5. Fala płaska na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych
Zakładamy, że każdy z dwóch ośrodków liniowych, jednorodnych, izotro-
powych i bezstratnych wypełnia półprzestrzeń w ten sposób, że płaszczy-
zna z = 0 stanowi granicę między nimi. Na granicę tę pada fala płaska
o pulsacji � pod dowolnym kątem �I względem normalnej. W ogólnym
przypadku powstaje fala odbita i przechodząca, przy czym ich wektory fa-
lowe leżą w jednej płaszczyz
nie tzw. płaszczyz
nie padania.
W rozważaniach tego rozdziału przyjmiemy następujące oznaczenia:
Ć
x , w
, ę  wersory prostokątnego układu współrzędnych x, y, z
kI, kR, kT  wersory w kierunku fali padającej (indeks  I ang. incident),
odbitej ( R ang. reflected) i przechodzącej ( T ang. transmitted)
kI, kR, kT  liczby falowe związane z odpowiednimi falami.
5.1. Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym
Rozważymy przypadek padania prostopadłego (�I = 0) zakładając, że fala
padająca spolaryzowana jest w kierunku osi x, jak na rys. 5.1.
Rys. 5.1. Fala płaska padająca prostopadle na granicę dwóch ośrodków.
Można ją przedstawić za pomocą wzorów
Ć
EI(z,t) = xEI exp[ j(kI z - �t)]
1
HI(z,t) = w
EI exp[ j(kI z - �t)] (5.1)
Z1
W wyniku tego powstaje fala odbita, poruszająca się do tyłu w ośrodku 1
Ć
ER (z,t) = xER exp[ j(-kRz - �t)]
1
HR (z,t) =-w
ER exp[ j(-kRz - �t)] (5.2)
Z1
5-1
i fala przechodząca do ośrodka 2
Ć
ET(z,t) = xET exp[ j(kT z - �t)]
1
HT(z,t) = w
ET exp[ j(kT z - �t)] (5.3)
Z2
Amplitudy EI, ER, ET mogą być w ogólności zespolone.
Dla poprawy czytelności wzorów zastosowano oznaczenie
n
ej(k z-�t) a" exp[ j(knz - �t)], gdzie n = I, R, T
W powyższych wyrażeniach Z1 i Z2 są impedancjami właściwymi ośrod-
ków bezstratnych:
ź1 ź2 ź0
Z1 = ; Z2 = przy czym dla próżni Z0 = H" 120Ą� H" 377� .
�1 �2 �0
Trzy liczby falowe są powiązane równaniami
kIv1 = kRv1 = kTv2 = � (5.4)
przy czym
11 cc
1 1
v1 == = ; v2 = = =(5.5)
n1 n2
�1ź1 �r1źr1�0ź0 �2ź2 �r2źr2�0ź0
Przyjmując, że prądy i ładunki powierzchniowe nie istnieją, warunki brze-
gowe na płaszczyz
nie z = 0 przyjmują postać:
" dla składowych stycznych pól
Et2 - Et1 = 0 (5.6a)
Ht2 - Ht1 = 0 (5.6b)
" dla składowych normalnych pól
Dn2 - Dn1 = 0 (5.6c)
Bn2 - Bn1 = 0 (5.6d)
W związku z tym, że nie ma składowych normalnych (fale są typu TEM)
warunki (5.6c) i (5.6d) są spełnione automatycznie. Natomiast z warunków
(5.6a) i (5.6b)mamy
EI + ER = ET (5.7)
EI - ER ET
= (5.8)
Z1 Z2
Stąd można wyznaczyć amplitudy fali przechodzącej i odbitej przez ampli-
tudę fali padającej
�# - Z1 2Z2
ś# �#ś#
Z2
ER = EI; ET = (5.9)
EI
ś#
Z1 + Z2 ź# ś# Z1 + Z2 ź#
�# # �# #
5-2
Przepływ energii
Wiemy, że fala elektromagnetyczna niesie energię. Znając zależności mię-
dzy amplitudami odbitej i przechodzącej w stosunku do amplitudy fali pa-
dającej można wyznaczyć jaka część energii odbija się a jaka przechodzi
do drugiego ośrodka. Wektor Poyntinga
V A W
Ą# ń#
S a" E � H �" = (5.10)
ó#
m m m2 Ą#
Ł# Ś#
stanowi powierzchniową gęstość strumienia mocy przenoszoną przez falę
elektromagnetyczną. Uśredniona (w czasie) po pełnym cyklu (lub równie
