Opracował: Mirosław Jaworowski
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych Jarosław 3.12.2010 r.
str 1z4
Projekt nr 1
LINIE WPA
YWOWE SIA
W UKA
ADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH
OBWIEDNIA MOMENTÓW
Zadanie: Dla belki pokazanej na rys. 1 obciążonej zespołem sił ruchomych jak na rys. 2. wyznaczyć
obwiednię momentów.
2,0m 5,0m 3,0m
Rys. 1
Zespół obciążeń:
20kN
6kN/m
0,5m
1,5m
Rys. 2
RozwiÄ…zanie
Aby wykreślić obwiednię momentów w pierwszej kolejności wyznaczam linie wpływowe oraz
ekstremalne wartości momentu zginającego dla każdego z przyjętych przekrojów. Przekroje ustawiam
Opracował: Mirosław Jaworowski
co 1m jak na rys 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
str 6z4
2,0m 5,0m 3,0m
M śą minRys.
źą=03
Rys. 1
0
M śą maxźą=0
0
M śąmaxźą=0
1
Na rysunkach poniżej przedstawiono linie wpływowe momentu zginającego dla każdego z przekrojów
śą-0,5Å"0,5źą
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å" =-20
1
0-10. Kolorem czarnym przedstawiono położenie danego zespołu obciążeń, przy którym moment
2 4
M śą maxźą=0
2
zginający ma wartość maksymalną, natomiast kolorem czerwonym położenie, dla którego moment
śą-1,5Å"1,5źą
śą minźą=20wykonano obliczenia=-46 3
Å"śą-2źąƒÄ…6Å"
2
zginający jest minimalny. Pod każdym zMrysunków ekstremalnych wartości
2 4
momentu.
0
śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5 M0(x) [m]
19
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" =20
3
2 20
śą-1,2Å"1,5źą
2
M śąminźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…6Å" =-37
3
2 5
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
3
M śą maxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å" =30
4
2 10
śą-0,9źąÅ"1,5
1
M śą minźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å" =-28
4
2 20
27
M śąmaxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 =24
5
2 40
Opracował: Mirosław Jaworowski
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych Jarosław 3.12.2010 r.
str 2z4
Opracował: Mirosław Jaworowski
20kN
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
6kN/m
str 6z4
M śą minźą=0
0
-1 -0,5
0
M śą maxźą=0
0 M1(x) [m]
0 1
M śąmaxźą=0
1
śą-0,5Å"0,5źą
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å" =-20
1
Opracował: Mirosław Jaworowski
2 4
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
M śą maxźą=0
20kN
2
str 6z4
6kN/m
śą-1,5Å"1,5źą
3
M śą minźą=20Å"śą-2źąƒÄ…6Å" =-46
2
2 4
M śą minźą=0
0
M śą maxźą=0
śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
19
0
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" =20
3
2 20
M śąmaxźą=0
1
śą-1,2Å"1,5źą
2
-2 -1,5
M śąminźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…6Å"0 =-37
śą-0,5Å"0,5źą
3
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å" 2 =-20 5
M2(x) [m]
1
2 4
0 1 2
Opracował: Mirosław Jaworowski
M śą maxźą=0
2
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
śą-1,5Å"1,5źą
M śą =3033 str 6z4
M śąmaxźąźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"Å" =-46
min =20Å"śą-2źąƒÄ…6
4
2
2 10
2 4
śą-0,9źąÅ"1,5
1
M śą minźą=0
M śą minźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å" =-28
0
20kN 4
2 20
M śą maxźą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5 =20 19
źą=0
6kN/m
M śąmax
0
3
2 20
M śąmaxźą=0
śą-1,2Å"1,5źą
2
1
27
M śąmin20kN20Å"śą-1,6źąƒÄ…6śąÅ"
3
M śąmaxźą=
