XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Elżbieta URBAC
SKA-GALEWSKA1
ANALIZA TOLERANCJI WYMIAROWYCH PRZEGUBOWEGO
POA

CZENIA BELKI Z PODCI
GIEM
1. Wprowadzenie
Wszystkie elementy wysyłkowe konstrukcji stalowej wykonywane są w wytwórniach
z określoną dokładnością, wynikającą z odpowiednich przepisów [1]. Te same przepisy
regulują wartości dopuszczalnych odchyłek montażowych. W efekcie jakość i sprawność
montażu elementów wysyłkowych mocowanych do ustawionej wcześniej konstrukcji jest
uzależniona od sumy dopuszczalnych odchyłek wykonawczych i montażowych. W referacie
przeprowadzono analizÄ™ tolerancji typowego rozwiÄ…zania konstrukcyjnego: belki walcowa-
nej połączonej obustronnie przegubowo ze spawanymi z blach podciągami. Celem analizy
jest wykazanie rozbieżności w aktualnych przepisach normowych jak również przedsta-
wienie analizy tolerancji jako narzędzia umożliwiającego poprawę jakości montażu bez
zwiększania kosztów wykonawstwa.
2. Analiza tolerancji wymiarowych
2.1. Sformułowanie problemu
Na rys. 1. przedstawiono typowy przypadek montażu belki walcowanej do wcześniej
ustawionych podciągów blachownicowych. Dużymi literami oznaczono wszystkie,
uwzględnione w poniższej analizie wymiary. W celu uproszczenia analizy, przyjęto
przypadek połączenia na dwie śruby. Poprawny przebieg montażu wymaga, aby rozstaw
otworów B w montowanej belce był równy odległoś ci pomiędzy otworami w żebrach
sąsiednich podciągów P. Na dokładność rozstawu osiowego otworów B w belce walcowanej
wpływają tylko dwie operacje technologiczne: trasowanie oraz wiercenie otworów.
Uzyskana dokładność wymiaru P zależy od bardzo wielu czynników związanych zarówno
z dokładnością wykonania samych podciągów jak i dokładnością ich montażu.
Z uwagi na przestrzenny charakter zadania, a także możliwość wystąpienia,
dopuszczalnego z punktu widzenia przepisów, pionowego przesunięcia sąsiednich
podciągów względem siebie (wymiar U na rys. 1), miarą jakości całego połączenia jest
tolerancja kształtu. W analizowanym przypadku tolerancję kształtu określa tolerancja
1
Dr inż., Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Gdańskiej
248
odległości pomiędzy górnym otworem lewego podciągu, oznaczonym symbolem  I a
dolnym otworem w prawym podciągu, oznaczonym symbolem  II . Odległość między tymi
otworami określa zależność:
2
CP = P2 + H (1)
gdzie:
- P - osiowy rozstaw otworów montażowych w podciągach (rys.1),
- H  składowa pionowa odległości pomiędzy otworami  I i  II .
Analogiczną odległość pomiędzy otworem I i II w montowanej belce określa wymiar CB
opisany zależnością:
CB = B2 + R2 (2)
gdzie:
- R - osiowy, pionowy rozstaw skrajnych otworów w belce (rys.1),
- B - osiowy rozstaw grup otworów na końcach belki.
Rys. 1. Analizowane ogniwa łańcucha wymiarowego połączenia belki z podciągami
(opis oznaczeń w tekś cie)
Wymiar B, z uwagi na dokładność montażu, powinien być wymiarem o określonych
tolerancjach. Przy założeniu, że odległość N grupy otworów od czoła belki jest także
wymiarem tolerowanym, całkowita długość belki Z będzie wymiarem wynikowym, czyli
ogniwem zamykajÄ…cym ciÄ…g wymiarowy.
z b n
Zz12 = Bb12 + 2Nn12 (3)
249
skąd dla odchyłek symetrycznych otrzymamy:
TZ = 2(b + 2n) (4)
gdzie tolerancja wymiaru B jest wymiarem składowym i wynosi TB=2b.
Przyjęcie założenia, że wymiar B jest wymiarem wynikowym, a wymiarami tolerowanymi są
całkowita długość belki Z oraz odległość N grup otworów od czoła belki, jest założeniem
błędnym, gdyż zwiększa pole tolerancji TB, tzn. zmniejsza dokładność osiowego rozstawu
otworów w belce, a co za tym idzie prawdopodobieństwo bezkolizyjnego montażu, co
wykazano poniżej. Jeżeli zapiszemy, że:
b z n
Bb12 = Zz12 - 2Nn12
(5)
TB = 2(z + 2n),
to otrzymana w tym wypadku wartość tolerancji TB jest sumą trzech parametrów a nie
jednego jak w pierwszym przypadku (wszystkie parametry są wielkościami tego samego
rzędu).
