Analiza odkształceń i naprężeń termicznych w przekroju zespolonym
stalowo-betonowym
CHARAKTERYSTYKA PRZEKROJU
Ilość elementów przekroju zespolonego:
k := 7 i := 1 ..k
Dane przekroju:
b [mm] h [mm] E [GPa] H [mm] r [mm] F [mm2] S [mm3]
*"sk [1/K] R[MPa] i Element
400 20 205 20 10 8000 80000 0.00001 0 1 Nakładka 2
450 30 205 50 35 13500 472500 0.00001 280 2 Nakładka 1
500 40 205 90 70 20000 1400000 0.00001 270 3 Półka dolna
14 1000 205 1090 590 14000 8260000 0.00001 290 4 Środnik
400 30 205 1120 1105 12000 13260000 0.00001 270 5 Półka górna
500 100 32.6 1220 1170 50000 58500000 0.00001 17 6 Skos
2000 200 32.6 1420 1320 400000 528000000 0.00001 17 7 Płyta pomostu
2 3
b := b�"mm h := h�"mm E := E�"GPa F := F�"mm r := r�"mm H := Hmm S := Smm
�" �"
1
ą := ą�" R := R�"MPa
K
Definicja zmiennej po wysokości:
z := 0�"m, 0.001�"m..Hk
Rozkład szerokości Rozkład modułu Younga Rozkład jednostkowych odkształceń
po wysokości: po wysokości: termicznych po wysokości:
bp(z) := b1 if z < H1 Ep(z) := E1 if z < H1 ąT(z) := ą1 if z < H1
b2 if H1 d" z < H2 E2 if H1 d" z < H2
ą2 if H1 d" z < H2
b3 if H2 d" z < H3 E3 if H2 d" z < H3
ą3 if H2 d" z < H3
b4 if H3 d" z < H4 E4 if H3 d" z < H4
ą4 if H3 d" z < H4
b5 if H4 d" z < H5 E5 if H4 d" z < H5
ą5 if H4 d" z < H5
b6 if H5 d" z < H6 E6 if H5 d" z < H6
ą6 if H5 d" z < H6
b7 if H6 d" z < H7 E7 if H6 d" z < H7
ą7 if H6 d" z < H7
Rozkład wytrzymałości
po wysokości:
R(z) := R1 if z < H1
R2 if H1 d" z < H2
R3 if H2 d" z < H3
R4 if H3 d" z < H4
R5 if H4 d" z < H5
R6 if H5 d" z < H6
R7 if H6 d" z < H7
11
Moduł porównawczy:
Ep := max(E) Ep = 2.05 � 10 Pa
Wysokość całkowita przekroju:
Hc := Hk Hc = 1.42 m
Ei
�# ś#
2
Powierzchnia przekroju
Ac := Fi�" Ac = 0.139 m
"ś# ź#
ś# Epź#
zespolonego:
�# #
i
Ei
�# ś#
Moment statyczny przekroju
Sc := Si�" Sc = 116.74 L
zespolonego:
"ś# ź#
ś# Epź#
�# #
i
Hc = 1.42 m
Sc
Położenie osi bezwładności
zc := zc = 0.839 m
Ac
przekroju zespolonego:
Ą#Ą#bi�" hi ń# ń#
Ei
( )3 Ą#
Moment bezwładności ó#ó# 2 Ą# 4
Jc := Jc = 0.04475 m
(r )
przekroju zespolonego: ó#Ł# 12 + bi�"hi�" i - zc Ą#�" Ą#
"Ł#ó#
Ep
Ś#
Ś#
i
ODDZIAA
YWANIE TERMICZNE NA PRZEKRÓJ ZESPOLONY
z := -zc, -zc + 0.1�"mm ..Hc - zc
Sprowadzenie osi układu odniesienia do środka ciężkości dz
wigara:
b(z) := bp + zc E(z) := Ep + zc ą(z) := ąT + zc
(z ) (z ) (z )
Definicja jednostkowych rozkładów termicznych na wysokości przekroju:
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY- Dy
WIGAR ZESPOLONY SKRAJNY - Typ 1
3
f1(z) := 0.3 if 0�"mm d" z + zc < hi
*
"
i = 1
2
4 4
Ą# ń# Ą# ń#
ó#
ó#
3.91�" hi - + zc hi - + zc
(z )Ą# (z )Ą#
ó# Ą#
" "
ó# Ą#
3 4
ó#i = 1 Ą#
Ł#i = 1 Ś#
- 3.82�" if hi d" z + zc < hi
ó# Ą#
" "
h4 h4
Ł# Ś#
i = 1 i = 1
4 k
0 if hi d" z + zc d" hi
" "
i = 1 i = 1
0 otherwise
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 1
Rozkład typu 1 należy stosować przy analizie
0.5
oddziaływań termicznych na dz
wigary skrajne
narażone na bezpośrednie oddziaływanie
promieniowania słonecznego.
