Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Logiczne podstawy prawoznawstwa
Piotr A
ukowski
1
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
WYKA
AD 8
klasyczny rachunek kwantyfikatorów
2
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Ludwik Borkowski, Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154
(cienka ksią\
ka)
Nie korzystamy z ksią\
ki Ziembińskiego!
3
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Kwantyfikatory o ograniczonym zakresie
"Q(x) P(x) "! "x (Q(x) P(x))
Przykład
Ka\
dy słoń ma trąbę = Ka\
dy x jeśli x jest słoniem, to x ma trąbę.
"Q(x) P(x) "! "x (Q(x) '" P(x))
Przykład
Pewien słoń ma trąbę = Pewien x jest słoniem i x ma trąbę.
Uwaga:
Ograniczenie kwantyfikatora działa jak określenie dziedziny. Wszystkie prawa rachunku
kwantyfikatorów zachowują swą wa\
ność, gdy kwantyfikatory będą miały (konsekwentnie)
ograniczony zakres.
"x "y = "x,y
"x "y = "x,y
4
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
zdanie prawdziwe zdanie fałszywe
diagramy Venna
"x P(x)
"x P(x)
"x ŹP(x)
"x ŹP(x)
5
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zadanie Wykazać:
- niezawodność schematu rozkładu kwantyfikatora szczegółowego na koniunkcję
"x (P(x) '" Q(x)) "x P(x) '" "x Q(x)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli istnieje [jakaś] koszula w paski z
zielonymi guzikami, to istnieje [jakaś] koszula w paski i istnieje [jakaś] koszula z zielonymi guzikami.
- zawodność schematu
("x P(x) '" "x Q(x)) "x (P(x) '" Q(x))
Kontrprzykład (przykład obalający, falsyfikujący) (ma moc dowodu): jeśli istnieje jakaś matka i istnieje
jakiś ojciec, to nie znaczy \
e istnieje ktoś, kto jest jednocześnie ojcem i matką.
6
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Wyjaśnienie:
Pojedynczy przykład potwierdzający dany schemat nie jest dowodem na jego niezawodność,
gdy\
poza nim mo\
e istnieć inny przykład, który ten schemat obali (przykład obalający, czyli
kontrprzykład). Siłę dowodu ma dopiero sytuacja, w której wszystkie mo\
liwe przykłady byłyby
przykładami potwierdzającymi. Naturalnie, siłę dowodu obalającego niezawodność schematu
(czyli stwierdzającego jego zawodność) ma ju\
jeden przypadek obalający.
7
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu wyciągania kwantyfikatora ogólnego przed alternatywę
("x P(x) (" "x Q(x)) "x (P(x) (" Q(x))
(załó\
my fałszywość wniosku)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli ka\
da zebra ma paski lub ka\
da
zebra ma cętki, to ka\
da zebra ma paski lub cętki.
- zawodność schematu
"x (P(x) (" Q(x)) ("x P(x) (" "x Q(x))
Kontrprzykład (przykład obalający, falsyfikujący) (ma moc dowodu): jeśli ka\
dy dorosły człowiek jest
kobietą lub mę\
czyzną, to nie znaczy, \
e ka\
dy dorosły człowiek jest kobietą lub ka\
dy dorosły człowiek jest
mę\
czyzną (jeśli wszyscy dorośli ludzie są kobietami lub mę\
czyznami, to nie znaczy, \
e wszyscy dorośli
ludzie to kobiety lub wszyscy dorośli ludzie to mę\
czyz
ni).
8
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na koniunkcję
"x (P(x) '" Q(x)) "! ("x P(x) '" "x Q(x))
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): powiedzieć, \
e ka\
da zebra ma paski i
kopyta, to to samo, co powiedzieć, \
e ka\
da zebra ma paski i ka\
da zebra ma kopyta.
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora szczegółowego na alternatywę
"x (P(x) (" Q(x)) "! ("x P(x) (" "x Q(x))
(rozwa\
my fałszywość jednej strony, potem
fałszywość drugiej strony)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): powiedzieć, \
e istnieje słoń co ma
trąbę lub skrzydła, to to samo, co powiedzieć, \
e istnieje słoń co ma trąbę lub istnieje słoń co ma skrzydła.
9
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
zdanie prawdziwe zdanie fałszywe
"x (P(x) Q(x))
Przypomnienie:
tautologią klasycznego rachunku zdań jest
Ź(p q) "! (p '" Źq).
