Stany graniczne
Wewnętrzny stan bryły
Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania
zewnętrzne i reakcje się równoważą.
ą
q
P
P
P
Jednak drugim warunkiem
równowagi jest
przeniesienie przez materiał
bryły naprężeń, które
występują w bryle z
powodu zewnętrznych sił.
P
ą
Wewnętrzny stan bryły
W każdym przekroju bryły mamy ciągłe wzajemne oddziaływania,
które nazywane są naprężeniami.
Przekroje z siłami
Siły wewnętrzne są
wypadkowymi z naprężeń
q
P
wypadkowymi z naprężeń.
q
P
P
M
W
q
P
M
W
q
P
P
W.
T
y
P
T
z
M
x M
y
Przekroje ze
N
M
składowymi sił
z
wypadkowych czyli
Przekroje z naprężeniami
M
siłami wewnętrznymi
Modele materiału
Naprężenia � w przekroju zależą od odkształceń �, będących
wynikiem oddziaływań zewnętrznych. Kształt wykresu,
opisującego tą zależność, decyduje m.in. o klasyfikacji
materiałów.
Materiał z wyraz
ną Materiał bez
Materiał kruchy
granicą plastyczności granicy plastyczności
Przykład  stal
Przykład  stal
Przykład  żeliwo,
niskowęglowa
konstrukcyjna stopowa
beton
Modele materiału
W obliczeniach wykorzystuje się uproszczone modele
materiałów
�
�
�
�
�pl
�
�
�
�
Materiał Materiał idealnie
Materiał idealnie
Materiał
idealnie sprężysty sprężysto-plastyczny
sztywno plastyczny
ze wzmocnieniem
Wewnętrzny stan w przekroju
belki
Stan użytkowania konstrukcji  stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
dopuszczalnych w danym materiale. Przekrój belki
y
z
z
�pl=50000kPa
g=0.06m
A=gh=72�10-4m2  pole przekroju
Jz=gh3/12=864�10-8m4  moment bezwładności
względem osi z
Wz=Jz/(h/2)=144�10-6m3  wskaz
nik
wytrzymałości przy zginaniu względem osi z
Sz=gh/2�h/4=108�10-6m3  moment statyczny
fragmentu przekroju powyżej osi z
i względem osi z
Przykład belki z zestawem sił wewnętrznych
Wewnętrzny stan w przekroju
belki
Stan użytkowania konstrukcji  stan, w którym mamy
pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń
dopuszczalnych w danym materiale.
Naprężenia w ą-ą
ą
My
� = -
� = -
J
Jz
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=5kNm,
q=0.5kN/m, a=2m, b=4m,
Jz=864�10-8m4, y=h/2=0.06m
My 5kNm�"0.06m
y
� = - = - =
Jz 864�"10-8 m4
= -35722kPa
� = - 35722kPa < �
pl
z
�pl=50000kPa
ą
My 5kNm�"0.06m
� = - = =
Jz 864�"10-8 m4
= 35722kPa < �dop
Mmax=0.5qb(a+0.75b)
Sprężysty stan graniczny
nośności,
Jeżeli na konstrukcję działa obciążenie takie, że w najbardziej
wytężonym przekroju zostaje osiągnięta granica sprężystości
czyli w przekroju mamy naprężenia równe �pl, to mówimy, że
został osiągnięty sprężysty graniczny stan nośności.
�
�
y
� = -50000kPa
pl
�pl
z
�
Materiał idealnie
� = 50000kPa
pl
sprężysto-plastyczny
Dla obciążeń od 0 do obciążenia, przy którym nastąpi
osiągnięcie sprężystego stanu granicznego, naprężenia są wprost
proporcjonalne do obciążeń.
Sprężysty stan graniczny
nośności
Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.
My
� = -
Naprężenia w ą-ą
Jz
ą
Naprężenia w skrajnych włóknach:
My
My1
� = -
-górnych
Jz
My2
-dolnych
� = -
Jz
M
� =
Naprężenia maksymalne
Wz
gdzie:
Jz
y Wz =
dla |y1|>|y2|
y1
ą
Jz dla |y2|>|y1|
z
Wz =
y2
Mmax=0.5qb(a+0.75b)
Sprężysty stan graniczny
nośności
Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty
sprężysty stan graniczny.
