Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
w R3
w R3
1
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Definicja
PowierzchniÄ… obrotowÄ… nazywamy
powierzchnię utworzoną przez obrót krzywej
wokół prostej zwanej osią obrotu.
2
1
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
z
r(t)
y
x
3
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Niech
x = f1(t)
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚y = f2(t) , t" [t0, t1] bÄ™dzie przedstawieniem parametrycznym krzywej w R3
L :
ôÅ‚z = f3(t)
ół
Jeśli za oś obrotu przyjmiemy oś Oz to każdy punkt krzywej L zakreśla okrąg
o promieniu r(t) = f12(t) + f22(t) , którego równanie możemy napisać w postaci:
x = r(t)cosÄ…
Å„Å‚
ôÅ‚
y = r(t)sin Ä… Ä… "[0, 2Ä„ )
òÅ‚
ôÅ‚z = f3(t)
ół
Stąd układ równań
Å„Å‚
x2 + y2 = f12(t) + f22(t)
òÅ‚
ółz = f3(t)
definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej L wokół osi Oz
4
2
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Paraboloida obrotowa
Paraboloida obrotowa
MiNI PW
z
y
x
5
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Przykład
Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu paraboli
Å„Å‚
z = y2
òÅ‚
L: dookoła osi OZ.
ółx = 0,
Å„Å‚x = 0
ôÅ‚y = t t " R
òÅ‚
Postać parametryczna równań paraboli K:
ôÅ‚z = t2
ół
PodstawiajÄ…c do wzoru otrzymujemy
2
Å„Å‚
ôÅ‚x + y2 = 02 + t2 t " R
òÅ‚
ôÅ‚
ółz = t2
Eliminując z układu t dostajemy równanie paraboloidy obrotowej
z = x2 + y2
6
3
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Å„Å‚
y2 = 2 pz,
Obracając dookoła osi OZ parabolę:
òÅ‚
x = 0
ół
otrzymamy równanie powierzchni stopnia drugiego:
x2 + y2 = 2 pz
- paraboloidÄ™ obrotowÄ…
7
Paraboloida eliptyczna
Paraboloida eliptyczna
MiNI PW
Uogólnieniem tej powierzchni jest
x2 y2
+ = 2 pz
paraboloida eliptyczna o równaniu:
a2 b2
8
4
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Paraboloida eliptyczna
MiNI PW
Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami prostopadłymi do osi
Oz sÄ… elipsami.
Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami zawierającymi oś Oz
sÄ… parabolami.
Szczególnym przypadkiem paraboloidy eliptycznej jest paraboloida
obrotowa, powstała przez obrót paraboli wokół osi symetrii.
9
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Układ równań
Å„Å‚
x2 + z2 = f12(t) + f32(t)
òÅ‚
óły = f2(t)
definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej L wokół osi Oy.
Natomiast układ równań
Å„Å‚
y2 + z2 = f22(t) + f32(t)
òÅ‚
ółx = f1(t)
definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej L wokół osi Ox.
10
5
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu
elipsy dookoła osi OZ.
y2 z2
Z równania elipsy + = 1
b2 c2
zastępując y2 sumą x2+ y2 otrzymujemy:
równanie elipsoidy obrotowej:
x2 y2 z2
+ + = 1
b2 b2 c2
11
Elipsoida
Elipsoida
MiNI PW
Ogólne równanie elipsoidy ma postać: x2 y2 z2
+ + = 1
a2 b2 c2
z
y
x
12
6
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Elipsoida
MiNI PW
Elipsoida
x2 y2 z2
+ + = 1
a2 b2 c2
13
Elipsoida
Elipsoida
MiNI PW
Wszystkie przekroje płaskie elipsoidy są elipsami.
Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa,
powstała przez obrót elipsy wokół jednej z osi symetrii:
 jeśli a = b to obrotowa o osi obrotu Oz,
 jeśli a = c to obrotowa o osi obrotu Oy,
 jeśli b = c to obrotowa o osi obrotu Ox.