0
0.5
1
0 0.5 1 1.5
Temperatura [-]
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY - Dy
WIGAR ZESPOLONY -Typ 2
3
f2(z) := 0 if 0�"mm < z + zc < hi
"
i = 1
3 4
0 if hi d" z + zc < hi - 0.3�"h4
" "
i = 1 i = 1
2
7
Ą# ń#
ó#
hi - + zc
(z )Ą#
ó# Ą#
"
4 k
ó# i = 1 Ą#
if hi - 0.3�"h4 d" z + zc < hi
ó#h7 + h6 + h5 + 0.3�"h4 - 1Ą#
" "
Ł# Ś#
i = 1 i = 1
0 otherwise
WysokoS
ć przekroju [m]
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 2
Rozkład typu 2 należy stosować przy
0.5
analizie oddziaływań termicznych na
wszystkie dz
wigary zespolone.
0
0.5
1
0 0.5 1
Temperatura [-]
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY - Dy
WIGAR ZESPOLONY - Typ 3
5
f3(z) := 0 if 0�"mm < z + zc < hi
"
i = 1
k
hi - + zc
(z )
"
5 k
i = 1
1 - if hi d" z + zc < hi
" "
h6 + h7
i = 1 i = 1
0 otherwise
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 3
1 Rozkład typu 3 jest stosowany jako rozkład
zastępczy dla rozkładu typu 2.
0.5
0
0.5
1
0.5 0 0.5 1
Tempratura [-]
WysokoS
ć przekroju [m]
WysokoS
ć przekroju [m]
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 4
5
f4(z) := 0 if 0mm < z + zc < hi
"
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 4
i = 1
1
5 k
1 if hi d" z + zc < hi
" "
i = 1 i = 1
0.5
0 otherwise
Rozkład typu 4 jest aktualnie stosowanym
rozkładem zgodnie z PN-85/S-10030 "Oniekty
mostowe. Obciążenia." 0
0.5
1
0 0.5 1
Temperatura [-]
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 5
f5(z) := 0 if 0mm < z + zc < Hc - 50�"cm
z + zc - Hc + 50�"cm
if Hc - 50�"cm d" z + zc < Hc
50�"cm
0 otherwise
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 5
1
0.5
0
0.5
1
0.5 0 0.5 1
Temperatura [-]
WysokoS
ć przekroju [m]
WysokoS
ć przekroju [m]
f51(z) := 0 if 0mm < z + zc < Hc - 10�"cm
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 5.1
z + zc - Hc + 10�"cm
- if Hc - 10�"cm d" z + zc < Hc 1
10�"cm
0 otherwise
0.5
0
0.5
1
1 0.5 0 0.5
Temperatura [-]
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 6
5
�" + zc - Hc + 10�"cm
(z )
7 12
f6(z) := + if Hc - 10�"cm < z + zc d" Hc
12 10�"cm
3
�" + zc - Hc + 20�"cm
(z )
1 12
+ if Hc - 20�"cm d" z + zc d" Hc - 10�"cm
3 10�"cm
1
�" + zc - Hc + 30�"cm
(z )
1 6
+ if Hc - 30�"cm d" z + zc d" Hc - 20�"cm
6 10�"cm
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 6
1
�" + zc 1
(z )
6
if 0cm d" z + zc d" Hc - 30�"cm
�"
Hc - 30�"cm
0 otherwise
0.5
0
0.5
1
0 0.5 1
Temperatura [-]
WysokoS
ć przekroju [m]
WysokoS
ć przekroju [m]
f61(z) := 0 if 0mm < z + zc < Hc - 50�"cm
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 6.1
z + zc - Hc + 50�"cm
- if Hc - 50�"cm d" z + zc < Hc 1
50�"cm
0 otherwise
0.5
0
0.5
1
1 0.5 0 0.5
Temperatura [-]
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 7
�#1 - 4ś#
ś# ź#�" + zc - Hc + 0.6�"gp
(z )
4 t
f7 gp, t := + if Hc - 0.6�"gp < z + zc d" Hc
(z, )t �# #
0.6�"gp
4
�" + zc - Hc + gp + 40�"cm
(z )
t
if Hc - 40�"cm - gp d" z + zc d" Hc - 0.6�"gp
gp + 40�"cm - 0.6gp
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 7
0 otherwise
1
0.5
0
0.5
1
0.5 0 0.5 1 1.5 2
Temperatura [-]
WysokoS
ć przekroju [m]
WysokoS
ć przekroju [m]
Hc - + zc
(z )
f71 gp, t := -1 + if Hc - 0.6�"gp < z + zc d" Hc
(z, )
0.6�"gp
0 if Hc - gp < z + zc d" Hc - 0.6�"gp