M
� = = �
Naprężenia maksymalne
Wz pl
ą
gdzie: M=0.5b(a+0.75b)q=10m2q, a=2m,
b=4m, y=h/2=0.06m,
J =gh3/12=864�10-8m4  moment bezwładności
Jz=gh3/12=864�10-8m4  moment bezwładności
względem osi z;
Wz=Jz/(h/2)=144�10-6m3  wskaz
nik
wytrzymałości przy zginaniu względem osi z
10m2q
50000kPa =
q=0.72kN/m
144�"10-6 m3
y
� = -50000kPa = -�
pl
z
ą
� = 50000kPa = �
pl
Mmax=0.5qb(a+0.75b)
Wzrost obciążenia
Wzrost obciążenia może spowodować przekroczenie
naprężeń w części przekroju.
Naprężenia w ą-ą
ą
My
� = -
Jz
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b), a=2m,
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b), a=2m,
�dop=50000kPa
� =50000kPa
b=4m, Jz=864�10-8m4, y=h/2=0.06m
M=5kNm M=9.2kNm
q=0.5kN/m
q=0.92kN/m
M=9.2kNm, q=0.92kN/m
y
� = -35722kPa
� = -63889kPa
� = -50000kPa
Rozkład naprężeń rzeczywisty
c=0.02m
czyli po uwzględnieniu
przekroczenia naprężeń
z
dopuszczalnych i
uplastycznieniu części
przekroju
c
� = 63889kPa
� = 50000kPa
� = 35722kPa < �dop
Rozkład naprężeń bez uwzględnienia
przekroczenia naprężeń dopuszczalnych
Wzrost obciążenia
Wzrost obciążenia może spowodować przekroczenie
naprężeń w części przekroju.
Naprężenia w ą-ą
ą
My
� =
Jz
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=10m2q, a=2m,
gdzie: M=0.5qb(a+0.75b)=10m2q, a=2m,
b=4m, Jz=864�10-8m4, y=h/2=0.06m
�pl=50000kPa
Moment wyznaczony jako moment od
q=0.92kN/m
y
obciążenia ciągłego względem punktu A:
� = -50000kPa
c
�ł h c h 2 h łł
�ł �ł
M =
�ł �ł �ł
pl pl
�ł� �ł
+"�ydA = 2g �" �ł c�ł 2 - 2 �ł + 0.5�"�ł 2 - c�ł� 3 �ł 2 - c�łśł
z
A
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł
A
c=0.02m
2
�ł łł
0.12m 0.02m 2 0.12m
�ł �ł
M = 2�"50000kPa �"0.06m�ł0.02m�ł - �ł �ł - 0.02m�ł śł =
+ 0.5�"
�ł �ł
2 2 3 2
�ł łł �ł łł
�ł śł
�ł �ł
� = 50000kPa
= 9.2kNm
Wzrost obciążenia
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia
uplastycznienia w całym przekroju czyli osiągnięcia stanu, po
którym kolejnym etapem jest utrata nośności przekroju. Taki stan
graniczny nosi nazwę plastycznego stanu granicznego nośności.
q=0.5kN/m
q=1.08kN/m
q=0.92kN/m
y
� = -35722kPa
� = -50000kPa
� = -50000kPa
�pl=50000kPa
h
z A
� = 50000kPa
� = 35722kPa < �dop � = 50000kPa
g
Rozkład naprężeń przed
Moment przeniesiony w
przekroczeniem naprężeń
M = 2(gh / 2)� h / 4
A,o dop
stanie granicznym:
dopuszczalnych
Wzrost obciążenia
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w całym
przekroju czyli osiągnięcia stanu, po którym kolejnym etapem jest utrata nośności
przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności.
Moment przeniesiony w stanie granicznym,
�pl=50000kPa
wyznaczony jako moment od obciążenia
wyznaczony jako moment od obciążenia
ciągłego względem punktu A:
q=???
y
� = -50000kPa
M = = 2(gh / 2)�doph / 4
gr A,gr
+"�ydA = M
h A
Mo = 2(0.06m�"0.12m / 2)�"50000kPa �"0.12m / 4 =
z A
=10.8kPa
Ponieważ M=0.5qb(a+0.75b), a=2m, b=4m,
� = 50000kPa
g
to qmax=MA,o/[0.5b(a+0.75b)]=
=10.8kPa/(0.5�4m (2m+0.75�4m))=1.08kNm
Jeżeli przyjmujemy za wyjściowe obciążenie q=0.5kN/m, to mnożnik
obciążenia granicznego wynosi �G=qmax/q=1.08/0.5=2.16
�
�
�
Przegub plastyczny
Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w
całym przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności. W
przekroju, w którym nastąpiło uplastycznienie całego przekroju powstaje przegub
plastyczny.
� = -50000kPa
h
h
z A
A
Przegub plastyczny
g
� = 50000kPa
Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:
" zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia
oporu przy obrocie;
" przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to
powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny Mgr i pozwala na obrót przekroju.