źą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 =24
-0,5Å"2 =-37 5
0,5źą
3
5
M śąminźą=20Å"śą-16kN/mÅ" 2 =-20
źąƒÄ…6 40
1
Opracował: Mirosław Jaworowski
2 4
M śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-36
-0,6
5
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
-1,6 -1,2
M śą maxźą=0
2
0 śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
0
M śą maxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,4Å"0,5 =3033
śą-1,5Å"1,5źąśą-0,8Å"1,0str 6z41 M3(x) [m]
4
0 1 3
M śą min =20Å"śą-2źąƒÄ…6 2 10źą=14
M2 6śąmaxźąźą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"Å" 2ƒÄ…6Å"=-46 4
2
0,4
2 2 5
śą-0,9źąÅ"1,5
1
M śąminźą=20Å"śą-2,4źą=-48
minźą 0,7
źą=0
M śą
0
M 4śąmin0,8=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å" 2 =-28 20
6
M śą maxźą=0
śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
19
0
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" =20
3
M śąmax źą=0
7 20
M śąmaxźąźą=20Å"śą-3źą=-60 2
0
1
M śąmin =
śą-1,2Å"1,5źą
27 2
7
M śąmaxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å" 6śąÅ" =24
M śąminźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…0,9Å"1,5Å"0,5źą =-37
-0,5
3
5
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å" =-20
2 2 40 5
1
2 4
M śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-36
5
20kN
M śą maxźą=0
M śąmaxźą=0
2
8
6kN/m
śą1,00,5Å"1,5źąśą-0,8Å"1,0źą
śą-1,5
M śąminźą=20Å"śą-2źą=-40Å"ƒÄ…0,4źąÅ"1,5 =3033 1
8
M śą
M śąmaxźą=2020kN
min =20Å"śą-2źąƒÄ…60,4 2
4
M 2śąmaxźąźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"Å" 2ƒÄ…6Å"=-46 4 =14
Å"0,8ƒÄ…6Å"
6
10
2 2 5
6kN/m
śą-0,9źąÅ"1,5
1
M śąmin =20Å"śą-2,4źą=-48
M śą
9
M 6śąmaxźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å" =-28
minźąźą=0
4
śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5 20 -1,2
2
19
M śąmin =20Å"śą-1źą=-20
-1,2 -0,9 9
M śąmaxźąźą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" =20
3
0
M śąmax źą=0
20 20
7
M4(x) [m]
0 1 2 3 4
M śąmin źą=20Å"śą-3źą=-60śą-1,2Å"1,5źą
2
7
M śąśąmaxźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…6Å"0,4 =24 =-37
3
M źą=0Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 2 27 5
M śąminźą= 20
max
10
5
2 40
1,0
M śąminźą=0
1,2
10
M śąmaxźą=0
M 5śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-36
8
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
3
M śąminźą=20Å"śą-2źą=-40
8
M śą maxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,4Å"0,5 =30
4
2ƒÄ…6Å"śą-0,8Å"1,0źą=14 1
10
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"
6
2 2 5
śą-0,9źąÅ"1,5
1
M śą
9
M śąmaxźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å" =-28
minźąźą=0
4
M śąmin =20Å"śą-2,4źą=-48
6
2 20
M śąmin źą=20Å"śą-1źą=-20
9
M śąmax źą=0
7
M śąśąmax=20Å"śą-3źą=-60
min źą
27
7
M źą=0
M śąmaxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 =24
10
5
2 40
M min 0
Opracował: Mirosław Jaworowski
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
str 6z4
M śą minźą=0
0
M śą maxźą=0
0
M śąmaxźą=0
1
śą-0,5Å"0,5źą
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å" =-20
1
2 4
Opracował: Mirosław Jaworowski
M śą maxźą=0
2
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
śą-1,5Å"1,5źą
3
str 6z4
M śą minźą=20Å"śą-2źąƒÄ…6Å" =-46
Opracował: Mirosław Jaworowski
2
2 4
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych Jarosław 3.12.2010 r.
