Charakterystyki zmiennej losowej
Ponieważ rząd momentu jest wyznaczony przez sumę wykładników,
dwuwymiarowej
więc łatwo zauważyć, że dwa momenty rzędu pierwszego m10 i m01
są równe wartościom oczekiwanym odpowiednich rozkładów
brzegowych zmiennych X i Y , tj.
Momenty centralne
Definicja
m10 = E(X ) = mX m01 = E (Y ) = mY .
Momentem rzędu l + n względem punktów c i d dwuwymiarowej
zmiennej losowej (X , Y ) nazywamy wyrażenie: Zauważmy, że istnieją trzy momenty zwykłe rzędu drugiego.


Mianowicie:
" µln = (xi - c)l(yk - d)npik w przypadku rozkÅ‚adu
i k
2 2
m20 = E(X ), m02 = E(Y ), m11 = E (X , Y ).
dyskretnego;

" "

" µln = (xi - c)l(yk - d)nf (x, y)dxdy w przypadku
Ostatni z wymienionych momentów nazywamy momentem
-" -"
zwykłym mieszanym rzędu drugiego. Jednakże na szczególną
rozkładu ciągłego.
uwagę zasługuje mieszany moment centralny rzędu drugiego.
W przypadku, gdy c = d = 0 to moment nazywamy zwykłym i
oznaczamy symbolem mln.
Twierdzenie
Definicja
Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to
Centralny moment mieszany rzędu drugiego
cov(X , Y ) = 0.
µ11 = E[(X - m10)(Y - m01)
nazywamy kowariancją lub momentem korelacyjnym i O zmiennych losowych X i Y dla których cov(X , Y ) = 0 mówimy,
oznaczamy symbolem cov(X , Y ). że są nieskorelowane, w przeciwnym wypadku nazywamy je
skorelowanymi. Zwróćmy jednak uwagę, że powyższego twierdzenia
Można udowodnić, że
nie daje się odwrócić, tzn z tego, że zmienne są nieskorelowane, nie
Twierdzenie
wynika, że sa niezależne.
Kowariancję można wyrazić poprzez momenty zwykłe w
Warto wspomnieć o tym, że kowariancja bada istnienie zależności
następujący sposób:
liniowej pomiędzy zmiennymi losowymi X i Y . Jeżeli są one
nieskorelowane, oznacza to, że nie ma miedzy nimi zależności
µ11 = cov(X , Y ) = E (XY ) - E(X )E (Y )
liniowej w przeciwnym przypadku można wskazać taką zależność.
Pojęcie kowariancji wiaże sie bardzo blisko ze współczynnikiem
Ponadto
korelacji Pearsona. Mianowicie
Definicja
Z powyższej własności wynika, że współczynnik korelacji jest miarą
Współczynnikem korelacji Pearsona zmiennych losowych X i Y
zależności liniowej zmiennych losowych X i Y . Dlatego obliczamy
nazywamy następujacą wielkość:
go wówczas, gdy badamy stopień zależności liniowej dwóch cech.

X - EX Y - EY
GraficznÄ… reprezentacjÄ… zwiÄ…zku korelacyjnego jest Wykres
Á = E · ,
DX DY
rozrzutu (diagram korelacyjny). Na podstawie wykresu, bez
obliczeń współczynnika korelacji, w przybliżony sposób możemy
co jest równoważne
wnioskować o kierunku i sile związku korelacyjnego. Gdy punkty
cov(X , Y )
Á = .
badanej korelacji grupują się wzdłuż hipotetycznej prostej (prosta
DXDY
regresji), przyjmując kształt zbliżony do cygara, świadczy to o
Własności współczynnika korelacji: znacznej sile związku. Duża ilość punktów odstających od tej
prostej, przyjmujących łącznie kształt mniej lub bardziej regularnej
" Á " [-1, 1];
chmury, świadczy o słabości badanego związku. Gdy wraz ze
" warunek Á2 = 1 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne
wzrostem wartości cechy niezależnej następuje wzrost wartości
losowe X i Y są związane w sposób liniowy z
zmiennej niezależnej mówimy o związku wprostproporcjonalnym.
prawdopodobieństwem równym 1, tzn.
W przeciwnym wypadku mamy do czynienia z zależnością
odwrotnieproporcjonalnÄ….
P[Y = aX + b] = 1
.
Powstaje pytanie jak wyznaczyć takie krzywe regresji. Oznaczmy
Definicja
przez m1(y) = E(X |Y = y) wartość oczekiwaną zmiennej losowej
Zbiór punktów (x, y) spełniających równanie x = m1(y) nazywamy
X pod warunkiem, że zmienna losowa Y przyjmuje wartość y.
linią regresji I-go rodzaju zmiennej losowej X względem Y .
Mamy

1
Definicja
E (X |Y = yk) = xipik
p"k i
Zbiór punktów (x, y) spełniających równanie y = m2(x) nazywamy
linią regresji I-go rodzaju zmiennej losowej Y względem X .
w przypadku dwuwymiarowej zmiennej losowej (X , Y ) typu
Linie regresji I-go rodzaju mają następującą własność:
dyskretnego oraz

"
Twierdzenie
1
E (X |Y = y) = xf (x, y)dx
Åšrednie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od pewnej
f2(y) -"
funkcji g(X ) zmiennej losowej X jest najmniejsze, gdy funkcja ta z
dla zmiennej losowej (X , Y ) typu ciągłego. Analogicznie określamy
prawdopodobieństwem 1 jest równa m2(X ), tzn
warunkowe wartości oczekiwane zmiennej Y przy warunku, że
X = x:
E(Y - m2(X ))2 = min E (Y - g(X ))2.
g

1
m2(x) = E(Y |X = xk) = ykpik, (rozkład dyskretny)
Analogicznie
pi" k

"
1
E(X - m1(Y ))2 = min E (X - h(Y ))2.
m2(x) = E (Y |X = x) = yf (x, y)dx (rozkład ciągły)
h
f1(x) -"
Definicja względem zmiennej Y jest postaci:
Prostą regresji drugiego rodzaju zmiennej losowej Y względem
DX
zmiennej X nazywamy prostÄ… o równaniu y = ax + b, której x - E (X ) = Á (y - EY ).
DY
współczynnki a i b są tak dobrane, aby średnie odchylenie
kwadratowe zmiennej losowej Y od zmiennej losowej aX + b było Metodę wyznaczania prostych regresji II-go rodzaju nazywamy
najmniejsze. metodą najmniejszych kwadratów.
Równanie prostej regresji II-go rodzaju zmiennej losowej Y
względem zmiennej X jest postaci:
DY
y - E (Y ) = Á (x - EX ).
DX
Podobnie mamy
Definicja
Prostą regresji drugiego rodzaju zmiennej losowej X względem
zmiennejY nazywamy prostÄ… o równaniu x = Ä…y + ², której
współczynnki Ä… i ² sÄ… tak dobrane, aby Å›rednie odchylenie
kwadratowe zmiennej losowej Y od zmiennej losowej aY + b było
najmniejsze.
Równanie prostej regresji II-go rodzaju zmiennej losowej X