PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW
Z ELEMENTAMI
ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
POMIAR FIZYCZNY
Pomiar bezpośredni to doświadczenie, w którym przy pomocy
odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy z jednostką)
interesującą nas wielkość fizyczną np.
pomiar długości przedmiotu linijką
Pomiar pośredni to doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość
interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innych wielkości
fizycznych związanych z daną wielkością znanym związkiem
funkcyjnym np.
pomiar objętości walca poprzez pomiar jego rozmiarów
geometrycznych
2
p�d h
V =�
4
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW
Wynik pomiaru bez podania dokładności doświadczenia (niepewności
pomiarowej) jest bezwartościowy.
1,34 ą 0,02 m
Zapisując wyniki pomiarów stosujemy następującą konwencję:
podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności, a jeżeli
zaokrąglenie do jednej cyfry nie zmieni wartości więcej niż o 10% to
podaje się tylko jedną cyfrę
wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce dziesiętne dalej niż
miejsce dziesiętne niepewności, a następnie zaokrąglamy wg.
normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego
zaokrąglono niepewność pomiarową.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
Niepewności
Typy niepewności pomiarowych:
" niepewności systematyczne
" niepewności przypadkowe
Błędy pomiarowe a niepewności pomiarowe.
Rodzaje błędów pomiarowych:
" błędy przybliżenia
" błędy grube
Sposoby unikania i zmniejszania błędów pomiarowych.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE
Niepewności systematyczne związane są ze skończoną dokładnością przyrządów
pomiarowych i niedoskonałością obserwatora.
" Pomiar przymiarem milimetrowym - "x = 1mm
Niepewności systematyczne można zmniejszyć:
" stosując doskonalsze przyrządy
" wykonując bardzo starannie pomiary.
Małe niepewności (w stosunku do innych) można zaniedbać.
Niepewności systematycznych nie można wyeliminować!
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE
Niepewności przypadkowe występują, gdy wyniki pomiarów zmieniają się od
pomiaru do pomiaru, powodując odchylenie od wartości prawdziwej zarówno
w jedną jak i w drugą stronę.
Metody statystyki pozwalają na oszacowanie niepewności przypadkowych
zarówno jakościowo jak i ilościowo.
" Prawdziwa wartość mierzonej wielkości - wartość oczekiwana.
" Rozkład prawdopodobieństwa Ć(x) wartości mierzonej jest rozkładem
Gaussa.
" Przy skończonej ilości pomiarów, parametry rozkładu Gaussa można
jedynie estymować.
" Szukanie prawdziwej wartości mierzonej wielkości i jej niepewności - to
estymacja wartości oczekiwanej i jej odchylenia standardowego.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
ROZKA
AD GAUSSA
Estymator wartości oczekiwanej:
n
1
x =�
��x
i
n
i=�1
Estymator niepewności pojedynczego
pomiaru:
n
2
1
Sx =� (�xi -� x)�
��
n -�1
i=�1
Estymator odchylenia standardowego
średniej arytmetycznej:
n
2
1
Sx =� (�xi -� x)�
��
n(�n -�1)�
i=�1
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
ROZKA
AD STUDENTA-FISHERA
Przy liczbie pomiarów n<10, odchylenie standardowe średniej
S
arytmetycznej x przyjmuje zaniżoną wartość. Chcąc otrzymać
poprawną wartość, należy pomnożyć go przez tzw.
