Rachunek prawdopodobieostwa  elementy kombinatoryki
Początki rachunku prawdopodobieostwa związane są z grami losowymi, do których należy na
przykład gra w kości, i chęcią poznania szansy wygranej.
Przykład 1:
Wez
my pod uwagę sytuację, gdy rzucamy dwiema monetami, np. dwuzłotówką i pięciozłotówką.
Chcemy znad ilośd możliwych wyników tego doświadczenia.
Niech  o oznacza otrzymanie orła, a  r - reszki na monecie dwuzłotowej, natomiast  O  orła, a
 R  reszki na monecie pięciozłotowej.
Mamy 4 możliwe wyniki doświadczenia: oO, Or, rO, rR.
Aby obliczyd ilośd wyników doświadczenia w powyższej sytuacji można skorzystad z twierdzenia.
Twierdzenie (Reguła mnożenia):
Jeżeli zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to liczba różnych par (x,y) takich, że xõA
oraz yõB jest równa m"n.
W przykładzie 1 zbiór A składa się z elementów  o i  r , natomiast zbiór B z elementów  O i  R .
Ilośd elementów w każdym ze zbiorów wynosi 2, więc ilośd możliwych wyników wynosi 2"2=4.
Przykład 2:
Na ile sposobów możemy ustawid na półce trzy książki w różnej kolejności?
Oznaczmy te książki kolejno literami a, b, c i wypiszmy wszystkie możliwości:
abc acb bac bca cab cba
Czyli książki te możemy ustawid na 6 sposobów. Warto zauważyd, że w każdej z możliwości, każdej z
książek użyliśmy tylko raz.
W tym przykładzie podaliśmy wszystkie trzywyrazowe ciągi, jakie można utworzyd, przestawiając
litery a,b,c. Takie ciÄ…gi nazywamy permutacjami.
Definicja 1:
Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich
elementów tego zbioru.
Twierdzenie:
Wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest n! (czytaj: n silnia).
Definicja 2:
Dla n>1 sumbol n! oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n:
5Ø[Ü! = 1 " 2 " 3 ". . ." 5Ø[Ü.
Przyjmujemy również, że 0!=1 i 1!=1.
W przykładzie 2 ilośd możliwości możemy policzyd w następujący sposób:
3!=1"2"3=6
(Jest tak, ponieważ nasz zbiór składa się z trzech elementów, czyli trzech książek)
Przykład 3:
Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, H, przy czym
litery nie mogą się powtarzad. Ile jest takich kodów?
Na pierwszym miejscu możemy wpisad jedną z ośmiu liter, na drugim jedną z siedmiu (ponieważ
jedna już została wykorzystana do uzupełnienia pierwszego miejsca), a na trzecim  jedną z
pozostałych liter, czyli jedną z sześciu.
Zatem jest 8 " 7 " 6 = 336 kodów.
Opisane powyżej kody to przykłady wariacji bez powtórzeo.
Definicja 3:
Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n-elementowego zbioru A, gdzie kd"n,
nazywamy k-elementową wariacją bez powtórzeo elementów zbioru A (wariacją bez powtórzeo
zbioru A).
Twierdzenie:
Jeśli kd"n, to wszystkich k-elementowych wariacji bez powtórzeo zbioru n-elementowego jest:
n!
n " (n - 1) " . . ." (n  k + 1) = n-k ! .
W przykładzie 3 ilośd kodów możemy obliczyd używając wzoru z powyższego twierdzenia. W tym
przypadku n wynosi 8 (bo tytle jest liter od A do H), a k wynosi 3 (bo tyle liter wybieramy do
utworzenia kodu). Zatem ilośd kodów wynosi:
8! 8! 1 " 2 " 3 " 4 " 5 " 6 " 7 " 8
= = = 6 " 7 " 8 = 336 .
8 - 3 ! 5! 1 " 2 " 3 " 4 " 5
Przykład 4:
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie mogą występowad tylko cyfry 1 i 2?
Wypiszmy wszystkie możliwości:
111 121 211 221
112 122 212 222
Zatem tych liczb jest 8.
Każdą z trzech cyfr możemy wybrad na dwa sposoby, zatem jest ich 2 " 2 " 2 = 8.
Definicja 4:
Każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzad, utworzony z elementów zbioru A,
nazywamy k-elementową wariacją z powtórzeniami elementów zbioru A (wariacją z powtórzeniami
zbioru A).
Twierdzenie:
Wszystkich k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest5Ø[Ü5ØXÜ .
W przykładzie 4 za n przyjmujemy 2 (bo mamy do wyboru tylko cyfry 1 i 2), a za k przyjmujemy 3 (bo
chcemy stworzyd ciÄ…g 3-cyfrowy).
Zatem szukanych liczb trzycyfrowych jest: 23 = 2 " 2 " 2 = 8 .
Przykład 5:
W turnieju szachowym brało udział pięcioro zawodników. Ile partii rozegrano, jeśli każdy uczestnik
rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych?
Oznaczmy uczestników numerami 1, 2, 3, 4, 5. Wypiszmy wszystkie możliwości rozegranych partii
biorąc pod uwagę, że zawodnik nie może grad ze sobą samym oraz że na przykład para uczestników
{1,2} oznacza tÄ… samÄ… parÄ™, co {2,1}.
Mamy zatem następujące partie:
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}. Jest ich 10.
Każdy z powyższych podzbiorów nazywamy dwuelementową kombinacją zbioru
pięcioelementowego.
Definicja 5:
Każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego A (n e" k) nazywamy k-elementową
kombinacjÄ… tego zbioru.
Twierdzenie:
Jeżeli n e" k, to dla wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego jest:
5Ø[Ü!
.
5ØXÜ! 5Ø[Ü - 5ØXÜ !
W przykładzie 5 za n przyjmujemy 5 (bo zbiór uczestników składa się z pięciu elementów), natomiast
za k przyjmujemy 2 (bo tyle uczestników potrzeba do stworzenia pary, czyli jednej kombinacji). Zatem
ilośd rozegranych partii wynosi:
5! 5! 1 " 2 " 3 " 4 " 5 4 " 5 20
= = = = = 10 .
2! 5 - 2 ! 2! " 3! 1 " 2 " 1 " 2 " 3 1 " 2 2