Prawa rachunku zdań, tautologie rachunku zdań, zdania sformalizowanego języka
rachunku zdań, których wartość logiczna
niezależna od wartości logicznych
występujących w nich zdań prostych
jest zawsze równa 1.
Jak zapewne wiesz zdanie logiczne może przyjmować dwie wartości: zdanie
prawdziwe
1 lub zdanie fałszywe
0. Zdania proste rozpatruje się na różne
sposoby w zależności od zagadnienia. Ważny jest jednak ostateczny wynik.
Poniżej będziesz miała tabele w których pokaże Ci sposoby rozpatrywania zdań
logicznych i matematyczne przykłady i rozwiązywania. To jest dział matematyki
związany ściśle z logiką, co sprawia, że na jedno wychodzi. W matematycznych
zagadnieniach łatwiej jest to zrozumieć. Pamiętaj ! Tautologia jest wtedy, gdy
ostateczny wynik jest równy 1. Tylko wtedy. Ciąg zdarzeń w wyniku którego
wychodzi 0, czyli fałsz nie jest tautologią i tym samym prawem rachunku zdań.
Nie wiem jak daleko zabrnęliście w tym temacie i jakie prawa
wykorzystywaliście. Dlatego też opisze podstawy i jeśli one wystarczą to
dobrze, jeśli nie to napisz jakie prawa macie a ja Ci je opisze osobno, chociaż
podejrzewam, że oprócz praw De Morgana nie braliście nic więcej. Wszystkich
praw jest 19. Dobra zaczynamy:

Zdaniem nazywamy wyrażenie któremu możemy przypisać cechę prawdy lub fałszu (1
lub 0).
Oznaczenia:
p, q, v, s
oznaczenia zdań
~ - nieprawda że..
^ - i
í
lub
...=>...
jeżeli .... to
...<=>...
wtedy i tylko wtedy
Wszystkie te oznaczenia nazywane sÄ… funktorami zdaniowymi.

Zdanie postaci ~p nazywamy zaprzeczeniem lub negacjÄ… zdania p.

p
~p
1
0
0
1

Co to oznacza. Jeżeli ktoś powie "Jaś to pierdoła" i Ty wiesz, że tak jest
naprawdę to zdanie p ma wartość 1 a negacja mówi : nieprawda że p (~p) czyli
Jaś nie jest pierdołą i odwrotnie. Czyste zaprzeczenie. Kolumną finałową jest
kolumna ostatnia czyli prawa. Czy jest to tautologia? Nie, bo w prawej kolumnie
najpierw jest zero a potem jeden. Tautologia byłaby wtedy gdyby w prawej
kolumnie były dwie 1.

Zdanie postaci p ^ q nazywamy koniunkcją zdań.

p
q
p ^ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0

Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa jeśli obydwa zdania są prawdziwe.

Co tu widać? W tabeli w dwóch pierwszych kolumnach wykorzystane są wszystkie
możliwe kombinacje dwóch różnych zdań. Znów: p
"Jaś to pierdoła", q

"Marysia to sierotka". Pierwszy wiersz mówi , że obydwa zdania są prawdzie i
ich koniunkcja (czyli inaczej mówiąc część wspólna, działanie polegające na
koniunkcji jest prawdziwe ), dalej p
jest prawdziwe a q
nieprawdziwe

koniunkcja jest fałszem. Analogicznie pozostałe dwa wiersze.
Tak jest zawsze, tą tabelkę trzeba znać na pamięć, to jest jak wzór, patrzysz
tylko co ma być ze zdaniami zrobione, podstawiasz do danej tabelki i wiesz jaki
będzie wynik. Na koniec pokaże Ci przykład

Zdanie postaci p í q nazywamy alternatywÄ… zdaÅ„ (p lub q )

p
q
p í q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0

Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, jeżeli przynajmniej jedno zdanie jest
prawdziwe.

Znowu dwie pierwsze kolumny pokazują wszystkie możliwe kombinacje dwóch zdań, p
i q, a trzecia kombinacja pokazuje wynik alternatywy między nimi. I to jest
kolejny wzór, nie ma sensu wnikać dlaczego tak jest, po prostu jest i koniec.

Zdanie postaci p <=> q nazywamy równoważnością zdań

p
q
p<=>q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1

Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa jeżeli obydwa zdania mają tę samą
wartość logiczną (czyli obydwa są prawdziwe, albo obydwa są fałszywe).

