Zasady statyki:
1. Zasada pierwsza (równoległoboku)  dowolne dwie siły przyłożone do
jednego punktu możemy zastąpić siłą wypadkową przyłożoną do tego
punktu, która jest wypadkową równoległoboku zbudowanego na wektorach
tych sił.
Gdy Ć=0 otrzymujemy R =ð P1 +ð P2
Gdy Ć=180 otrzymujemy R =ð P1 -ð P2
2. Zasada druga  dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się gdy
działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same
wartości liczbowe.
3. Zasada trzecia  działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie
ulegnie zmianie, gdy do układu tego dodamy lub odejmiemy dowolny układ
równoważących się sił, czyli tzw. Układ zerowy.
4. Zasada czwarta  (zesztywnienia) - równowaga sił działających na ciało
odkształcalne nie zostanie naruszona przez jego zesztywnienie.
5. Zasada piąta (działanie i przeciwdziałania)  każdemu działaniu towarzyszy
równe co do wartości i przeciwnie skierowane (wzdłuż tej samej prostej)
przeciwdziałanie.
[trzecie prawo Newtona dla ciała materialnego  a nie punktu]
6. Zasada szósta (oswobodzenia od więzów)  każde ciało można myślowo
oswobodzić od więzów zastępując te więzy reakcjami a dalej ciało można
rozpatrywać jako swobodne.
Warunek równowagi płaskiego układu sił zbieżnych. Równania równowagi.
aby układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyz
nie znajdował się w równowadze, wielobok utworzony
ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty.
i=ðn
rð
=ð 0
åðPi
i=ð1
aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyz
nie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu
współrzędnych muszą być równe zeru, stąd otrzymujemy równania równowagi:
i=ðn i=ðn
Pix =ð 0 , Piy =ð 0 .
åð åð
i=ð1 i=ð1
Warunek równowagi dowolnego płaskiego układu sił. Równania równowagi.
Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są równe
zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu O płaszczyzny działania sił jest równy zeru, skąd
otrzymujemy równania równowagi:
i=ðn i=ðn i=ðn
rð
Pix =ð 0 , Piy =ð 0 , =ð 0 .
åð åð åðMi0
i=ð1 i=ð1 i=ð1
Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów A i B jest równy zeru oraz rzut sił na oś nieprostopadłą
do odcinka AB łączącego te punkty jest równy zeru, to płaski układ sił jest w równowadze
i=ðn i=ðn i=ðn
rð rð
Pix =ð 0 , =ð 0 , =ð 0
åð åðMiA åðMiB
i=ð1 i=ð1 i=ð1
Dla równowagi płaskiego układu sił sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów nie leżących na
jednej prostej muszą być równe zeru
i=ðn i=ðn i=ðn
rð rð rð
=ð 0 , =ð 0 , =ð 0
åðMiA åðMiB åðMiC
i=ð1 i=ð1 i=ð1
Warunek równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych. Równania równowagi.
Przestrzenny układ sił zbieżnych zastąpić można jedną siłą wypadkową, równą sumie geometrycznej tych sił.
Siły te będą bowiem równoważyły się tylko wtedy, gdy wypadkowa ich będzie równa zeru, czyli gdy:
i=ðn
rð
=ð 0 , czyli siÅ‚y muszÄ… tworzyć zamkniÄ™ty wielobok.
åðPi
i=ð1
Gdy wypadkowa R układu sił zbieżnych ma być równa zeru jej rzuty na osie układu współrzędnych
muszą również być równe zeru. Stąd otrzymujemy następujące trzy równania równowagi:
i=ðn i=ðn i=ðn
Pix =ð 0 , Piy =ð 0 , Piz =ð 0
åð åð åð
i=ð1 i=ð1 i=ð1
Warunek równowagi dowolnego przestrzennego układu sił. Równania równowagi.
W ogólnym przypadku sił działających na ciało sztywne równowaga możliwa jest tylko wtedy, gdy
suma geometryczna tych sił równa jest zeru oraz gdy suma geometryczna ich momentów względem dowolnego
punktu O jest także równa 0.
Dwa wektorowe warunki równowagi:
i=ðn i=ðn
rð rð
=ð 0 , =ð 0 ,
åðPi åðMi0
i=ð1 i=ð1
rð rð
Stwierdzające że zarówno wektor główny R jak i moment główny M0 muszą równać się zeru. Gdy
rð rð rð rð
bowiem R =0 a M0 `"0 układ jest równoważny parze sił, gdy zaś R `"0 a M0 =0 układ równoważny jest jednej
sile.
