Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 1

1. Podstawowe pojęcia
z1(t) z2(t) zl(t)
z(t)
. . .
u1(t) y1(t)

u2(t) y2(t)
y(t)
u(t)
. .

. Obiekt . Obiekt
. .
um(t) yn(t)

(a) (b)
Rys. 1
�ł łł �ł łł �ł łł
u1 z1 y1
�ł śł �ł śł �ł śł
u2 z2 y2
�ł śł �ł śł �ł śł
u = , z = , y = (1)
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . . . . . . . .
um zl yn
na ogół m = l = n; gdy m = l = n = 1, to układ jednowymiarowy

gdy m = 1 lub l = 1 lub n = 1  układ wielowymiarowy

2. Otwarty i zamknięty układ sterowania
z1 z2
Urządzenie u y
Obiekt
sterujące
Rys. 2 Układ otwarty
z
Urządzenie u y
Obiekt
sterujące
Rys. 3 Układ zamknięty

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 2

3. Opis układu typu wejście-wyjście
dny(t) dn-1y(t) dy(t)
an + an-1 + � � � + a1 + a0y(t) = (2)
dtn dtn-1 dt
dmu(t) dm-1u(t) du(t)
= bm + bm-1 + � � � + b1 + b0u(t)
dtm dtm-1 dt
any(n)(t) + an-1y(n-1)(t) + � � � + a1Ź(t) + a0y(t) = (3)
= bmu(m)(t) + bm-1u(m-1)(t) + � � � + b1u(t) + b0u(t)
Ł
m n; warunki początkowe:
y(i)(0), i = 0, 1, . . . n - 1
u(j)(0), j = 0, 1, . . . m - 1
u(t) Układ y(t)
dynamiczny
Rys. 4
4. Transmitancja operatorowa
" "
U(s) = L[u(t)] = u(t)e-stdt, Y (s) = L[y(t)] = y(t)e-stdt
0 0
Przypomnijmy, że:
n-1

L[f(n)(t)] = snF (s) - sn-k-1f(k)(0+)
k=0
df(k)(t)
przy czym f(k)(0+) = lim
t0+ dtk

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 3

any(n)(t) + an-1y(n-1)(t) + � � � + a1Ź(t) + a0y(t) =
= bmu(m)(t) + bm-1u(m-1)(t) + � � � + b1u(t) + b0u(t)
Ł
ansnY (s) + an-1sn-1Y (s) + � � � + a1sY (s) + a0Y (s) = (4)
= bmsmU(s) + bm-1sm-1U(s) + � � � + b1sU(s) + b0U(s)
Y (s)(ansn + an-1sn-1 + � � � + a1s + a0) =
= U(s)(bmsm + bm-1sm-1 + � � � + b1s + b0)
m

bjsj
j=0
Y (s) = U(s)
n

aisi
i=0
m

bjsj
Y (s)
j=0
G(s) = (5)
n

U(s)
aisi
i=0
przy czym
y(i)(0+) = 0, i = 0, 1, . . . n - 1 u(j)(0+) = 0, j = 0, 1, . . . m - 1

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 4

Przykład
R1
L
u2(t)
u1(t)
R2
Rys. 5
ńł
di(t)
�ł
u1(t) = R1i(t) + L + R2i(t)
dt
ół
u2(t) = R2i(t)
Eliminujemy i(t):
L du2(t) R1
+ u2(t) + u2(t) = u1(t)
R2 dt R2

L R1
u2(t) + 1 + u2(t) = u1(t)
Ł
R2 R2

L R1
s + 1 + U2(s) = U1(s)
R2 R2
R2
U2(s) 1 R2
R1+R2
G(s) = = = =
L R1 L
U1(s) sL + R1 + R2
sR2 + 1 + sR1+R2 + 1
R2
R2 L k
k = , T = G(s) =
R1 + R2 R1 + R2 1 + sT
(element inercyjny 1-go rzędu)

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 5

5. Odpowiedz
skokowa
ńł
ńł
�ł1 dla t > 0
�ł
�ł �ł1 dla t 0
1
(t) = lub uproszcz. (t) = (6)
�ł2 dla t = 0 ół0 dla t < 0
�ł
ół0 dla t < 0
1(t) 1(t)
1 1
lub
0,5
0 0
t t
Rys. 6
1
L[ (t)] =
s
u(t) y(t)

G(s)
Rys. 7
U(s) = L[u(t)], Y (s) = L[y(t)]
Y (s)
Y (s) = G(s)U(s) ponieważ G(s) =
U(s)