Zdanie postaci p => q nazywamy implikacją zdań


p
q
p => q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1

p
poprzednik implikacji
q
następnik implikacji

Implikacja jest prawdziwa zawsze oprócz sytuacji gdy "z prawdy wynika fałsz"
(wiersz 2, zdanie p było prawdziwe a po implikacji powstało zdanie q, które
jest fałszywe)



Teraz dwa prawa De Morgana :

Zaprzeczenie koniunkcji jest równoważne alternatywie zaprzeczeń

~ (p ^ q) < = > (~p) v (~q)

rysujemy tabelkÄ™:

1
2
3
4
5
6
7
8
p
q
p ^ q
~(p ^ q)
~p
~q
(~p) v (~q)
I pr. De Morgana
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Kolumny 1 i 2 to wszystkie możliwe kombinacje tych dwóch zdań. Kolumna trzecia
to koniunkcja p i q, bierze się więc pod uwagę kolumnę 1 i 2 i korzystając z
pkt. 2, z gotowego wzoru otrzymuje siÄ™ wynik. Kolumna 4 jest zaprzeczeniem
kolumny 3, czyli wszystko jest odwrotnie niż w kolumnie 3. Kolumna 5 to
zaprzeczenie kolumny 1, a 6 kolumny 2. Kolumna 7 to alternatywa tego co
dostałaś w kolumnach 5 i 6, a korzystasz z tabelki w pkt. 3. Kolumna ostatnia,
czyli 8, jest ostatecznym wynikiem czyli równoważnością (<=>). Zauważ , że
najpierw robisz to co jest w nawiasach, zresztą kolejność nie mogłaby być inna
i tak jak po schodkach dochodzisz do końca. Co otrzymałaś??? TAUTOLOGIE , bo w
ostatniej finałowej kolumnie są same 1.
Jak sama na spokojnie to wszystko przeanalizujesz to dojdziesz do wniosku, że
znając kilka wzorów (tabelek) można roztrzaskać każde zadanie.

( II pr. De Morgana) Zaprzeczenie alternatywy jest równoważne koniunkcji
zaprzeczeń.

~ (p v q) < = > (~p) ^ (~q)

Znowu tabelka (inaczej się tego nie rozwiąże)


1
2
3
4
5
6
7
8
p
q
p v q
~(p v q)
~p
~q
(~p) v (~q)
I pr. De Morgana
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1

I znowu osobno rozgryzamy lewÄ… i prawÄ… stronÄ™ znaku <=> . Najpierw nawiasy w
środku, a potem to co między nimi korzystając z gotowych wzorów. I znowu
widzimy tutaj tautologie, ostatnia wynikowa kolumna to same 1.

Teraz przykład nie będący prawem:

Mamy sprawdzić czy podane zdanie jest tautologią

(p => q ^ q => p) < => (p < => q)

tabelka


1
2
3
4
5
6
7
p
q
p =>q
q =>p
(p =>q ^ q =>p)
p <=> q
(p=>q ^ q=>p) <=> (p <=> q)
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1


I opisujemy. Kolumny 1 i 2 to wszystkie możliwe kombinacje dwóch różnych zdań,
są tylko dwa więc mając do wyboru tylko dwie opcje prawda lub fałsz możemy je
ustawić na cztery sposoby pierwsze prawdziwe i drugie prawdziwe, pierwsze
prawdziwe a drugie fałszywe, pierwsze fałszywe a drugie prawdziwe i obydwa
fałszywe. Następnie zajmujemy się lewą stroną i mamy tam jeden nawias a w nim
trzy "działania" dwie implikacje i jedną koniunkcję. Z tym, że zauważ, w
kolumnie 3 jest p=>q a w 4 odwrotnie, to jest oczywiście różnica, w 3 kolumnie
punktem wyjściowym jest kolumna 1 i z niej "przechodzimy" do 2, a w czwartej
odwrotnie. W 5 kolumnie jest koniunkcja tego co dostałaś w dwóch
wcześniejszych, więc kolejność działań jest oczywista, nie zrobisz działań w
kolumnie 3 i 4 nie zrobisz 5-tki, bo w niej posługujesz się wynikami dwóch
poprzednich. Wszystko oczywiście robisz na podstawie wzorów opisanych na
początku. Lewą stronę masz gotową, teraz prawa, kolumna 6 to równoważność p i
q, a więc kolumny pierwszej i drugiej, na podstawie wzoru :-) . Ciągle to
powtarzam ale nie chcę żebyś miała wątpliwości. Kolumna 7 to równoważność całej
lewej i prawej strony, a więc kolumny 5 i 6. Co widzisz?? Tautologia . Gdyby
było chociaż jedno zero, tautologii by nie było.

Wszystkie zagadnienia logiczne z którymi się spotkałem sprowadzały się do
sprawdzenia równoważności lewej i prawej strony. Sprawdzasz czy to co
"powiedział facet po lewej stronie muru zgadza się z tym co mówi drugi po jego
prawej stronie". Już lepiej chyba nie umiem tego wytłumaczyć :-)).
Jeśli będą jakieś pytania proszę o ich sprecyzowanie w mailu a resztę dogadamy
na mIRCu. Musisz sobie to wszystko dokładnie i spokojnie przestudiować. To jest
proste, schematyczne.
Nie opisywałem kwantyfikatorów, nie wiem czy je macie, wydaje mi się że chyba
raczej nie, ale gdyby.... wiesz co zrobić:-).