Nominalnie równe sobie wymiary CP i CB obarczone są, z uwagi na technologię
wytwarzania, różnymi tolerancjami TCP i TCB. Tylko i wyłącznie przeprowadzenie analizy
tolerancji odpowiednich łańcuchów wymiarowych może potwierdzić (lub nie) możliwość
przeprowadzenia bezkolizyjnego montażu.
2.2. Analiza tolerancji położenia osi otworów montażowych
Dla wymiaru P, który jest ogniwem zamykającym poziomy łańcuch wymiarowy (rys. 1),
można zapisać następującą zależność:
w a g
Ppp2 = Ww12 - 2Aa12 - Gg12 (6)
1
gdzie: p2, w2, a2, g2  odchyłki górne wymiaru
p1, w1, a1,g1  odchyłki dolne wymiaru
Zgodnie z zasadami obliczania łańcuchów wymiarowych [2], odchyłki górna p2 i dolna p1
wymiaru P wynoszÄ… odpowiednio:
p2 = w2 - 2a1 - g1
(7)
p1 = w1 - 2a2 - g2
Przy założeniu, że w praktyce analizowane wymiary są tolerowane symetrycznie, tzn., że
p2=-p1, w2=-w1, itd., możemy zapisać równanie tolerancji wymiaru P w następującej postaci:
Tp = 2(w + 2a + g) (8)
Wymiar H określający składową pionową odległości między otworami  I i  II w żebrach
podciągów (rys.1) określa następująca zależność:
h u f2 f2
Hh12 = Uu12 + (FP ) + (EP )e2 + (KP )k2 - (FL ) - (EL )e2 (9)
f1 e1 k1 f1 e1
Ogniwa łańcucha wymiarowego o wymiarach nominalnych E i F oznaczone indeksem
dotyczą prawego podciągu i są ogniwami zwiększającymi, gdyż ich zwiększenie
 P
powoduje zwiększenie wymiaru ogniwa zamykającego H, przy niezmienionych
250
wymiarach pozostałych ogniw łańcucha. Wymiary oznaczone indeksem dotyczą
 L
lewego podciągu i są ogniwami zmniejszającymi, gdyż ich zwiększenie powoduje
zmniejszenie ogniwa zamykającego H przy niezmienionych wymiarach pozostałych
ogniw łańcucha. Tak więc, pomimo identycznych wartoś ci nominalnych wymiarów oraz
identycznych wartoś ci odchyłek dopuszczalnych, tychże ogniw łańcucha nie można
zredukować, ponieważ pełnią one odmienną rolę w równaniu łańcucha wymiarowego.
Po uwzględnieniu symetrii odchyłek, wartoś ci odchyłki górnej h2 i dolnej h1 wynoszą
odpowiednio:
h2 = u2 + f2 + e2 + k2 - f1 - e1 = u + d + 2( f + e),
(10)
h1 = u1 + f1 + e1 + k1 - f2 - e2 = -{u + d + 2( f + e)}
Stąd, dla odchyłek symetrycznych, tolerancja TH wynosi:
TH = 2{u + k + 2(f + e)} (11)
Analiza wyprowadzonych zależności na wartoś ci tolerancji TP i TH wyraz
nie wskazuje
na różną wagę poszczególnych ogniw w łańcuchu wymiarowym. I tak wartość
dopuszczalnej odchyłki ą a odległoś ci grupy otworów A od krawędzi żebra w podciągu
ma dwa razy większy wpływ na wartość tolerancji ogniwa wynikowego niż pozostałe
odchyłki. Dopuszczalna odchyłka ą f grubości pasa podciągu F oraz dopuszczalna
odchyłka ą e odległości skrajnego otworu od górnej krawędzi żebra E mają dwa razy
większy wpływ na wartość tolerancji TH niż pozostałe ogniwa łańcucha wymiarowego.
Należy zaznaczyć, że wartość tolerancji TH będzie wzrastała wraz ze wzrostem liczby
ś rub w połączeniu. Dla liczby śrub n >2, wartość K w zależnoś ci (9) należy pomnożyć
przez liczbÄ™ (n-1).