Równanie elipsoidy o środku w punkcie (x0, y0, z0), osiach
równoległych do osi układu i półosiach długości a, b, c ma
postać:
(x - x0)2 ( y - y0)2 (z - z0)2
+ + = 1
a2 b2 c2
14
7
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Uwaga
Dla a = b = c, otrzymujemy równanie sfery.
15
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Å„Å‚
y2 z2
ôÅ‚
- = 1,
ObracajÄ…c dookoÅ‚a osi OZ hiperbolÄ™ “:
òÅ‚
b2 c2
ôÅ‚
x = 0,
ół
otrzymamy równanie powierzchni stopnia drugiego:
x2 + y2 z2
- = 1
b2 c2
Hiperboloidę jednopowłokową
obrotowÄ…
16
8
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
MiNI PW
Ogólne równanie
hiperboloidy
jednopowłokowej
ma postać:
x2 y2 z2
+ - = 1
a2 b2 c2
17
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Å„Å‚
y2 z2
ObracajÄ…c tÄ™ samÄ… hiperbolÄ™ “: ôÅ‚ b2 - c2 = 1, dookoÅ‚a osi OX,
òÅ‚
otrzymamy równanie:
ôÅ‚
x = 0
ół
y2 x2 + z2
- = 1
b2 c2
Hiperboloidy
dwupowłokowej
obrotowej
18
9
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Hiperboloida dwupowłokowa
Hiperboloida dwupowłokowa
MiNI PW
Ogólne równanie
ma postać:
x2 y2 z2
+ - = -1
a2 b2 c2
czyli równoważnie:
x2 y2 z2
- - + = 1
a2 b2 c2
z2 x2 y2
- - = 1
c2 a2 b2
19
Stożek
Stożek
MiNI PW
ObracajÄ…c prostÄ… przecinajÄ…cÄ… oÅ› OZ otrzymamy
stożek obrotowy.
x2 + y2 z2
=
b2 c2
Równanie
x2 y2 z2
+ =
a2 b2 c2
jest równaniem stożka eliptycznego.
20
10
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Obracając prostą równoległą do osi OZ otrzymamy
walec obrotowy:
x2 y2
+ = 1
z
a2 a2
Walec eliptyczny
ma równanie:
y
x2 y2
x
+ =1
a2 b2
ALGEBRA
21
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
MiNI PW
Walec hiperboliczny
x2 y2
- = 1
a2 b2 ;
z
y
O
x
ALGEBRA
22
11
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
MiNI PW
Walec paraboliczny
x2 = 2py
z
O
x
y
ALGEBRA
23
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Obracając prostą równoległą do osi OZ otrzymaliśmy walec.
Obracając prostą przecinającą oś OZ otrzymaliśmy stożek.
A co uzyskamy obracajÄ…c
prostą skośną do osi OZ ?
Hiperboloidę jednopowłokową
24
12
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
Przykład
Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu prostej
x = t
Å„Å‚
ôÅ‚y = 1 t " R
òÅ‚
ôÅ‚z = t dookoÅ‚a osi OZ.
ół
PodstawiajÄ…c do wzoru otrzymujemy
Å„Å‚
x2 + y2 = t2 +12
t " R
òÅ‚
ółz = t
Eliminując z układu t dostajemy równanie obrotowej hiperboloidy
jednopowłokowej
x2 + y2 - z2 = 1
Identyczne równanie otrzymamy z obrotu prostej
x = 1
Å„Å‚
ôÅ‚y = t t " R Zauważmy, że obie proste przechodzÄ… przez
òÅ‚ punkt (1,1,1) należący do hiperboloidy.