Przegub plastyczny
Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym:
" zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia
oporu przy obrocie;
" przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to
powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu
przenosi moment graniczny M i pozwala na obrót przekroju.
przenosi moment graniczny Mgr i pozwala na obrót przekroju.
� = -50000kPa
h
z A
Przegub plastyczny
g
� = 50000kPa
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym
q�
przegub zwykły
przegub zwykły
Mgr
q�
przegub zwykły
przegub plastyczny
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
Przegub plastyczny w układzie
statycznie niewyznaczalnym
q�
12ql�
12ql�
Mgr
Mgr
q�
Mgr Mgr
W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który
spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach
statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego
(dystrybucja momentów zginających).
Plastyczny wskaz
nik
wytrzymałości przy zginaniu
Moment graniczny można wyznaczyć ze wzoru
M = y dA =� (S1 + S2 )= 2� S1
gr pl pl pl
+"�ydA = � +"
A A
M M
gr gr
y
� = =
� = =
�
pl
pl
pl
pl
2S W
2S1 Wpl,z
h
z A
gdzie plastyczny wskaz
nik przekroju
przy zginaniu wynosi:
�
pl
Wpl,z = 2S1
g
S1  moment statyczny przekroju powyżej osi z względem osi z
S2  moment statyczny przekroju poniżej osi z względem osi z
S1 = S2
Plastyczny wskaz
nik wytrzymałości
przy zginaniu - prostokąt
y
Wskaz
nik plastyczny prostokąta:
gh2
h/2
Wpl,z = 2S1 = 2A1h / 4 = 2(gh / 2)h / 4 =
h/4
z
4
h
Wskaz
nik sprężysty prostokąta:
gh
gh3
g
Jz 12 gh2
Wz = = =
y1 h / 2 6
Współczynnik kształtu k  iloraz plastycznego wskaz
nika wytrzymałości przy
zginaniu do sprężystego wskaz
nika wytrzymałości. Współczynnik kształtu jest
zawsze większy niż 1.
gh2
Wpl 4
k = = =1.5
W gh2
6
S = Ayc - moment statyczny figury płaskiej można liczyć jako iloczyn pola i
odległości środka ciężkości od osi, względem której liczony jest
moment statyczny.
Badanie zmian w belce pod
wpływem wzrastającego obciążenia
Przykładowa belka z obciążeniem statycznym
2.0kN/m
10kN
2m
2m
3m 6m 4m
3m 6m 4m
�dop=�pl=50000kPa
Wykres �-� dla materiału
E=2�108kPa
Przekrój belki
�
y
idealnie sprężysto-plastycznego
W=Jz/(h/2)=gh2/6=144�10-6m3 
wskaz
nik wytrzymałości przy
z
�pl
zginaniu względem osi z
Wpl=2(gh/2)(h/4)=gh2/4=216�10-6m3
 plastyczny wskaz
nik
Moduł Younga
g=0.06m
wytrzymałości przy zginaniu
E=tg(ą)
ą
względem osi z
�
Wykresy sił wewnętrznych w
zakresie sprężystym
2.0kN/m
MA=-6.45kNm
10kN
A
C
B
D
2m
3m 6m 4m
VB=10.44kN
VB=10.44kN
V =6.03kN
VA=6.03kN
6.47
6.47 VC=6.41kN VD=-0.88kN
0.88
+
6.03 +
T [kN]
-
-
5.53
3.97
6.45 6.30
3.51
M
[kNm]
5.61
4.09
Maksymalne naprężenia normalne
dla danego obciążenia
2.0kN/m
MA=-6.45kNm
10kN
A
C
B
D
2m
3m 6m 4m
VB=10.44kN
VB=10.44kN
V =6.03kN
VA=6.03kN
6.47
6.47 VC=6.41kN VD=-0.88kN
6.45 6.30
3.51
M
[kNm]
�pl
4.09
5.61
Największy moment zginający jest w punkcie A
W=144�10-6m3
�pl=50000kPa
M 6.45kNm
� = = = 44792kN/m2 = 44792kPa
ą
�
W 144�"10-6 m3
Maksymalne naprężenia normalne
dla danego obciążenia
2.0kN/m
MA=-6.45kNm
10kN
A
C
B
D
2m
3m 6m 4m
VB=10.44kN
VA=6.03kN
6.47 VC=6.41kN VD=-0.88kN
6.47 VC=6.41kN VD=-0.88kN
6.45 6.30
3.51
M
[kNm]
y
� = 44792kPa < �
pl
4.09
5.61
h
z
Rozkład naprężeń w przekroju w p. A
� = 44792kPa
� = -44792kPa
g
Dystrybucja momentów zginających
�2.0kN/m
MA=-�6.45kNm
�10kN
A
C
B
D
2m
3m 6m 4m
VB=�10.44k
VA=�6.03kN
6.47 VC=�6.41k VD=-�0.88kN
6.47 VC=�6.41k VD=-�0.88kN
N
N
N
7.20 7.03
3.92
M
[kNm]
� = 50000kPa = �
pl
4.56
6.26
Rozkład
naprężeń w p.A
Proporcjonalne zwiększenie obciążenia, dla
którego mnożnik obciążenia wynosi �
�=1.116. Przy
�
�
�=1.116 osiągamy sprężysty stan graniczny.