10
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu rozkładania kwantyfikatora ogólnego na implikację
"x (P(x) Q(x)) ("x P(x) "x Q(x))
(dowód nie wprost - zakładamy prawdziwość obu
przesłanek: "x (P(x) Q(x)) i "x P(x); oraz fałszywość
wniosku "x Q(x). Mamy wówczas dwa przypadki, tak jak
na rysunkach. W obu dochodzimy do sprzeczności - nie
mo\
e bowiem być tak, aby coś nale\
ało do zbioru
pustego.)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli ka\
dy kto jest zaszczepiony
przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli ka\
dy jest zaszczepiony przeciwko ospie, to ka\
dy jest
odporny na wirusa ospy.
11
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu
"x (P(x) Q(x)) ("x P(x) "x Q(x))
(załó\
my prawdziwość obu przesłanek
"x (P(x) Q(x)) oraz "x P(x)
- sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny)
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli ka\
dy kto jest zaszczepiony
przeciwko ospie jest odporny na wirusa ospy, to jeśli ktoś jest zaszczepiony przeciwko ospie, to ktoś jest
odporny na wirusa ospy.
- niezawodność schematu
("x (P(x) Q(x)) '" "x (Q(x) S(x)))
"x (P(x) S(x))
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli ka\
dy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny
na wirusa ospy, i ka\
dy odporny na wirusa ospy mo\
e bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę, to ka\
dy
zaszczepiony przeciwko ospie mo\
e bez ryzyka zachorowania kontaktować się z chorymi na ospę.
12
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
- niezawodność schematu
("x (P(x) Q(x)) '" "x (P(x) '" S(x)))
"x (Q(x) '" S(x))
Przykład potwierdzający (weryfikujący) (nie ma mocy dowodu): jeśli ka\
dy zaszczepiony przeciwko ospie jest odporny
na wirusa ospy, i pewien kominiarz jest zaszczepiony przeciwko ospie, to pewien kominiarz jest odporny na wirusa ospy.
13
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Zamiana kwantyfikatorów
niezawodne schematy:
"x "y P(x,y) "! "y "x P(x,y)
"x "y P(x,y) "! "y "x P(x,y)
"x "y P(x,y) "y "x P(x,y)
Przykłady potwierdzające:
Ka\
dy ka\
demu wilkiem = Ka\
demu ka\
dy wilkiem.
Ktoś kogoś kocha = Ktoś jest kochany przez kogoś.
(P(x,y) mo\
emy tu czytać, albo jako  x kocha y , albo  y jest kochany przez x )
Jeśli ktoś jest ojcem ka\
dego człowieka, to ka\
dy człowiek ma ojca.
zawodny schemat:
"x "y P(x,y) "y "x P(x,y)
Kontrprzykład:
To \
e ka\
dy kogoś kocha, nie implikuje tego, \
e ktoś jest kochany przez ka\
dego.
14
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
 P jest tu dowolnym(!) predykatem,
który  gwarantuje dowolność kontekstu
Identyczność
zwrotność identyczności
"x (x = x)
symetryczność identyczności
"x,y (x = y y = x)
przechodniość identyczności
"x,y,z ((x = y '" y = z) x = z)
zamienialność w ka\
dym kontekście nazw tego samego obiektu
"x,y (P(x) '" x = y) P(y))
(prawo to\
samości Leibniza)
"x,y (P(x) '" ŹP(y)) x `" y)
Uwaga:
Mówienie o dwóch (a więc w domyśle dwóch ró\
nych) identycznych obiektach, to jak mówienie
o mniejszej lub większej połowie. Lepiej jest mówić (myśleć) o tym, \
e dwie ró\
ne nazwy a i b
oznaczają ten sam obiekt: więc zamiast  a i b są sobie równe (są identyczne) lepiej jest mówić
 a jest tym samym co b .
Identyczność jest trywialna!
(zachodzi między obiektem a nim samym)
Nietrywialną relacją jest podobieństwo, czyli identyczność pod jakimś względem
(np. ze względu na jakąś cechę lub przynale\
ność do jakiejś wspólnej klasy).
15
Piotr A
ukowski, Wykład dla studentów prawa
Kwantyfikator jednostkowy
"!x P(x) "! ("x P(x) '" ("x,y (P(x) '" P(y) x = y)))
Istnieje dokładnie jeden x taki, \
e P(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x taki, \
e P(x) oraz dla ka\
dego y,
jeśli P(y), to y jest x-em.
Negacja kwantyfikatora jednostkowego
Ź"!x P(x) "! ("x ŹP(x) (" ("x,y (P(x) '" P(y) '" x `" y)))
16