Z powyższych wektorowych warunków równowagi możemy otrzymać odpowiadające im równania
równowagi:
i=ðn i=ðn
Pix =ð 0 , =ð 0,
åð åðMix
i=ð1 i=ð1
i=ðn i=ðn
Piy =ð 0 , =ð 0
åð åðM iy
i=ð1 i=ð1
i=ðn i=ðn
Piz =ð 0 , =ð 0 ,
åð åðM iz
i=ð1 i=ð1
Iloczyn skalarny  Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy skalar równy
iloczynowi wartości bezwzględnych tych wektorów i cosinusa kąta między nimi. Iloczyn
rð rð
rð rð
skalarny wektorów a i b oznaczamy symbolem a ×ðb , czyli
rð rð
rð rð
a ×ðb =| a ||b |cosĆ=abcosĆ
Gdzie Ć jest kątem między obu wektorami.
Interpretacja
Wyrażenie acosĆ możemy traktować jako miarę rzutu wektora
rð
rð
a na kierunek wektora b i wobec tego:
rð
rð
a ×ð b =ð a cosjð ×ð b =ð b cosjð ×ð a
Własności
-Z określenia iloczynu skalarnego wynika, że:
rð rð
rð rð
a ×ðb = b ×ð a ,
Co oznacza że mnożenie skalarne dwóch wektorów podlega prawu przemienności, podobnie
jak mnożenie skalarów.
-Mnożenie skalarne wektorów podlega prawu rozdzielności:
rð rð rð
rð rð rð
m( ×ðb )=(m a )*b = a *( mb );
rða rð
rð rð
-Dwa niezerowe wektory a oraz b sÄ… prostopadÅ‚e wtedy i tylko wtedy, gdy a ×ðb =ð 0 .
rð
rð
Iloczyn wektorowy  Iloczynem wektorowym dwóch wektorów a i b nazywamy wektor
rð
d o następujących własnościach:
rð
1. Wartość bezwzględna wektora d równa jest polu równoległoboku zbudowanego na
rð
rð
wektorach a i b w sposób przedstawiony na rysunku:
rð rð
rð
2. Wektor d jest prostopadły do wektorów a i b , czyli tym samym do płaszczyzny
równoległoboku zbudowanego na tych wektorach
rð
3. Kierunek wektora d jest tak obrany, że dla obserwatora patrzącego z jego końca obrót
rð
rð
pierwszego wektora tj. w danym przypadku wektora a do pokrycia siÄ™ wektorem b ,
o kąt mniejszy od półpełnego odbywa się w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu
wskazówek zegara.
4. W przypadku zmiany kolejności czynników w iloczynie wektorowym otrzymujemy
wektor o tej samej wartości bezwzględnej ale o przeciwnym kierunku. Mamy więc:
rð rð
rð rð
a ´ð b =ð -ð(b ´ð a)
rð
rð
5. Gdy wektory a i b są do siebie równoległe wówczas sinĆ=0. Iloczyn wektorowy jest
w tym przypadku równy 0.
6. Mnożenie iloczyny wektorowego przez skalar:
rð rð rð
rð rð rð
m(a ´ð b) =ð (ma) ´ð b =ð a ´ð (mb) , gdzie m oznacza dowolny skalar.
rð rð
rð i=ðn i=ðn rð
7. Iloczyn wektorowy podlega prawu rozdzielnoÅ›ci a ´ð bi =ð (a ´ð bi )
åð åð
i=ð1 i=ð1
rð rð
rð
Iloczyn wektorowy oznaczamy w nastÄ™pujÄ…cy sposób: d =ð a ´ð b
rð
Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego wartość bezwzględna wektora d wynosi d=absinĆ
rð
rð
gdzie Ć oznacza kąt między wektorami a i b , przy czym 0d"Ćd"Ą
rð
rð rð
Iloczyn mieszany  iloczyn skalarny wektora a ´ð b i wektora c . Zgodnie z tym okreÅ›leniem
rð
rð rð
iloczyn mieszany, który jest skalarem możemy zapisać w nastÄ™pujÄ…cy sposób: (a ´ðb)×ðc
Iloczyn mieszany równy jest wartości wyznacznika, którego wiersze stanowią składowe
mnożonych przez siebie wektorów.
ax ay az
rð
rð rð
(a ´ð b) ×ð c =ð cx (aybz -ð azby ) +ð cy (azbx -ð axbz ) +ð cz (axby -ð aybx ) =ð bx by bz
cx cy cz
Interpretacja:
sð rð
rð
d =ð| a ´ðb |=ð absinjð1 =ð F -pole równolegÅ‚oboku
rð sð
rð rð rð
| (a ´ðb)×ðc |=ð| d ×ðc |=ð dc | cosjð2 |=ð Fc | cosjð2 |=ð Fh =ð V
rð
rð rð
Czyli (a ´ð b) ×ð c =ð Ä…ðV -  + dla trójki prawoskrÄ™tnej
rð
rð rð
Podwójny iloczyn wektorowy  iloczyn wektorowy wektora c oraz wektora a ´ð b ,
rð
rð rð
oznaczany w nastÄ™pujÄ…cy sposób: c ´ð (a ´ðb)
rð rð rð
rð rð rð rð rð
c ´ð (a ´ð b) =ð a(b ×ð c) -ð b(a ×ð c)