8
�" + zc - Hc + gp + 40�"cm
(z )
8 t
- + if Hc - 40�"cm - gp d" z + zc d" Hc - gp
t 40�"cm
8
- otherwise ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 7.1
t
1
0.5
0
0.5
1
2 1.5 1 0.5 0
Temperatura [-]
ROZKA
AD JEDNOSTKOWY - NORMATYWNY - Typ 8
2.5�" + zc
(z )
f8(z) := 2.5 - if 0m < z + zc d" 0.2�"m
�"
0.2�"m
0 if 0.2�"m < z + zc d" 3.6�"m
3�" + zc - 3.6�"m
(z )
if 3.6�"m < z + zc d" 3.85�"m
0.25�"m
10�" + zc - 3.85�"m
(z )
3 + if 3.85�"m < z + zc d" 4m
�"
0.15�"m
0 otherwise
WysokoS
ć przekroju [m]
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 8
1
0.5
0
0.5
1
0123
Temperatura [-]
- 3.75�"m
(z + zc)
f81(z) := -0.5 - 7.9�" if 3.75�"m < z + zc d" Hc
0.25�"m
- 3.55�"m
(z + zc)
-0.5�" if 3.55�"m < z + zc d" 3.75�"m
0.20�"m
0 if 450�"mm < z + zc d" 3.55�"m
- 250�"mm
(z + zc)
-1.0 + 1.0�" if 250�"mm < z + zc d" 450�"mm
0.20�"m
z + zc
-6.5 + 5.5�" if 0mm < z + zc d" 250�"mm
�"
0.25�"m
0 otherwise
ROZKŁAD JEDNOSTKOWY - Typ 8.1
1
0.5
0
0.5
1
8 6 4 2 0
Temperatura [-]
WysokoS
ć przekroju [m]
WysokoS
ć przekroju [m]
PRZYJ
CIE ROZKA
ADU TEMPERATURY NA WYSOKOŚCI PRZEKROJU
f(z) := f1(z)
PRZYJ
CIE MAKSYMALNEJ RÓŻNICY TEMPERATURY NA WYSOKOŚCI PRZEKROJU
(czynnik skalujący)
Maksymalna róznica temperatur na wysokosci przekroju
"Tmax a" 15�"K
ROZKŁAD TEMPERATURY
1
0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20
Temperatura [st. C]
WARTOŚCI ODKSZTAA
CEC
I NAPR
ŻEC
TERMICZNYCH W PRZEKROJU
Hc-zc
"Tmax #
E(z)
�#
- 5
A := �"�# �"f(z)�"ą(z)�"b(z) dz
A = 2.617 � 10
Ac Ep
�#
!#- zc
Hc-zc
"Tmax #
E(z) 1
- 5
�#
B := �"�# �"f(z)�"ą(z)�"b(z)�"z dz B = -4.426 � 10
Jc Ep m
�#
!#- zc
Odkształcenia całkowite:
�s(z) := ą(z)�""Tmax�"f(z)
Odkształcenia całkowite:
�c(z) := A + B�"z
Odkształcenia wzbudzone:
�w(z) := �c(z) - �s(z)
Naprężenia termiczne:
�T(z) := + B�"z - ą(z)�""Tmax�"f(z)
(A )�"E(z)
WysokoS
ć przekroju [m]
z := -zc + 0.1�"mm, -zc + 0.2�"mm ..Hc - zc - 0.1mm j := 1 ..6
Wektor punktów charakterystycznych na wysokości przekroju:
vj :=
-zc + Hc - 0.1�"mm
-zc + Hc - h6 - h7 + 0.1�"mm
-zc + Hc - h6 - h7 - 0.1�"mm
-zc + Hc - h5 - h6 - h7 - 0.1�"mm
-zc + h1 + h2 + h3 + 0.1�"mm
-zc + 0.1�"mm
Liczba podziałów wysokości przekroju:
lmax := 10000
Ciąg indeksów wektora włókien:
l := 1 ..10000
Hc
Przyrost
"h := "h = 0.142 mm
lmax + 1
wysokości:
Wektor współrzędnych wysokościowych poszczególnych włókien:
hl := -zc + l�""h
Hc - zc - hl = 0.142 mm hl = 0.58 m
max max
Rozkład temperatury Odkształcenia swobodne
1 1
0.5 0.5
0 0
0.5 0.5
1 1
0 5 10 15 20
.10 4
02
Odkształcenia wymuszone Odkształcenia całkowite
1 1
0.5 0.5
0 0
0.5 0.5
1 1
.10 4 1 .10 4 5 .10 5 0 .10 5 4 .10 5 6 .10 5 8 .10 5
1.5 0 2
NAPRĘŻENIA TERMICZNE
0.5
Włóknaj :=
�T vj =
( )
0.016 MPa
"Górne włókna betonu"
0.448
"Dolne włókna betonu"
0
2.821
"Górne włókna stali"
2.485
"Górne włókna S
rodnika"
2.92
"Dolne włókna S
rodnika"
3.756
"Dolne włókna stali"
0.5
1
30 20 10 0 10
Naprężenia [MPa]
E - zc - 40�"cm + 0.001�"mm
(H )
c
�T c - zc - 40�"cm + 0.001�"mm = -11.8 MPa
(H )�"
Ep
WARTOŚCI NAPR
ŻEC
TERMICZNYCH EKSTREMALNYCH W PRZEKROJU
Zl := �T hl
( )
�max := max(Z) �max = 3.755 MPa
Naprężenia maksymalne:
Naprężenia minimalne:
�min := min(Z) �min = -23.371 MPa
WysokoS
ć przekroju