Tolerancję wymiaru CP, dla zamienności całkowitej, wyznacza się ze wzoru (1)
wykorzystując zależności wyprowadzone w [3], skąd:
P H
TCP = TP + TH (12)
2 2
P2 + H P2 + H
Z uwagi na występujące w praktyce dla tego typu połączeń, proporcje wymiarów H i P,
możemy przyjąć, że:
P
E" 1
2
P2 + H
(13)
H
d" 0,07
2
P2 + H
Po podstawieniu (13) do (12) otrzymamy:
TCP = TP + 0,07 Å"TH (14)
Tolerancja wymiaru CP, dla zamienności częściowej (99,37%), zgodnie z [3] wynosi:
2
P2 2 H
2
TCP = TP + TH (15)
2 2
P2 + H P2 + H
251
Analogicznie, z uwagi na proporcje wymiarów P i H, można przyjąć, że:
P2
E" 1
2
P2 + H
(16)
2
H
E" 0
2
P2 + H
Po podstawieniu powyższych uproszczeń do (15), wzór na tolerancję wymiaru CP dla
zamienności częściowej przyjmie postać:
TCP = TP (17)
Aby sprawdzić możliwość przeprowadzenia montażu należy, na podstawie znajomości
wymiaru CB, wyznaczyć jego tolerancję TCB. Tolerancję TCB, dla zamienności całkowitej,
analogicznie jak poprzednio, wyznacza się z równania okreś lającego CB (2), wykorzystując
zależności wyprowadzone w [3].
TCB = TB + 0,07 Å"TR (18)
Wartość tolerancji TCB, dla zamienności częściowej, zgodnie z (15-17)wynosi:
TCB = TB (19)
2.3. Analiza tolerancji połączenia belki z podciągiem.
O możliwości przeprowadzenia montażu decyduje względne położenie pól tolerancji oraz
wartość luzu pomiędzy śrubą a otworem. Na rys. 2. przedstawiono dwa skrajne przypadki
usytuowania pól tolerancji względem siebie:
- Maksymalna odległość pomiędzy otworami w podciągach Pmax przy najmniejszym
rozstawie otworów w belce Bmin (rys. 2a),
- Minimalna odległość pomiędzy otworami w podciągach Pmin przy maksymalnym
rozstawie otworów w belce Bmax (rys. 2b).
Przeprowadzenie montażu jest możliwe wtedy, gdy:
(Bmin + Dmin )- (Pmax - Dmin ) e" 2M
max
oraz (20)
(Pmin + Dmin )- (Bmax - Dmin ) e" 2M
max
gdzie: Dmin  minimalna wartość średnicy otworu na śrubę
Mmax  maksymalna wartość średnicy trzpienia śruby
Obydwa warunki prowadzą do następującej zależności:
TB + TP
ëÅ‚ öÅ‚
Dmin - ìÅ‚ ÷Å‚
e" M (21)
max
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Jest to warunek konieczny do przeprowadzenia poprawnego montażu belki.
252
Rys. 2. Położenie pól tolerancji osiowego rozstawu otworów montażowych
w podciÄ…gach i w belce
3. Przykład liczbowy
Przykładowe obliczenia wykonano dla podciągów ustawionych w odległości W = 6 m.
Zgodnie z [1] określono liczbowe wartości odchyłek dopuszczalnych poszczególnych
wymiarów. I tak odchyłka dopuszczalna odległości pomiędzy sąsiednimi belkami W (rys.1),
mierzonej na odpowiadających sobie końcach dz
wigarów, wynosi w = ą 10 mm, a odległości
A grupy otworów od krawędzi blachy a = ą 2 mm. Dopuszczalna odchyłka odległości E
skrajnego otworu od krawędzi żebra wynosi e = ą 2 mm, a odchyłka rozstawu (K,R) osi
otworów k = r = ą 2 mm. Dopuszczalna odchyłka wymiaru B w belce walcowanej wynosi
b = ą 3 mm. Dopuszczalne odchyłki grubości blach środnika i pasów podciągu są
uzależnione od klasy tolerancji. Norma [4] określa 4 klasy tolerancji: A, B, C i D. Dla klasy
D, dla blach środnika o grubości 8mm d" G < 15mm odchyłka g = ą0,85mm, a dla blach
pasów o grubości 15mm d" F < 25mm odchyłka f = ą0,95mm. Normy [1,6] dopuszczają
przesunięcie poziomów sąsiednich belek (mierzone na odpowiadających sobie końcach
dz
wigarów) o wartości u ą 10 mm. Po podstawieniu powyższych wartości do odpowiednich
wzorów otrzymamy następujące wartości tolerancji dla zamienności całkowitej:
253
- dla zmontowanej konstrukcji podciągów:
TP = 2(10 + 2 Å" 2 + 0,85)= 29,7mm
TH = 2[10 + 2 + 2(0,95 + 2)]= 35,8mm (22)
TCP = 29,7 + 0,07 Å" 35,8 = 32,2mm
-dla belki stropowej:
TB = 6mm, TR = 4mm
(23)
TCB = 6 + 0,07 Å" 4 = 6,3mm
Przy założeniu zamienności częściowej (99,73%) otrzymamy:
TCP = TP = 30mm
(24)
TCB = TB = 6mm
Przyjęto, że połączenie belki z podciągiem jest wykonane na śruby M16, a nominalna
średnica otworu D = 18mm. Dopuszczalna odchyłka wykonania otworu wynosi
d = +0,5mm [1]. Trzpień śruby, niezależnie od klasy tolerancji, zawsze jest tolerowany
w głąb materiału, tzn., że Mmax = M
Wobec powyższego Dmin = D = 18 mm, a Mmax = 16mm. Z warunku (21) otrzymano:
30 + 6
ëÅ‚ öÅ‚
18 - ìÅ‚ ÷Å‚
= 9mm < M = 16mm (25)
max
4
íÅ‚ Å‚Å‚
Z uwagi na niespełniony warunek (21) powtórzono obliczenia dla otworu owalnego
krótkiego, dla którego dłuższa średnica otworu wynosi Dov = M + 4" = 24 mm (gdzie
" = 2 mm). Otrzymano:
15 < M = 16mm (26)
max
Warunek (21) jest spełniony dopiero dla owalu długiego, o dłuższej ś rednicy równej:
Dov = 2,5(M+") = 2,5(16+2) = 45 mm.