1,2
str 3z4
M śą minźą=0
0
śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
19
M śąmax
M śą maxźą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" 2 =20 20 20kN
źą=0
3
0
śą-1,2Å"1,5źą
2
M śąmaxźą=0
1
M śąminźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…6Å" =-37
3
5
śą-0,5Å"2
0,5źą
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å" =-20
1
20kN
2 4
-1,8
6kN/m
M śą maxźą=0
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
2
M śą maxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"
4
śą-1,52 =3033
Å"
Opracował: Mirosław Jaworowski1,5źą =-46 10
-0,8
M śą minźą=20Å"śą-2źąƒÄ…6Å"
2
0 0
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych
2
śą-0,9źąÅ"1,5 4
1
M5(x) [m]
M2 4śą minźą=204 5 =-28
Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å"
0 1 3
str 6z4
2 20
śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
19
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"0,9 =20
3
1,2
2 20
M śą minźą=0
0
20kN
27
śą-1,2Å"1,5źą
2
M śąmaxźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…0,9Å"1,5 =24
źą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"
M śą maxźą=0
5
0
M śąmin 6Å"2 =-37
3
40
2 5
0,9
1,2
M śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-36
M śąmaxźą=0
5
1
20kN
śą-0,5Å"0,5źą
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å" =-20
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
śą-0,8Å"1,0źą
1
1
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" 2 =3043 =14
M śą maxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,4Å"0,5ƒÄ…6Å"
4
6
2 2 2 10 5
M śą maxźą=0
2
-2,4
śą-0,9źąÅ"1,5
M śąmin źą=20Å"śą-2,4źą=-48
20kN 1
6
śą-1,5Å"1,5źą
3
M śą =-28
4
6kN/m
M śąminźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å" 2 =-46
minźą=20Å"śą-2źąƒÄ…6Å"
20
2
2 4
M śąmax źą=0
7
M śąmin źą=20Å"śą-3źą=-60
7
śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
-0,4
M śąmaxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 27-0,8 19
źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" =20
0
M śąmax 0
3
5
2=24 40 20 M6(x) [m]
2
0 1 4 5 6
M śąmaxźą=0 śą-1,2Å"1,5źą
2
M2 8śąmin3źą=20Å"śą-1,8źą=-36
5
M śąminźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…6Å"0,8 0,4 =-37
3
M śąminźą=20Å"śą-2źą=-40 2 5
8
śą-0,8Å"1,0źą
1
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"0,4Å"0,5ƒÄ…6Å" =14
6
2 2 5
M śąmax źą=0
9
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
3
M śą =20Å"śą-2,4źą=-48
M śąminźąźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å" =30
maxźą=20Å"śą-1źą=-200,8
M 6śąmin
4
9
2 10
20kN
śą-0,9źąÅ"1,5
1
M śą źą=0
7
M śąmaxźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å" =-28
min
4
2 20
M śąśąmax=20Å"śą-3źą=-60
min źą
M źą=0
7
10
M śąminźą=0
10
27
M śąmaxźą=0
-3
M 8śąmaxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 =24
5
40
M śąminźą=20Å"śą-2źą=-402
8
M śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-36
5
M śąmax źą=0
9
śą-0,8Å"1,0źą
1
M śąmaxźąźą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"0,4Å"0,50
M śąmin =20Å"śą-1źą=-202 ƒÄ…6Å" 2 =14 5
0 6
9
M7(x) [m]
0 1 2 3 4 5 6 7
M śąmin źą=20Å"śą-2,4źą=-48
6
M źą=0
10
M śąśąmaxźą=0
max
7
M
10
M śąśąminźąźą=0
min =20Å"śą-3źą=-60
7
M śąmaxźą=0
8
M śąminźą=20Å"śą-2źą=-40
8
M śąmax źą=0
9
M śąmin źą=20Å"śą-1źą=-20
9
M śąmaxźą=0
10
M śąminźą=0
10
2 4
M śąmaxźą=0
M śą maxźą=0
1
0
śą-0,5Å"0,5źą
3
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å"0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
śą =-20
19
M śąmaxźą=0
1
1
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" =20
2 4
3
20
Å"
M śąminźą=20Å"śą-1źąƒÄ…6Å"śą-0,520,5źą =-20 3
maxźą=0
M śą
2
1
śą-1,2Å"1,5źą
2
2 4
M śąminźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…6śą-1,5Å"1,5źą =-37
Å"
3
3
M śą minźąźą=0 =-46
=20Å"śą-2źąƒÄ…6Å"
2 5
M śą max
2
2
2 4
śą-1,5Å"1,5źą
3
M śą minźą=20Å"śą-2źąƒÄ…6Å" =-46
2
2 43
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
19
M śą maxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"śą0,7ƒÄ…0,4źąÅ"1,5 =30
M śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" =20
4
3
2 10
2 20
śą0,7ƒÄ…0,4źąźą1,5źą
Å"1,5
191
M śąmaxźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å"śą-0,9Å"Å"1,5=-28 2
źą=20Å"
3
M śą minźą=20Å"0,8ƒÄ…6Å" śą-1,2 =20 20
źąƒÄ…6
M śąmin śą-1,6 Å"
4
3 22 =-37 5
2 20
śą-1,2Å"1,5źą
2
Opracował: Mirosław Jaworowski
M śąminźą=20Å"śą-1,6źąƒÄ…6Å" =-37
3
2 5
Linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych Jarosław 3.12.2010 r.