1 G(s)
u(t) = (t) H(s) = G(s) h(t) = L-1
s s

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 6

k
Przykład G(s) =
1 + sT

k 1 k 1 k 1
h(t) = L-1 = L-1 = lim est+
1 1
s0
1 + sT s T s(s + ) T s +
T T


1 k t t
T T
+ lim est = T - T e- (t) = k 1 - e- (t)
s-1/T s T
h(t)
k
t
T
0
Rys. 8
6. Odpowiedz
impulsowa
ńł
"
�ł0 dla t = 0

�(t) = �(t)dt = 1 (7)
ół" dla t = 0
-"
lub inaczej:
ńł
�ł1/�
dla t " (-�/2, �/2)
�ł
�ł
�(t) = (8)
�ł1/(2�) dla t = ą�/2
�ł
ół0
dla |t| > �/2
(t)
1/
1/(2 )
0
t

Rys. 9

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 7

u(t) y(t)

G(s)
Rys. 10
Y (s) = G(s)U(s) = G(s) � 1 L[�(t)] = 1
g(t) = y(t) = L-1[G(s)]
k
Przykład G(s) =
1 + sT

k k 1 k t
T
g(t) = L-1 = L-1 = e- (t)
1
1 + sT T s + T
T
g(t)
k/T
t
T
0
Rys. 11
7. Związek między h(t) i g(t)
t
d
h(t) = g(�)d�, g(t) = h(t) (9)
dt
0
8. Całka splotowa
Y (s) = G(s)U(s)
t t
y(t) = u(�)g(t - �)d� = u(t - �)g(�)d� (10)
0 0

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 8

Przykład (element całkujący idealny i rzeczywisty)
Y1(s) k Y2(s) k
G1(s) = = , G2(s) = =
U(s) s U(s) s(1 + sT )
równania różniczkowe
kU(s) = sY1(s) kU(s) = sY2(s) + T s2Y2(s)
ku(t) = Ź1(t) ku(t) = T �2(t) + Ź2(t)
odpowiedzi skokowe

1 k
h1(t) = L-1 G1(s) = L-1 = kt (t)
s s2

1 k k 1
h2(t) = L-1 G2(s) = L-1 = L-1 =
1
s s2(1 + sT ) T s2(s + )
T


k d 1 1
= lim est + lim est (t) =
1
1
s0
T ds s + s2
s-
T
T

1
test(s + ) - est
k t
T 2
T
= lim + T e- (t) =
1
s0
T (s + )2
T
k t t t
2 2
T T
= T - 1 + T e- (t) = k(t - T + T e- ) (t)
T T
h(t)
h1(t)
h2(t)
kT
k
=arctg k
1
T
t
Rys. 12

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 9

odpowiedzi impulsowe:

k
g1(t) = L-1 [G1(s)] = L-1 = k (t)
s

k t
T
g2(t) = L-1 [G2(s)] = L-1 = k(1 - e- ) (t)
s(1 + sT )
g(t)
g1(t)
k
g2(t)
t
T
0
Rys. 13
9. Charakterystyki statyczne i dynamiczne
u(t) y(t)

G(s)
Rys. 14
y
y(t)
ukł. liniowy
0 u
0 t
ukł. nieliniowy
(a) ch-ki statyczne (b) ch-ka dynamiczna
Rys. 15

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 10

10. Wyznaczanie transmitancji wypadkowych
a) połączenie szeregowe (kaskadowe)
u1(t) u2(t) y(t)
G1(s) G2(s)
Rys. 16
U2(s) Y (s)
G1(s) = , G2(s) =
U1(s) U2(s)
Y (s) Y (s) U2(s)
G(s) = = = G1(s)G2(s) (11)
U1(s) U2(s) U1(s)
b) połączenie równoległe
y1(t)
G1(s)

y(t)
u(t)

G2(s)
y2(t)
Rys. 17
Y (s) = Y1(s) + Y2(s) = G1(s)U(s) + G2(s)U(s) =
= (G1(s) + G2(s))U(s)
Y (s)
G(s) = = G1(s) + G2(s) (12)
U(s)

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 11

c) sprzężenie zwrotne
u(t) y(t)
e(t)
G1(s)