ôÅ‚z = t
ół
25
Powierzchnie prostokreślne
MiNI PW
x2 y2 z2
+ - = 1
Hiperboloida jednopowłokowa
a2 b2 c2
(Wikipedia)
26
13
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie prostokreślne
Powierzchnie prostokreślne
MiNI PW
UWAGA:
Płaszczyzny walcowe i stożkowe są powierzchniami prostokreślnymi.
Definicja
Powierzchnia prostokreślna to powierzchnia, przez której każdy punkt
przechodzi prosta całkowicie zawarta w tej powierzchni.
Powierzchniami prostokreślnymi są:
powierzchnie walcowe
stożek i inne powierzchnie stożkowe
płaszczyzna (jest zarówno powierzchnią walcową jak i stożkową)
hiperboloida jednopowłokowa
paraboloida hiperboliczna (powierzchnia siodłowa)
a także
helikoida
Powierzchnia jest podwójnie prostokreślna, gdy przez każdy jej punkt
przechodzą dwie różne proste.
Jedynymi powierzchniami podwójnie prostokreślnymi są płaszczyzna,
hiperboloida jednopowłokowa i paraboloida hiperboliczna.
27
Powierzchnie prostokreślne
MiNI PW
Paraboloida hiperboliczna (powierzchnia siodłowa)
x2 y2
z = -
a2 b2
przekroje płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz są hiperbolami
(z wyjątkiem płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych
 wówczas częścią wspólną są dwie proste przecinające się):
x y x y
- = 0, + = 0
a b a b
przekroje płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy są parabolami,
np.
y2
x2
z = przy x = 0
z = przy y = 0
b2
a2
28
14
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie prostokreślne
MiNI PW
Paraboloida hiperboliczna (powierzchnia siodłowa)
Przez każdy punkt powierzchni przechodzą dwie proste
nazywane tworzÄ…cymi.
x2 y2 x y x y
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
- = z + = z
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ - ÷Å‚
Równanie .
a2 b2 zapiszmy w postaci a b a b
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Å„Å‚ x y
Å„Å‚ x y ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Å‚ + = ´
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚Ä… ìÅ‚ a + b ÷Å‚ = ² z
ôÅ‚
ôÅ‚ a b
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
òÅ‚
òÅ‚
Mamy więc albo albo
x y
ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚´ ëÅ‚ x - y öÅ‚ = Å‚ z
² - ÷Å‚ Ä…
=
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
a b a b
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ół ół
2 2
przy zaÅ‚ożeniu Ä… + ² `" 0
Są to równania krawędziowe 2 prostych tworzących
powierzchniÄ™ paraboloidy hiperbolicznej i przecinajÄ…cych siÄ™.
29
Powierzchnie prostokreślne
MiNI PW
Hiperboliczna jednopowłokowa
Przez każdy punkt powierzchni przechodzą dwie proste
nazywane tworzÄ…cymi.
x2 y2 z2 x2 z2 y2
+ - = 1 zapiszmy w postaci - = 1-
Równanie
a2 b2 c2 a2 c2 b2
a następnie w postaci iloczynowej
x z x z y
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1+ öÅ‚ëÅ‚1- y
öÅ‚
+ =
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
.
a c a c b b
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Å„Å‚ x z y Å„Å‚ x z
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1+ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1- y
öÅ‚
ôÅ‚Ä… ìÅ‚ a + c ÷Å‚ = ² ìÅ‚ b ÷Å‚ ôÅ‚Å‚ ìÅ‚ a + c ÷Å‚ = ´ ìÅ‚ b ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
òÅ‚ òÅ‚
Mamy więc oraz
ôÅ‚² ëÅ‚ x + z öÅ‚ = Ä… ëÅ‚1- y öÅ‚ ôÅ‚´ ëÅ‚ x + z öÅ‚ = Å‚ ëÅ‚1+ y öÅ‚.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
a c b a c b
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ół ół
Są to równania krawędziowe 2 prostych tworzących
powierzchniÄ™ paraboloidy hiperbolicznej i przecinajÄ…cych siÄ™.
