Ruch naładowanych cząstek
w polu magnetycznym
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Mechanika
Ch. Kittel, D. Knight, M.A. Ruderman
PWN, Warszawa, Rozdz. 4
Ruch cząstki naładowanej
w stałym polu magnetycznym
Niech czÄ…stka o masie M i Å‚adunku q znajduje siÄ™ w polu
magnetycznym o wektorze indukcji . Równanie ruchu ma
B
postać:
d2r(t) dv
M a" M = qv×B .
dt2 dt
Niech wektor indukcji będzie skierowany wzdłu\
osi
z: , wtedy:
B = ęB
v × B = vyBz - vzBy = vyB ;
×
×
×
( )
x
v × B = vzBx - vxBz = -vxB;
×
×
×
( )
y
v × B = vxBy - vyBx = 0 .
×
×
×
( )
z
Równania dla składowych
dvy
dvx q q
= vyB ; = - vxB ;
dt M dt M
dvz
= 0 Ò! vz = const .
dz
Ruch naładowanej cząstki w polu
magnetycznym  prawo zachowania
Twierdzenie: Energia kinetyczna Ek nie zmienia siÄ™ z
upływem czasu, tj. jest całką ruchu: Ek= (t)= Mv2(t)/2=
Dowód:
=const.
d M dv2(t) M d
Ek t = = v(t)v(t) =
( ) [ ]
dt 2 dt 2 dt
M Å„Å‚ dv(t) dv(t) üÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= v(t) + v(t)
òÅ‚ïÅ‚
śł ïÅ‚ śłżł =
2 dt dt
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ół þÅ‚
dv(t)
= v(t) M = qv(t)Å" v(t)×B = qB Å" v(t)× v(t) = 0 .
( )
( )
dt
FL
v(t)×B
Wektor jest prostopadły do wektora ,
v(t)
( )
więc ich iloczyn skalarny znika!
Rozwiązanie pary równań
ró\
niczkowych  postać rozwiązań
Będziemy szukali rozwiązania układu równań
dvy
dvx q q
= vyB , = - vxB ,
dt M dt M
w postaci: vx = v1sin Ét , vx = v1cos Ét .
( ) ( )
2 2
Obserwacja: v2 (t) + v2 (t) = v1 sin2Ét + cos2Ét = v1
( )
x y
Znajdziemy pochodne zaproponowanych rozwiązań
dwóch równań ró\
niczkowych:
dvy(t)
dvx (t)
= Év1cos Ét , = - Év1sin Ét .
( ) ( )
dt dt
RozwiÄ…zanie
pary równań ró\
niczkowych
dvy(t)
Wstawimy: dvx (t)
= Év1cos Ét , = - Év1sin Ét .
( ) ( )
dt dt
dvy
dvx q q
= vyB , = - vxB.
do równań:
dt M dt M
qB qB
Év1cosÉt = v1cosÉt , - Év1sinÉt = - v1sinÉt.
M M
É = Éc = qB/M
CzÄ™stość koÅ‚owa Éc nazywa siÄ™ czÄ™stoÅ›ciÄ…
cyklotronowÄ…. Nie zale\
y ona od prędkości v1.
Prędkość cyklotronowa
Éc = qB/M
zale\
y jedynie od indukcji pola magnetycznego
B i charakterystyk czÄ…stek.
Trajektoria ruchu naładowanej cząstki
w stałym polu magnetycznym
Znamy składowe wektora prędkości v(t):
vx = v1sin Éct , vy = v1cos Éct .
( ) ( )
dx(t) dy(t)
= v1sin Éct ; = v1cos Éct ,
( ) ( )
dt dt
Składowe x(t) i y(t) wektora wodzącego cząstki r(t) .
x(t) = x0 - v1 / Éc cos Éct = x0 -Ácos Éct ,
( ) ( ) ( )
y(t) = y0 + v1 / Éc sin Éct = y0 + Ásin Éct ,
( ) ( ) ( )
z(t) = z0 + vzt .
Sens rozwiÄ…zania
v1
x(t) = x0 - cos Éct = x0 - Ácos Éct ;
( ) ( )
Éc
v1
y(t) = y0 + sin Éct = y0 + Ásin Éct ;z(t) = z0 + vzt .
( ) ( )
Éc
W płaszczyz
nie x, y ruch odbywa się po okręgu
o promieniu cyklotronowym Á=v1/Éc ze Å›rodkiem
w punkcie (x0,y0).
2
ëÅ‚ öÅ‚
v1
2 2
2
îÅ‚ Å‚Å‚
x(t) - x0 + y(t) - y0 = Éct + sin2 Éct = Á2 .
[ ] [ ] ( ) ( )ûÅ‚
ìÅ‚
Éc ÷Å‚ ðÅ‚cos
íÅ‚ Å‚Å‚
Wzdłu\
osi z ruch jest jednostajny z prędkością vz.
ZÅ‚o\
enie obydwu ruchów daje ruch po spirali.
z
B
Trajektoria
q Á
Á
Á
Á
ruchu
q
Vz=V0
czÄ…stki
w stałym polu
magnetycznym
y
x
Własności promienia cyklotronowego
Wprowadzimy pĄ"- składową pędu w
płaszczyz
nie prostopadłej do kierunku wektora
indukcji magnetycznej, wtedy
v1 v1 v1M v1M pĄ"
Á = = = Ò! ÁÅ‚ = = .
qB
Éc qB q q
M
Wymiar fizyczny promienia: cyklotronowego Á:
L
îÅ‚ Å‚Å‚
v1
T
Á = = = L .
