8 Potęgowanie
8.1. Wykazać, że jeżeli Õ(n) jest liczbÄ… nieparzystÄ…, to Õ(n) = 1. (1)
8.2. Znalez
ć wszystkie liczby naturalne n, dla których Õ(n) 5. (1)
8.3. Znalez
ć wszystkie podgrupy cykliczne grupy
(a) (ZÄ„" , ·13), (1)
13
(b) (ZÄ„" , ·24). (1)
24
8.4. Wyznaczyć rzÄ…d elementu 2 w grupie (Z1237, ·1237). (2)
8.5. Obliczyć 3875 MOD 103. (1)
1 2 l
8.6. Niech a, m " N, aÄ„"m, i niech m = pk · pk · . . . · pk bÄ™dzie rozkÅ‚adem liczby m
1 2 l
na czynniki pierwsze. Oznaczmy przez qi najmniejszą liczbę naturalną, dla której
i i
aq a" 1 (mod pk ), i = 1, 2, . . . , l
i
oraz niech q = NWW(q1, . . . , ql). Wykazać, że
(a) aq a" 1 (mod m), (1)
(b) q Õ(m), (1)
(c) Czy istniejÄ… takie liczby a, m, że q = Õ(m)? (1)
8.7. Wykazać, że a12 a" 1 (mod 105) dla każdej liczby aĄ"105. (2)
8.8. Znalez
ć 21000000 MOD 77. (1)