30
15
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie prostokreślne
MiNI PW
Helikoida
Helikoida to powierzchnia, którą tworzy krzywa obracająca się wokół
prostej ze stałą prędkością kątową i jednocześnie przesuwająca się
równolegle do tej prostej ze stałą prędkością liniową.
Przykładami wykorzystania helikoidy mogą być:
" wałek maszynki do mięsa
" powierzchnia wiertła
" powierzchnia śruby
" spiralna klatka schodowa
31
Powierzchnie walcowe i stożkowe
Powierzchnie walcowe i stożkowe
MiNI PW
UZUPEA
NIENIE i ROZSZERZENIE
Ogólna postać powierzchni walcowych
i stożkowych w przestrzeni R3.
ALGEBRA
32
16
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie walcowe i stożkowe
Powierzchnie walcowe i stożkowe
MiNI PW
Niech L będzie pewną krzywą płaską (leżącą na
pewnej płaszczyz
nie) w przestrzeni R3.
Definicja
PowierzchniÄ… walcowÄ… nazywamy powierzchniÄ™
utworzoną przez rodzinę prostych równoległych do
danej prostej i przechodzÄ…cych przez punkty
krzywej L.
KrzywÄ… L nazywamy kierownicÄ….
Każdą prostą tej rodziny tworzącą powierzchni
walcowej.
ALGEBRA
33
Powierzchnie walcowe i stożkowe
Powierzchnie walcowe i stożkowe
MiNI PW
Niech L będzie pewną krzywą płaską (leżącą na pewnej
płaszczyz
nie) w przestrzeni R3, zaÅ› W ustalonym punktem tej
przestrzeni (W "L).
Definicja
Powierzchnią stożkową nazywamy zbiór punktów
współliniowych z punktami W i P, gdzie P należy do
krzywej L (tzn. powierzchniÄ™ utworzonÄ… przez rodzinÄ™
prostych przechodzÄ…cych przez punkt W
i punkty krzywej L).
KrzywÄ… L nazywamy kierownicÄ….
Punkt W nazywamy wierzchołkiem stożka.
Każdą prostą tej rodziny tworzącą powierzchni stożkowej.
ALGEBRA
34
17
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
MiNI PW
Jeżeli krzywa L leżąca w pewnej płaszczyz
nie ma przedstawienie parametryczne
x = f1(t)
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚y = f2(t) , t" [t0, t1]
L :
ôÅ‚
z = f3(t)
ół
zaś prosta l jest równoległa do wektora
r
v = [vx,vy,vz]
,
to równanie powierzchni walcowej ma postać
x - f1(t) y - f2(t) z - f3(t)
= = gdzie t "[t0,t1]
vx vy vz
ALGEBRA
35
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
MiNI PW
Równanie powierzchni walcowej w postaci parametrycznej
Å„Å‚x = f1(t) + vx s
ôÅ‚
y = f2(t) + vy s t "[t0, t1] , s " R
òÅ‚
ôÅ‚z = f3(t) + vz s
ół
tworzÄ…ca
[vx, vy, vz]
kierownica K
ALGEBRA
36
18
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie stożkowe
Powierzchnie stożkowe
MiNI PW
Jeżeli krzywa L ma przedstawienie parametryczne
x = f1(t)
Å„Å‚
ôÅ‚y = f2(t)
òÅ‚
L : , t" [t0, t1]
ôÅ‚
z = f3(t)
ół
i W(xw, yw, zw) jest ustalonym punktem przestrzeni,
to równanie powierzchni stożkowej ma postać
x - xw y - yw z - zw
= = gdzie t "[t0, t1]
xw - f1(t) yw - f2(t) zw - f3(t)
ALGEBRA
37
Powierzchnie stożkowe
Powierzchnie stożkowe
MiNI PW
Równanie powierzchni stożkowej w postaci parametrycznej
x = x0 + (x0 - f1(t)) s
Å„Å‚
ôÅ‚
y = y0 + ( y0 - f2(t)) s t "[t0, t1] , s " R
òÅ‚
ôÅ‚z = z0 + (z0 - f3(t)) s
ół
wierzchołek W
[x0 - f1(t), y0 - f2(t), z0 - f3(t)]
tworzÄ…ca
kierownica K
ALGEBRA
38
19
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Stożek
Stożek
MiNI PW
Przekroje stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz są elipsami
(z wyjątkiem płaszczyzny przechodzącej przez początek układu
współrzędnych  wówczas częścią wspólną jest punkt).