G2(s)
Rys. 18
Y (s) = G1(s)E(s) = G1(s) [U(s) - G2(s)Y (s)]
Y (s) + G1(s)G2(s)Y (s) = G1(s)U(s)
Y (s) [1 + G1(s)G2(s)] = G1(s)U(s)
Y (s) G1(s)
G(s) = = (13)
U(s) 1 + G1(s)G2(s)
G1(s)
dla dodatniego sprzężenia zwrotnego: G(s) =
1-G1(s)G2(s)
gdy G2(s) = 1  bezpośrednie sprzężenie zwrotne i wtedy:
G1(s)
G(s) =
1ąG1(s)
11. Przekształcanie schematów blokowych
a) przenoszenie węzła sumacyjnego z we na wy i odwrotnie
G1(s) [U1(s) + G2(s)U2(s)] = G1(s)U1(s) + G1(s)G2(s)U2(s)
u1 y u1 y
G1(s) G1(s)




G1(s) G2(s)
G2(s)
u2
u2
Rys. 19

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 12


1
G1(s)U1(s) + G2(s)U2(s) = G1(s) U1(s) + G2(s)U2(s)
G1(s)
u1 y u1 y
G1(s)
G1(s)




1/G1(s)
G2(s)
u2
G2(s)
u2
Rys. 20
b) przenoszenie węzła informacyjnego (rozgałęz
nego) z we na
wy i odwrotnie
y1
u
y1
G(s)
u
G(s)
y2
1/G(s)
y2
Rys. 21
y1
u
y1
G(s)
u
G(s)
y2
y2
G(s)
Rys. 22
c) zamiana miejsc węzłów sąsiadujących ze sobą
y = (u1 - u3) + u2 = (u1 + u2) - u3
u1 y u1 y


u2 u2

u3 u3
Rys. 23

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 13

12. Transmitancja widmowa
G(j�) = G(s)|s=j�, � = 2Ąf (14)
u(t) y(t)

G(j�)
Rys. 24
y(t) = yp(t) + yu(t), lim yp(t) = 0 (15)
t"
u(t) = A sin �t � (t) �!
�! y(t) = yu(t) = A|G(j�)| sin(�t + �(�)) � (t) (16)
Przykład
2 2 1
G(s) = = =
s2 + 3s + 2 (s + 1)(s + 2) (s + 1)(0,5s + 1)
u(t) = 8 sin 2t � (t) wyznaczyć przebieg yu(t)
2 2
G(s)|s=j2 = = =
(j2)2 + 3(j2) + 2 -2 + j6
6
2 ć%
= e-jarctg -2 = 0,316 e-j108,4
(-2)2 + 62
yu(t) = 8 � 0,316 sin(2t - 108,4ć%) � (t) =
= 2,528 sin(2t - 108,4ć%) � (t)
13. Charakterystyki częstotliwościowe
� " 0, +")
" ch. amplitudowo-fazowa (wykres Nyquista),
" ch-ki logarytmiczne (wykresy Bodego).

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 14

14. Charakterystyka amplitudowo-fazowa
bmsm + bm-1sm-1 + � � � + b1s + b0
G(s)= , m n (17)
ansn + an-1sn-1 + � � � + a1s + a0
G(j�) = G(s)|s=j� = (18)
bm(j�)m + bm-1(j�)m-1 + � � � + b1(j�) + b0
=
an(j�)n + an-1(j�)n-1 + � � � + a1(j�) + a0
G(j�) = P (�) + jQ(�) = |G(j�)|ej�(�) (19)

2
P (�) = Re[G(j�)], |G(j�)| = P (�) + Q2(�),
Q(�)
Q(�) = Im[G(j�)], �(�) = arctg .
P (�)
Im[G(j )]
Re[G(j )]
P( )


( 1)

|G(j 1)|
Q( )
1
Rys. 25 (0 � < ")
u(t) = A sin �1t �! y(t) = A|G(j�1)| sin(�1t + �(�1))
Przykład (element inercyjny 1-go rzędu)
k k(1 - j�T )
G(j�) = = =
2
1 + j�T 1 + �2T
k k�T
= - j = P (�) + jQ(�)
2 2
1 + �2T 1 + �2T
� > 0 P > 0, Q 0 IV ćw.

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski

Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów Wykłady 1,2, str. 15

k k k - P
2 2
P = 1 + �2T = �2T =
2
1 + �2T P P
k - P
k2
2
k2�2T
P
Q2 = = = P (k - P )
2 2
(1 + �2T )2 k2/P
k2 k2
2 2
Q2 + P - kP = 0 P - kP + + Q2 =
4 4
2 2
k k
P - + Q2 = , Q 0
2 2
Im[G(j )]
k
k/2


Re[G(j )]

k/2
/T
Rys. 26
Q( )
Q( )
k3 k2
k1
k



P( )
P( )


/T1, /T2, /T3
(a) k = var, k3 Rys. 27

Podstawy automatyki (z) http://www.put.poznan.pl/�waldemar.wroblewski