dobrze po wielu cyklach) powierzchniowa gęstość strumienia mocy nazy-
wa się natężeniem fali i jest równa
1
I a" S a" Re( E � H * ) (5.11)
2
T
W ośrodku bezstratnym natężenia fali padającej, odbitej i przechodzącej
przedstawiają wyrażenia
1 1 1 1 1 1
2 2 2
II = EI ; IR = ER , IT = ET (5.12)
2 Z1 2 Z1 2 Z2
Zdefiniujemy współczynnik odbicia mocy
ER 2
IR (Z2 - Z1)2
RP a" = = (5.13)
II EI 2 (Z1 + Z2)2
i współczynnik transmisji mocy
ET 2
IT Z1 4Z1Z2
TP a" = = (5.14)
II Z2 EI 2 (Z1 + Z2)2
Zauważamy, że
RP + TP = 1 (5.15)
W technice mikrofalowej definiuje się też współczynnik odbicia pola elek-
trycznego � zdefiniowany jako stosunek amplitudy fali odbitej do ampli-
tudy fali padającej w płaszczyz
nie z = 0. Jego wartość na podstawie wzoru
(5.9) jest równa
ER Z2 - Z1
�= = (5.16)
EI Z1 + Z2
Jak widać współczynniki transmisji i odbicia mocy można wyrazić przez �
22
RP = � ,TP = 1- � (5.17)
5-3
5.2. Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym
Przyjmujemy, że z lewej strony płaszczyzny z = 0 pada monochromatycz-
na fala płaska (rys. 10.2)
1
EI(r,t) = EI(r) exp[ j(kIkI �"r - �t)], HI(r,t) = kI � EI(r,t) (5.20)
Z1
W wyniku tego powstaje fala odbita, która pozostaje w ośrodku 1
1
ER (r,t) = ER (r) exp[ j(kRkR �"r - �t)], HR (r,t) = kR � ER (r,t) (5.21)
Z1
i fala przechodząca do ośrodka 2
1
ET(r,t) = ET(r) exp[ j(kTkT �"r - �t)], HT(r,t) = kT � ET(r,t) (5.22)
Z2
Rys. 5.2. Wektory falowe przy załamaniu fali płaskiej na granicy dwóch ośrodków.
Warunki brzegowe (5.6) służą do połączenia pól EI(r,t) + ER (r,t)
i HI(r,t) + HR (r,t) w ośrodku 1 z polami ET(r,t) i HT(r,t) w ośrodku 2.
Wszystkie te warunki mają ogólną strukturę
(�") exp[ j(kIkI �"r - �t)] + (�")exp[ j(kRkR �"r - �t)]
(5.23)
= (�") exp[ j(kTkT �"r - �t)]
Ponieważ warunki brzegowe muszą być spełnione we wszystkich punktach
płaszczyzny i dla wszystkich czasów, więc te wykładniki muszą być sobie
równe. Składowe czasowe są już równe.
Równość czynników przestrzennych prowadzi do wzoru
kIkI �"r = kRkR �"r = kTkT �"r dla z = 0 (5.24)
który musi być spełniony także dla wszystkich x i y w płaszczyz
nie roz-
działu.
5-4
Można przedstawić to wyrażenie w jawnej postaci, czyli wektor pozycyjny
Ć Ć
r = xx + yw
+ zę a np. kI = x(kI)x + w
(kI)y + ę(kI)z . Wyliczając osobno
dla punktów leżących na prostej x = 0 i dla punktów leżących na prostej
y = 0 (oczywiście dla z = 0) otrzymujemy
kI(kI)x = kR (kR )x = kT(kT)x (5.25a)
kI(kI)y = kR (kR )y = kT(kT)y (5.25b)
Można teraz bez straty ogólności tak wybrać osie układu współrzędnych,
żeby kI leżało w płaszczyz
nie xz. Zgodnie z (5.25b) prowadzi to do zero-
wania także y-owych składowych wektorów kR i kT. Stąd wniosek:
Pierwsze prawo: Wektory falowe fali padającej, odbitej i prze-
chodzącej leżą w tej samej płaszczyz
nie zwanej płaszczyzną pa-
dania wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną
do płaszczyzny rozdziału ośrodków.
Przyjęto określać kierunek wersorów kI, kR, kT przez kąty �I, �R, �T zwane
odpowiednio kątem padania, odbicia i załamania. Są one mierzone od
normalnej do płaszczyzny padania (tutaj oś z).