Przekroje stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy są
hiperbolami, a gdy zawierają oś Oz parą prostych, będących tworzącymi
stożka.
Przekroje stożka płaszczyznami równoległymi do tworzącej są
parabolami.
Podane równanie (oraz rysunek) prezentuje powierzchnię otwartą wzdłuż
osi Oz.
Aby uzyskać równanie stożka otwartego wzdłuż innej osi należy
odpowiednio zmodyfikować równanie. Zmienna przeniesiona na drugą
stronę równania, dla zachowania tego samego znaku współczynników,
wskazuje oś wzdłuż której stożek jest otwarty.
Przykładowo - stożek otwarty wzdłuż osi Ox ma równanie:
y2 z2 x2
+ =
b2 c2 a2
ALGEBRA
39
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
Definicja (bardzo ogólna)
Powierzchnią stopnia drugiego (kwadryką) nazywamy zbiór punktów
przestrzeni trójwymiarowej, spełniających równanie
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
gdzie A, B, & , K są stałymi i przynajmniej jedna ze stałych
A, B, C, D, E, F jest różna od zera.
Równanie to nazywamy ogólnym równaniem powierzchni drugiego
stopnia.
Można wykazać, że istnieje takie przekształcenie płaszczyzny (złożenie
obrotu i przesunięcia) w wyniku którego otrzymamy tzw. postać kanoniczną
równania powierzchni:
~ ~ ~ ~
Ax2 + By2 + Cz2 + K = 0
lub
~ ~ ~ ~
Ax2 + By2 + Cz + K = 0
ALGEBRA
40
20
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
Spośród 17 różnych powierzchni stopnia drugiego, 9 to kwadryki właściwe.
Pozostałe to kwadryki zdegenerowane (niewłaściwe).
Kwadryki właściwe to:
- elipsoida (w tym sfera),
- hiperboloida jednopowłokowa,
- hiperboloida dwupowłokowa,
- stożek,
- paraboloida eliptyczna,
- paraboloida hiperboliczna,
- walec eliptyczny,
- walec hiperboliczny,
- walec paraboliczny,
ALGEBRA
41
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
Przykłady kwadryk niewłaściwych:
- Równanie x2 + y2 + z2 = 0 przedstawia punkt O(0,0,0),
- Równanie x2 + y2 +z2 = -1 przedstawia zbiór pusty,
- Równanie x2 + y2 = 0 przedstawia prostą (oś Oz),
- Równanie x2 - y2 = 0 przedstawia sumę dwóch płaszczyzn
o równaniach: x - y = 0 i x + y=0.
ALGEBRA
42
21
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
Zmienna przed którą stoi znak minus wskazuje oś wzdłuż której
hiperboloida jest  otwarta (oÅ› symetrii dla hiperboloidy obrotowej).
ALGEBRA
43
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
Hiperboloida dwupowłokowa
z2 x2 y2
- - = 1
c2 a2 b2
ALGEBRA
44
22
Algebra z geometriÄ… 2013-01-12
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz są
elipsami.
Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy
sÄ… hiperbolami.
Szczególnym przypadkiem hiperboloidy dwupowłokowej jest
hiperboloida obrotowa, powstała przez obrót hiperboli wokół osi
rzeczywistej.
ALGEBRA
45
23