4. Wnioski
Przeprowadzona powyżej analiza pozwala na wyciągnięcie następujących wniosków:
- istnieje określone prawdopodobieństwo, iż montażu belki nie da się przeprowadzić,
pomimo, że konstrukcja jest wykonana zgodnie z obowiązującymi zaleceniami
normowymi,
- wpływ odchyłek dopuszczalnych wymiarów pionowych na wartość tolerancji
analizowanych wymiarów CB lub CP jest pomijalny z uwagi na proporcje wymiarów,
- z całkowicie wystarczającą dokładnością można ograniczyć się do uwzględniania wartości
odchyłek wymiarów poziomych oraz do analizy w zakresie zamienności częściowej,
- stosowanie narzędzia projektowego w postaci analizy tolerancji pozwala na
wcześniejsze wykrycie połączeń, których montaż może wymagać dodatkowych,
nieprzewidzianych operacji technologicznych jak np. rozwiercanie otworów na placu
budowy a także na przyjęcie odpowiednich rozwiązań konstrukcyjnych na etapie
projektowania obiektu.
254
Wartości dopuszczalnych odchyłek wyszczególnione w [1] nie są uzależnione od wagi
wymiaru w łańcuchu wymiarowym jak również w wielu przypadkach nie zależą od wartoś ci
wymiarów, których dotyczą. Wprowadzenie klas tolerancji do norm dotyczących wykonania
konstrukcji stalowych pozwoliłoby na określanie dopuszczalnych odchyłek w zależności od
potrzeb. Klasy tolerancji wymieniane w [4] i [6] nie są w żaden sposób powiązane
z procesem wytwarzania konstrukcji stalowych. Stosowanie analizy tolerancji w powiÄ…zaniu
z analizą kosztów produkcji powinno stanowić podstawę do przyjmowania odpowiedniej
klasy tolerancji.
Literatura
[1] PN-B-06200:1997. Konstrukcje stalowe budowlane. Warunki wykonania i odbioru.
Wymagania podstawowe.
[2] JEZIERSKI J., Analiza tolerancji i niedokładności pomiarów w budowie maszyn. WNT,
Warszawa 1994.
[3] URBAC
SKA-GALEWSKA E., Analiza tolerancji w łańcuchach budowlanych
konstrukcji stalowych. Zeszyty Naukowe Politechniki Gdańskiej, Nr 585, Budownictwo
Lądowe, Nr 56,Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2001.
[4] PN-EN 10029: 1999. Blachy stalowe walcowane na gorąco o grubości 3mm i więcej.
Tolerancje wymiarów, kształtu i masy.
[5] ENV 1090 1: 1996. Execution of steel structures. Part 1. General rules for buildings.
[6] PN-EN ISO 13920: 1996. Spawalnictwo. Tolerancje ogólne dotyczące konstrukcji
spawanych. Wymiary liniowe i kąty. Kształt i położenie.
TOLERANCE ANALYSIS OF BEAM
TO GIRDER PINNED CONNECTION
Summary
Dimensional deviations as inevitable part of fabrication, manufacturing and erection process
influence the quality of the newly build structures. Dimensional chains of the typical beam to
girder connection for shear only are described in the paper. Tolerance analysis of the
assembly holes spacing has been done. Two cases of the matching of the assembly holes in
beam to holes in girders are discussed. Worked example of the tolerance analysis is
presented. There is conclusion, that tolerance analysis as the design tool can improve
erection quality without cost increase.