[ ]
ïÅ‚É śł
1
ðÅ‚ c ûÅ‚
T
Zasada działania cyklotronu
W cyklotronie czÄ…stki poruszajÄ… siÄ™ po niemal
kołowych orbitach. Po ka\
dej połowie obrotu
czÄ…stki sÄ… przyspieszane w oscylujÄ…cym polu
elektrycznym. Częstość drgań pola elektrycznego
musi być równa wartości częstości cyklotronowej
Éc=qB/M. Po ka\
dym obrocie cząstki przyśpieszają
uzyskujÄ…c energiÄ™ od pola elektrycznego. Nale\
y
dobrać tak chwilowe pole elektryczne tak, aby
harmoniczne pole elektryczne przyśpieszało
cząstki. Cząstki poruszają się po okręgach o
okresowo rosnÄ…cych promieniach Á=v/Éc.
Zale\
ność promienia cyklotronowego
od energii kinetycznej czÄ…stki
2
Ek = Mv1 /2 Ò! v1 = 2Ek/M ,
mo\
emy wyrazić promieÅ„ cyklotronowy Á przez Ek
2Ek/M
v1
Á = = .
Éc Éc
Po ka\
dym cyklu promień cyklotronowy rośnie,
natomiast częstość kołowa jest stała.
Prędkość ruchu cząstki
w oscylujÄ…cym polu elektrycznym
skierowanym wzdłu\
osi x
qE(0)
x
x(t) = - sinÉt + v0t + x0 .
MÉ2
Obliczymy prędkość ruchu cząstki:
dx(t) qE(0)
x
vx (t) = = - cosÉt + v0 .
dt MÉ
Duant
metalowe pudło o kształcie połowy
opakowania tortu.
WewnÄ…trz duantu czÄ…stki sÄ…
ekranowane od pola elektrycznego
É = Éc = qB/M
CzÄ™stość cyklotronowa Éc nie zale\
y od
prędkości v1. Promień cyklotronowy zale\
y
od energii kinetycznej czÄ…stki:
Á = 2Ek/M / Éc.
Zmienne pole elektryczne o czÄ™stoÅ›ci Éc .
"
B
Cyklotron
Lawrance a
1931 r.
Gdy czÄ™stość É oscylatora zostanie dobrana ilekroć
cząstka znajdzie się pomiędzy duantami tylekroć
zostanie przyśpieszona.
Ernest Orlando Lawrence
1901-1958
nagroda Nobla w 1939 r.
W 1939 r. z 60-calowego cyklotronu w Berkley
National Laboratory wyprowadzono wiÄ…zkÄ™
przyśpieszanych jonów (prawdopodobnie protonów
albo deuteronów). Jonizują one otaczające powietrze
powodując niebieską poświatę.
Tunel
akceleratora w
Fermilab
o średnicy ok.
2 km
CERN
Europejskie Laboratorium
Badań Jądrowych
Akceleratory w CERNie
Obwód tunelu
LHC ok. 30 km
LHC w CERNIE
CERN z lotu ptaka
Magnesy nadprzewodzÄ…ce w
akceleratorach CERN
Selektor prędkości
Siła elektrostatyczna powoduje ruch
cząstki dodatnio naładowanej w lewo.
Ć
FL = q v ×B = -qvBx
( )
y
Ć
Fe = qEx
FL
B
"
x
q
v
Fe=qE FL=qvB
Tylko cząstki dla których qE=qvB nie są
odchylane i poruszajÄ… siÄ™ ruchem
jednostajnym. Cząstki o prędkościach
innych od v=E/B zostajÄ… zatrzymane.
Spektrometr masowy
S1 i S2 przesłony formujące
wÄ…skÄ… wiÄ…zkÄ™ czÄ…stek.
W polu B/ jony poruszajÄ… siÄ™
po okręgach o promieniach
v vM
Á = =
Éc qB
Pole magnetyczne B do
Ä„"
płaszczyzny ekranu
selektor pr
Ä™
dko
Å›
ci
Spektrometr masowy
Jony wychodzące z selektora mają tę samą prędkość
v=E/B. Po opuszczeniu selektora poruszajÄ… siÄ™ w po
okręgach polu magnetycznym B/ prostopadłym do
pÅ‚aszczyzny ekranu. PromieÅ„ okrÄ™gu Á
Á = v/Éc = vM / qB' = EM / qBB'
( ) ( ) ( )
zale\
y od masy M jonu. Je\
eli znamy E, q, B,B to
mierząc poło\
enie śladu na płycie fotograficznej
mo\
emy określić masę jonu M:
M = Ä…Á; Ä… = qBB'/E .
Zastosowanie spektrometru masowego
- odkrycie izotopów pierwiastków
Odkryto dwa izotopy neonu o masach
atomowych 20 i 22 g/mol.
Zastosowania spektrometrów masowych
pozwoliło ustalić, \
e bardzo wiele
pierwiastków ma izotopy.
22.03.2011