współczynnik rozkładu Studenta-Fishera tna� . Współczynnik
tna� zależy od liczby pomiarów n oraz przyjętego poziomu
ufności a�, a jego wartość można znalez
ć w odpowiednich
S
x
tablicach. Poziom ufności a� to prawdopodobieństwo, z jakim
wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej
wielkości. W laboratorium studenckim przyjmuje się zazwyczaj
poziom ufności 0.95.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
CAA
KOWITA NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA
Niepewność systematyczna w ujęciu statystycznym:
2
D�x (�D�x)�
Sx =� =�
3
3
Całkowita niepewność pomiarowa:
1
2
2
Sx =� Sx +� (�D� x)�
3
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
NIEPEWNOŚĆ W POMIARACH POŚREDNICH
Związek funkcyjny pomiędzy mierzonymi wielkościami:
z =� f (�x1, x2 ,..... xn )�
Średnia arytmetyczna jako estymator wartości oczekiwanej:
z =� f (�x1, x2,...xn)�
Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej:
2 2 2
ć� �� ć� �� ć� ��
ś�f ś�f ś�f
�� �� �� �� ��
Sz =� �� Sx +� Sx +� .....+� Sx
�� 1 2 �� n
ś�x1 �� �� ś�x2 �� ś�xn ��
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Niepewność maksymalna (występują tylko niepewności statystyczne):
ś�f ś�f ś�f
D�zmax =� D�x1 +� D�x2 +� ....+� D�xn
ś�x1 ś�x2 ś�xn
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
TABELE
NAJBARDZIEJ ZWARTY I CZYTELNY ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW
" Zawsze, gdy jest to możliwe wyniki pomiarów zapisujemy i przedstawiamy w
postaci tabel.
" Wartości jednej wielkości zapisujemy w kolumnie.
" Nagłówek kolumny powinien zawierać symbol wielkości i jej jednostkę.
" Wielkość jednostki miary dobieramy tak, aby zapisywane liczby mieściły się w
zakresie 0.1 do 1000.
Czas Natężenie
t [s] prądu I [mA]
1,3 0,1
2,0 0,3
2,8 0,6
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
WYKRESY
dlaczego?
" Pozwalają wyznaczyć wartości pewnych wielkości (zazwyczaj jeden z
parametrów zależności liniowej łączącej dwie wielkości fizyczne).
" Stanowią poglądową ilustrację wyników doświadczenia.
" Służą do ustalania empirycznych zależności między dwiema wielkościami.
U =� RI
IB
UH =� RH
b
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
WYKRES
najbardziej efektywny sposób przedstawienia wyników pomiarów
" Dobry wykres jest dostosowany do prezentowanego zagadnienia
" Wykresy sporządzamy w układzie kartezjańskim
" Na osiach rozmieszczamy wielokrotności jednostki wielkości wykreślanej.
" Używamy jednostek układu SI lub ich wielokrotności
" Osie opisujemy symbolem i jednostką wielkości fizycznej
" Zakres zmiennej na osi nie musi zaczynać się od zera
" Zakresy osi wykresu należy dobrać tak, aby punkty pomiarowe znajdowały się
na całej powierzchni ograniczonej osiami
" Punkty pomiarowe należy zaznaczać wyraz
nie i jednoznacznie
" Wykres powinien być tak wykonany, aby można było z niego łatwo odczytać
przybliżone wartości współrzędnych poszczególnych punktów
" Punktów pomiarowych nie łączymy ze sobą linią łamaną
" Prostokąty niepewności pomiarowych (o ile są dostatecznie duże) nanosimy tak
aby nie zaciemniały informacji zawartych na wykresie
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
WYKRESY
jak?
Konwencja:
Na osi poziomej odkładana jest zmienna niezależna (przyczyna)
Na osi pionowej odkładana jest zmienna zależna (skutek)
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
REGRESJA LINIOWA
Wielkości x i y związane zależnością liniową.
12
y=ax+b
a=(1.96ą0.05)k�
10
b=(0.08 ą0.01)V
8
r=0.998
6
4
2
1 2 3 4 5 6
Natężenie prądu I [mA]
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
Napięcie U [V]
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007
BA

DY GRUBE
Błędy grube to błędy powstające w wyniku pomyłki eksperymentatora
lub w wyniku niesprawności aparatury pomiarowej.
Zwykle są na tyle duże, że można je łatwo zauważyć.
Żeby uniknąć błędów grubych należy starannie zorganizować proces
pomiarowy i używać tylko właściwie wytestowanych przyrządów.
Punkty obarczone błędem grubym odrzucamy.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
paz
dziernik 2007