śą1,0ƒÄ…0,4źąÅ"1,5
M śą maxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 27 3
=30
M śąmaxźą=20str 4z4 =24
Å"1,2ƒÄ…6Å"
4
5
2 10
2 40
śą1,0
M śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-36ƒÄ…0,4źąÅ"1,5=-2831
M śą maxźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å"śą-0,9źąÅ"1,5 =30
źą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"
5 20kN
4
M śą min
4 22 10
20
śą-0,9źąÅ"1,5
źą
M śąmaxźą=20Å"śą-1,2źąƒÄ…6Å"Å"0,5ƒÄ…6Å"śą-0,8Å"1,01=14 1
min
M śą źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"0,4 2 =-28 20
4
6
2 2 5
27
-2
M śąmaxźąźą=20Å"śą-2,4źą=-48
6
M śąmin = 20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 =24
5
2 40
M śąmax źą=0
M śąmaxźą=20Å"1,2ƒÄ…6Å"0,9Å"1,5 =24 27
M 7śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-36
5
5
40
M śąmin źą=20Å"śą-3źą=-602
0 0
7
M śąminźą=20Å"śą-1,8źą=-360,5 śą-0,8Å"1,0źą 1 M8(x) [m]
M2 5śąmax źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"0,4Å" ƒÄ…6Å" =14
0 1 3 4 5 6 7 8
6
2 2 5
śą-0,8Å"1,0źą
1
M śąmax 0
M śąmin =
8 źą=20Å"0,8ƒÄ…6Å"0,4Å"0,5ƒÄ…6Å"
M śąmaxźąźą=20Å"śą-2,4źą=-48 =14
6
6
2 5
M śąminźą=20Å"śą-2źą=-402
8
M śąmin źą=20Å"śą-2,4źą=-48 20kN
M śąmax źą=0
6
7
M śąmaxźąźą=0
=20Å"śą-3źą=-60
M 7śąmin źą=0
9
M śąmax
7
M śąmin źą=20Å"śą-1źą=-20
9
M śąmin źą=20Å"śą-3źą=-60
7
-1
M śąmaxźą=0
8
0 0
M śąśąmaxźą=0Å"śą-2źą=-40
minźą=20
M 8
M9(x) [m]
10
M śąmaxźą=0
0 1 8 3 4 5 6 7 8 9
M2 10 źą=0
M śąśąminźą=20Å"śą-2źą=-40
8
M śąmin źą=0
max
9
M śąmin źą=20Å"śą-1źą=-20
9
M śąmax źą=0
9
M śąmin źą=20Å"śą-1źą=-20
0 9 0
M10(x) [m]
M2 10śąmaxźą=04 5 6 7 8 9 10
0 1 3
M śąminźą=0
10
M śąmaxźą=0
10
M śąminźą=0
10
-60,00
46,75
-48,00
-40,00
-37,40
-36,00
-28,05
-20,75
-20,00
0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14,20
20,95
24,68
30,30