�
�
�
� = -50000kPa
Dystrybucja momentów zginających
�2.0kN/m
MA=-�6.45kNm
�10kN
A
C
B
D
2m
3m 6m 4m
VB=�10.44k
VA=�6.03kN
6.47 VC=�6.41k VD=-�0.88kN
6.47 VC=�6.41k VD=-�0.88kN
N
N
N
10.8 10.55
5.88
M
[kNm]
6.84 � = 50000kPa = �
pl
9.39
Rozkład
naprężeń w p.A
M = Wpl,z� = 216�10-6m3 �"50000kPa =10.8kNm
gr pl
Mgr zostanie uzyskane przy mnożniku obciążenia �
�=1.674
�
�
� = -50000kPa
Dystrybucja momentów zginających
M = 10.8kNm
�2.0kN/m
gr
�10kN
�=1.674
�
�
�
C
Mgr = B
A
D
-10.8kNm
K L
2m
3m 6m 4m
VB=17.48kN
VA=10.09kN
6.47 VC=10.73kN VD=-1.47kN
6.47 VC=10.73kN VD=-1.47kN
10.8 10.55
5.88
M
[kNm]
9.39
6.84
Punkt L
Punkt A
Punkt K
Punkt B
� = 50000kPa = � � = 50000kPa
� = -50000kPa
pl � = -47500kPa
c=0.044m
c=0.022m
� = -50000kPa
� = -50000kPa
� = 50000kPa
� = 47500kPa
Dystrybucja momentów zginających
M = 10.8kNm
�2.0kN/m
gr
�10kN
�=1.674
�
�
�
C
Mgr = B
A
D
-10.8kNm
K L
2m
3m 6m 4m
VB=17.48kN
VA=10.09kN
6.47 VC=10.73kN VD=-1.47kN
6.47 VC=10.73kN VD=-1.47kN
10.8 10.55
5.88
M
[kNm]
9.39
6.84
Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt B.
Moment zginający wynosi M=10.55kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
Mgr=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.019 (siła skupiona w p. K
i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:
�=1.674�"
� �"
� �"1.019=1.706
� �"
Dystrybucja momentów zginających
M = 10.8kNm
�2.0kN/m
gr
�10kN
�=1.674�"
� �"
� �"1.019=1.706
� �"
C
Mgr = B
A
D
-10.8kNm
K -Mgr -Mgr
L
2m
3m 6m 4m
VB=17.86kN
VA=10.24kN
6.47 VC=10.92kN VD=-1.49kN
6.47 VC=10.92kN VD=-1.49kN
10.8 10.8
5.97
M
[kNm]
9.67
6.97
Punkt L
Punkt A
Punkt K
Punkt B
� = 50000kPa = � � = 50000kPa
� = -50000kPa
pl � = -48403kPa
c=0.026m
� = -50000kPa
� = -50000kPa
� = 50000kPa
� = 48403kPa
Dystrybucja momentów zginających
M = 10.8kNm
�2.0kN/m
gr
�10kN
�=1.706
�
�
�
C
Mgr = B
A
D
-10.8kNm
K -Mgr -Mgr
L
2m
3m 6m 4m
VB=17.86kN
VA=10.24kN
6.47 VC=10.92kN VD=-1.49kN
6.47 VC=10.92kN VD=-1.49kN
10.8 10.8
5.97
M
[kNm]
9.67
6.97
Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt K.