Z równania (5.25a) wynika
kI sin�I = kR sin�R = kT sin�T (5.26)
Pamiętając, że trzy liczby falowe są powiązane równaniami
v2 n1
kIv1 = kRv1 = kTv2 = � , czyli kI = kR = kT = kT (5.27)
v1 n2
otrzymujemy:
Drugie prawo  prawo odbicia: Kąt padania jest równy kątowi odbi-
cia
�I = �R (5.28)
Trzecie prawo  prawo załamania albo Snelliusa (Snella)
sin�T kI n1
= = (5.29)
sin�I kT n2
Są to trzy podstawowe prawa optyki geometrycznej.
5-5
Fala padająca spolaryzowana równolegle do płaszczyzny padania
Rozważmy przypadek fali spolaryzowanej równolegle do płaszczyzny pa-
dania (rys. 5.3)
Rys. 5.3 Fala płaska spolaryzowana równolegle do płaszczyzny padania.
Z warunków brzegowych dla składowych stycznych pól elektrycznych
(5.6a) otrzymujemy
EI cos�I + ER cos�R = ET cos�T (5.30)
a z warunków brzegowych dla składowych stycznych pól magnetycznych
(5.6b)
EI - ER ET
= (5.31)
Z1 Z2
Dla składowych normalnych tylko warunki brzegowych związane z polem
elektrycznym (5.6c) wnoszą nowe zależności
�1(-EI sin�I + ER sin�R ) = �2(-ET sin�T) (5.32)
gdyż pola magnetyczne nie mają składowych z.
Ze względu na prawa odbicia i załamania równanie (5.32) przechodzi
w (5.31) i w rezultacie otrzymujemy układ dwóch równań
cos�T
EI + ER = ET (5.33)
cos�I
Z1
EI - ER = ET (5.34)
Z2
z których wyznaczamy amplitudy fali odbitej i przechodzącej
cos�T Z1
�#ś#
-
ś#
cos�I Z2 ź# 2
ER = EI ś# , ET = EI �#ś# (5.35)
ś#
cos�T Z1 ź#
ś#ź#cos�T Z1 ź#
++
ś#ź#
ś#
cos�I Z2 ź#
�# #cos�I Z2 #
�#
5-6
Wzory te znane są jako równania Fresnela dla polaryzacji w płaszczyz
nie
padania. Dla uproszczenia zapisu można wprowadzić bezwymiarowe
wielkości
cos�T Z1
a = b = (5.36)
cos�I Z2
Wzory Fresnela przyjmują wtedy postać
a - b 2
ś# �#ś#
ER = EI �#ź#, ET = EI �# a + b # (5.37)
ś#ź#
ś#
a + b
�# #
Interesujący jest przypadek istnienia kąta padania (zwanego kątem
Brewstera) przy którym fala odbita jest całkowicie stłumiona. Zachodzi to
gdy a = b . Korzystając z tego warunku oraz prawa Snelliusa (5.29) można
uzyskać wyrażenie na tangens kąta Brewstera
n2
tg�B E" (5.38)
n1
Uwaga: okazuje się, że fale spolaryzowana prostopadle do płaszczy-
zny padania nie wykazują takiego wygaszenia składowej odbitej, więc
dowolna wiązka padająca pod kątem Brewstera prowadzi do wiązki odbi-
tej całkowicie spolaryzowanej prostopadle do płaszczyzny padania (czyli
równolegle do płaszczyzny granicznej).
Odbicie i transmisja mocy
Podobnie jak dla padania pod kątem prostym będziemy interesować
się energią odbitą i przechodzącą. Moc fali padająca na jednostkę pola
powierzchni granicznej wynosi S �" ę , inaczej mówiąc jest to wartość skła-
dowej prostopadłej do powierzchni. Stąd natężenie fali padającej (uśred-
nionej wartości wektora Poyntinga) jest równe
1 1
2
II = EI cos�I (5.39)
2 Z1
podczas gdy natężenia fali odbitej i przechodzącej wynoszą
1 1 1 1
2
IR = ER cos�R , IT = ET cos�T (5.40)
2 Z1 2 Z2
Pojawiające się funkcje cosinus wynikają z tego, że interesujemy się śred-
nią mocą na jednostkę pola powierzchni granicznej, która jest ustawiona
pod kątem do czoła fali.
5-7
Współczynniki odbicia i transmisji mocy fal spolaryzowanych równolegle
do płaszczyzny padania są odpowiednio równe
2
2
ER �# - b
IR a
ś#
RP|| a" = = (5.41)
ź#
II EI 2 ś# a + b
�# #
2
2
ET cos�T
IT Z1 2
TP|| a" = = ab�#ś# (5.42)
ś#ź#
II Z2 EI 2 cos�I �# a + b #
Suma RP|| + TP|| = 1, czego wymaga zasada zachowania energii.
