1
Interpolacja - przykłady
" Przykład 1.
Niech będą dane węzły xi = i - 1, i = 0, 1, 2, i wartości funkcji f0 = 1, f1 = 0, i
f2 = 1. Znalez
ć wielomian interpolacyjny w postaci Lagrange a dla funkcji f.
RozwiÄ…zanie:
Węzłami są punkty x0 = -1, x1 = 0 i x2 = 1.
Na trzech różnych punktach można skonstruować wielomian interpolacyjny drugiego
stopnia. Jego postać Lagrange a jest następująca:
2
"
p2(x) = fili(x), (1)
i=0
gdzie
2
"
x - xj
li(x) = .
xi - xj
j=0
j=i
8
Wyznaczmy wielomiany li(x). Dla i = 0 mamy
2
"
x - xj (x - x1)(x - x2) x(x - 1) 1
l0(x) = = = = x(x - 1).
x0 - xj (x0 - x1)(x0 - x2) -1 · (-2) 2
j=1
Dla i = 1:
2
"
x - xj (x - x0)(x - x2) (x + 1)(x - 1)
l1(x) = = = = -(x + 1)(x - 1),
x0 - xj (x1 - x0)(x1 - x2) -1
j=0
j=1
8
i dla i = 2:
1
"
x - xj (x - x0)(x - x1) x(x + 1) 1
l2(x) = = = = x(x + 1).
x0 - xj (x2 - x0)(x2 - x0) 2 2
j=0
Wstawiamy wyznaczone wielomiany bazowe li(x) (i = 0, 1, 2) do wzoru (1) i otrzy-
mujemy
1 1
p2(x) = 1 · x(x - 1) + 1 · x(x + 1) = x2.
2 2
Uwaga. Ponieważ f1 = 0, nie było potrzeby wyznaczania l1(x).
2
" Przykład 2.
Dla funkcji f(x) = x4 znalez
ć wielomian interpolacyjny p3(x) w postaci Newtona
taki, że p3(k) = f(k), k = 0, 1, 2, 3.
RozwiÄ…zanie:
Węzłami interpolacji są punkty: x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 i x3 = 3.
Wielomian interpolacyjny w postaci Newtona skonstruowany na czterech węzłach
jest następujący:
p3(x) = c0 + c1(x - x0) + c2(x - x0)(x - x1) + c3(x - x0)(x - x1)(x - x2), (2)
gdzie
c0 =f(x0),
f(x1) - f(x0)
c1 =f0,1 = ,
x1 - x0
f1,2 - f0,1
c2 =f0,1,2 = ,
x2 - x0
f1,2,3 - f0,1,2
cn =f0,1,2,3 = .
x3 - x0
Uwaga. Patrząc na wzór (2) można odnieść wrażenie, że skoro węzeł x3 w nim nie
wstępuje, nie jest potrzebny do zbudowania wielomianu p3(x). To nieprawda: węzeł
x3 jest wykorzystywany przy wyznaczaniu współczynnika c3.
Dla czterech węzłów schemat ilorazów różnicowych ma następującą postać:
x0 f0 f0,1 f0,1,2 f0,1,2,3
x1 f1 ! f1,2 ! f1,2,3 !

x2 f2 ! f2,3 !

x3 f3 !
3
Po podstawieniu wartości liczbowych dostajemy:
1-0 15-1 25-7
0 0 = 1 = 7 = 6
1-0 2-0 3-0
! 16-1 ! 65-15 !
1 1 = 15 = 25
2-1 3-1
! 81-16 !
2 16 = 65
3-2
!
3 81
Współczynniki ci (i = 0, 1, 2, 3) odczytujemy z tabeli: c0 = 0, c1 = 1, c2 = 7, c3 = 6.
Wielomian interpolacyjny w postaci Newtona jest zatem następujący:
p3(x) = 0 + 1(x - 0) + 7(x - 0)(x - 1) + 6(x - 0)(x - 1)(x - 2).
Po uproszczeniu (zmianie bazy z {1, x-x0, (x-x0)(x-x1), (x-x0)(x-x1)(x-x2)}
na {1, x, x2, x3}) dostajemy:
p3(x) = 12x - 11x2 + 6x3.
Uwaga. W praktyce nie zaleca siÄ™ zmiany bazy Newtona na naturalnÄ…. Baza New-
tona ma lepsze własności numeryczne, a ponadto łatwo jest zmodyfikować algorytm
Hornera tak, aby można nim było obliczać wartości wielomianu interpolacyjnego w
postaci Newtona.
" Zadanie.
2
Dla funkcji f(x) = znalez
ć wielomian interpolacyjny w postaci Newtona oparty
1+x2
na węzłach x0 = -1, x1 = 0, x2 = 1. Następnie korzystając z wykonanych obliczeń
znalez
ć wielomian interpolacyjny oparty na węzłach x0, x1, x2 oraz x3 = 2.