Moment zginający wynosi M=9.67kNm. W celu uzyskania wartości granicznej
Mgr=10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem 1.055 (siła skupiona w p. K
i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi:
�=1.706�"
� �"
� �"1.055=1.8
� �"
Dystrybucja momentów zginających
�10kN
Mgr
M = 10.8kNm
�2.0kN/m
gr
�=1.706�"
� �"
� �"1.055=1. 8
� �"
Mgr
C
Mgr = B
A
D
-10.8kNm
K -Mgr -Mgr
L
2m
3m 6m 4m
VB=18.55kN
VA=10.8kN
6.47 VC=11.42kN VD=-1.62kN
6.47 VC=11.42kN VD=-1.62kN
10.8 10.8
6.48
M
[kNm]
10.8
7.56
Punkt L
Punkt C
Punkt A
Punkt K
Punkt B � = -50000kPa
� = 50000kPa = � � = 50000kPa � = 43750kPa = �
pl pl
� = -50000kPa
c=0.003m
� = -50000kPa
� = 50000kPa = �
� = -50000kPa
pl
� = 50000kPa
� = -43750kPa
Dystrybucja momentów zginających
�10kN
Mgr
M = 10.8kNm
�2.0kN/m
gr
�=1. 8
�
�
�
Mgr
C
Mgr = B
A
D
-10.8kNm
K -Mgr -Mgr
L
2m
3m 6m 4m
VB=18.76kN
VC=11.7kN
VA=10.8kN
6.47 VD=-1.62kN
6.47 VD=-1.62kN
Przegub, który byłby wprowadzony jako kolejny,
gdyby nie uzyskanie geometrycznej zmienności
pomiędzy punktami A i B.
10.8 10.8
6.48
M
[kNm]
10.8
7.56
Układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny czyli układ na rysunku po wstawieniu trzech
przegubów stałby się statycznie wyznaczalny, gdyby nie fakt, że akurat taki układ przegubów powoduje,
że po lewej stronie podpory B mam już mechanizm (układ jest geometrycznie zmienny), a po lewej układ
jest przesztywniony. A więc w ten sposób osiągnięty został plastyczny stan graniczny a � �
�=1. 8=�G
� �
� �
i jest graniczny mnożnik obciążenia.
Graniczny mnożnik obciążenia
�10kN
Mgr �2.0kN/m
M = 10.8kNm
gr
Mgr
Mgr = B
C
A
D
-10.8kNm
K -Mgr -Mgr Mgr
L
2m
3m 6m 4m
VB=18.76kN
VA=10.8kN
VC=11.7kN VD=-1.62kN
VC=11.7kN VD=-1.62kN
Graniczny mnożnik obciążenia:
�G=1.8
�
�
�
�s <�G< �k
� <� �
� <� �
� <� �
Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:
�s  statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji
�
�
�
powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż Mgr
�k  kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w
�
�
�
konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=Mgr, ale jednak jest
tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia �k wykorzystuje się zasadę prac
�
�
�
wirtualnych Lz=-Lw
Graniczny mnożnik obciążenia
�10kN
Mgr �2.0kN/m
M = 10.8kNm
gr
Mgr
Mgr = B
C
A
D
-10.8kNm
K -Mgr -Mgr Mgr
L
2m
3m 6m 4m
VB=18.76kN
VA=10.8kN
VC=11.7kN VD=-1.62kN
VC=11.7kN VD=-1.62kN
Graniczny mnożnik obciążenia:
�G=1.8
�
�
�
�s <�G< �k
� <� �
� <� �
� <� �
Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek:
�s  statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji
�
�
�
powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających,
które nie mogą być większe w układzie niż Mgr
�k  kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w
�
�
�
konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy M=Mgr, ale jednak jest
tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia �k wykorzystuje się zasadę prac
�
�
�
wirtualnych Lz=-Lw
"P �"uk = "M �i
k gr
k i
Graniczny mnożnik obciążenia
Twierdzenie statyczne
Jeżeli dla danego obciążenia może być znalezione pole momentów, spełniających
warunki równowagi i nie przekraczających wartości M0, to konstrukcja nie ulegnie pod
tym obciążeniem zniszczeniu, lecz co najwyżej osiągnie stan granicznej nośności.
Wniosek:
Każdy statyczny mnożnik obciążenia �s jest mniejszy lub co najwyżej równy
Każdy statyczny mnożnik obciążenia �s jest mniejszy lub co najwyżej równy
rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu �G. Oszacowanie następuje od dołu (zbliżamy
się do maksimum).
Twierdzenie kinematyczne
Konstrukcja idealnie plastyczna ulegnie zniszczeniu pod wpływem danego obciążenia
jeśli można znalez
ć taki mechanizm, dla którego praca obciążeń zewnętrznych będzie
większa niż praca jaką mogą wykonać siły wewnętrzne.
Wniosek:
Każdy kinematyczny mnożnik obciążenia �k jest mniejszy lub co najwyżej równy
rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu �G. Oszacowanie następuje od góry (zbliżamy
się do minimum).
Koniec