Przykład. Wyznaczyć współczynniki odbicia i transmisji mocy dla pa-
dania prostopadłego za pomocą współczynników załamania ośrod-
ków. Przyjmujemy, że dla większości materiałów ź H" ź0 i dlatego
współczynnik załamania n = źr�r E" �r . Obliczyć te współczynniki
gdy światło przechodzi z powietrza (n1 = 1) do szkła (n2 = 1,5).
Impedancję właściwą ośrodka Z1 (Z2) można wyrazić za pomocą n1 (n2)
źr1ź0 Z0 źr2ź0 Z0
Z1 =H" i Z2 =H" (5.18)
�r1�0 n1 �r2�0 n2
Po podstawieniu (5.18) do wzorów (5.13) i (5.14) mamy
(n1 - n2)2 4n1 �" n2
RP = i RT = (5.19)
(n1 + n2)2 (n1 + n2)2
Podstawiając dane otrzymujemy RP = 0,04 i RT = 0,96. Oznacza to, że przy
przejściu światła z powietrza do szkła  większość światła przechodzi.
5-8
 Przykład. Uzyskać wyrażenie na tangens kąta Brewstera, czyli takiego
kąta padania, dla którego nie ma fali odbitej:
n2
tg�B E"
n1
Zachodzi to dla fal spolaryzowanych równolegle do płaszczyzny pa-
dania gdy a = b:
cos �T Z1 ź1 �2 ź1 �2 ź2 ź1 n2
= = = =
cos�I Z2 �1 ź2 ź2 �1ź1 ź2 n1
Zwykle ośrodki charakteryzuje ź1 = ź2 = ź0, wtedy
cos �T n2
=
cos�I n1
To samo można uzyskać stosując wzory (5.18) i (5.19) z przykładu
powyżej. Korzystając z tego warunku oraz prawa Snelliusa
sin �I n2
=
sin �T n1
uzyskujemy
cos �T sin �I
= i dalej cos�T sin �T = sin �I cos�I
cos�I sin �T
Ostatecznie
sin 2�T = sin 2�I
Powyższe wyrażenie jest spełnione, gdy 2�T = 2�I albo 2�T =Ą- 2�I .
Pierwszy przypadek odpowiada sytuacji gdy oba ośrodki mają równe
współczynniki załamania, drugi  wyznacza kierunek promienia załama-
nego w postaci
Ą
�T = - �I
2
Podstawiając ten wynik do prawa Snelliusa uzyskujemy wyrażenie na
tangens kąta padania, zwanego kątem Brewstera �B
sin �B sin �Bn2
= = tg �B =
Ą
n1
sin�# - �B ś# cos�B
ś#ź#
2
�# #
5-9
5.3. Całkowite wewnętrzne odbicie
Gdy fala pada z ośrodka optycznie gęstszego do rzadszego może wystąpić
zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia. Z prawa Snelliusa mamy
kT n2
sin �I = sin �T = sin �T (1)
kI n1
kI n1
sin �T = sin �I = sin �I (2)
kT n2
Stopniowo zwiększając kąta padania �I dochodzimy do sytuacji gdy kąt
załamania �T =Ą 2 . Taki kąt nazywamy kątem krytycznym, czyli
kT n2
sin �kr = = (3)
kI n1
Jeżeli �I zwiększamy powyżej wartości �kr wtedy �T stanie się urojone.
Fala załamana ma postać
Ć
ET(r,t) = ET(r)exp[j(kTkT �"r - �t)] =
(4a)
= ET(r)exp[j(kTxsin �T + kTz cos �T - �t)]
1
Ć
HT (r,t) = kT � ET (r,t) (4b)
Z2
Przy czym w ogólności rozważając polaryzację równoległą i prostopadła
do płaszczyzny padania
ET(r) = xET
os �T + yET Ą" + zET %5ń�n �T . (5)
Wiemy, że
2 2 2
kT cos�T = kT - kT sin2 �T = kT - kI2 sin2 �I (6)
gdzie skorzystaliśmy z prawa prawa Snelliusa (2).
Powyżej kąta krytycznego wyraz kT cos�T będzie urojony. Możemy więc
zapisać kT cos�T = ą jp gdzie p jest rzeczywiste i równe
2
p = kI2 sin2 �I - kT (7)
Stąd podstawiając (7) do (4a) i ponownie korzystając z (2) otrzymujemy
falę propagującą się w kierunku x i zanikającą w kierunku z
ET(r,t) = ET(r)exp(- pz)exp[ j(xkI sin �I - �t)] (8)
Jest to przykład powierzchniowej fali elektromagnetycznej tzw. zanikają-
cej (ang. evanescent wave).
5-10