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
ImiÄ™ i nazwisko ....................... K L U C Z O D P O W I E D Z I .............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr Odpowiedz

Punktacjaf&
1 B
2 B
3 C
4 E
5 A
6 B
7 C
8 D
9 A
10 C
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
f&
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11