XIV Szkoła Gospodarki Wodnej KGW PAN
Oceny oddziaływania na środowisko w Polsce i w standardach Unii Europejskiej
Paszkówka, 20-22 wrzesień 2004 r.
Bernard Twaróg1
Zakład Gospodarki Wodnej
Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej
Politechniki Krakowskiej
Powiązanie podejścia Francou-Rodiera z formułami na obliczanie
przepływów maksymalnych rocznych o określonym
prawdopodobieństwie przewyższenia2.
Streszczenie.
Artykuł prezentuje możliwości przybliżonej oceny wartości przepływów maksymalnych rocznych o
określonym prawdopodobieństwie przewyższenia, zbudowanej na podstawie zależności wykorzystywanej w teorii
Francou - Rodiera oraz rozkładu prawdopodobieństwa charakterystycznego dla wartości ekstremalnych. Zaletą
proponowanego podejścia jest uzależnienie wielkości przepływu o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia w funkcji powierzchni zlewni.
Wstęp.
Zagrożenie powodzią jest jednym z najbardziej niszczących naturalnych zagrożeń
środowiska, dotkliwe w stratach zarówno społecznych jak i ekonomicznych. W większości
przypadków o wielkości strat powodziowych decyduje nie czas trwania powodzi, lecz jej
intensywność, zależna od wielkości kulminacji. Umiejętność poprawnej oceny wielkości
powodzi, prawdopodobieństwa przewyższenia kulminacji fali powodziowej, ryzyka powstania
strat powodziowych o określonej wielkości, dają szansę na zmniejszenie szkód powodziowych.
Współczesne metody ochrony przed powodzią, zarówno w kategoriach ochrony czynnej jak i
biernej pozwalają efektywniej i racjonalniej realizować ochronę ludności i majątku. Nie trzeba
podkreślać, iż wartości parametrów inżynierskich obiektów przeciwpowodziowych oraz ich
lokalizacje zależą od dokładności szacowania zagrożenia powodziowego. Stąd też doskonalenie
metod zarówno deterministycznych, probabilistycznych jak i inżynierskich jest całkowicie
uzasadnione. W dobie popularnego stosowania komputerów o dużych mocach obliczeniowych
propagowanie i rozwijanie metod inżynierskich być może jest mało uzasadnione. Jednak każde
dodatkowe spojrzenie rozwijające pogląd na temat charakterystyk wielkości determinujących
1
dr inż. Bernard Twaróg, adiunkt w Instytucie Inżynierii i Gospodarki Wodnej Politechniki Krakowskiej, [e-mail],
http://bt.wis.pk.edu.pl/
2
Artykuł wygłoszony na XIV Szkole Gospodarki Wodnej KGW PAN, wrzesień 2004.
powódz
może, co najmniej wzbogacić wiedzę i poglądy na jej genezę oraz poprawić metody
ochrony przed powodzią.
100 140
Wartości maksymalnych przepływów zaobserwowanych w świecie
90
120
Q[m3/s]
y = 560,44e0,3947x
Qmax [m3/s] Polska wg IMGW
80
R2 = 0,8901
qmax[m3/s/km2]
qmax [m3/s/km2] Polska wg IMGW 100
70
y = 560,44e-0,6053x
Wykł. (Q[m3/s])
R2 = 0,9501
Wykł. (qmax[m3/s/km2])
60
80
50
60
40
30
40
20
20
10
ln(A[km2])
0 0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0
Rys.1. Wartości maksymalne przepływów oraz wartości maksymalne dopływów jednostkowych. Wykonano na
podstawie danych opublikowanych w [2].
10 10
Porównanie maksymalnych przepływów zaobserwowanych w świecie i w Polsce
9 9
y = 560.44e-0.6053x
R2 = 0.9501
8 8
7 7
y = 118.27x2 - 713.52x + 1050.6
R2 = 0.9961
6 6
y = 0.0542x2 - 1.3258x + 8.1344
Q[m3/s]
R2 = 0.9715
Qmax [m3/s] Polska wg IMGW
5 5
gmax[m3/s/km2]
qmax [m3/s] Polska wg IMGW
4 4
Wykł. (Q[m3/s])
Wielom. (Qmax [m3/s] Polska wg IMGW)
3 3
Wykł. (gmax[m3/s/km2])
Wielom. (qmax [m3/s] Polska wg IMGW)
2 2
1 1
ln(A[km2])
y = 560.44e0.3947x
0 0
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 R2 = 0.8901 16.0
14.0
Rys.2. Wartości maksymalne przepływów oraz wartości maksymalne dopływów jednostkowych. Wykonano na
podstawie danych opublikowanych w [2], [4].
Powyższe rysunki (1,2) po głębszej analizie krzywych regresji wskazują na inny
charakter zależności zaobserwowanych przepływów maksymalnych w Polsce niż w świecie.
Jeżeli dla obszarów w świecie jest relacja o charakterze potęgowym (zauważyć należy, że oś
pozioma jest logarytmem naturalnym z pola powierzchni zlewni) to dla obszaru Polskiego,
analizowanego na podstawie danych [4], charakter krzywych zdecydowanie się różni. Powyższe
krzywe regresji dobrano tak by zmaksymalizować wskaz
nik zgodności.
Tysiące
Q[m3/s]
qmax [m3/s/km2]
Tysiące
Q[m3/s]
qmax [m3/s/km2]
Równania obwiedni przepływów maksymalnych.
Istotnym elementem w ocenie potencjalnego rozmiaru zagrożenia jest możliwość
obliczenia największego wezbrania, które mogłoby wystąpić w warunkach ekstremalnych. Jest
tu pewna analogia do wielkości maksymalnego wiarygodnego wezbrania, jednak metody
prowadzące do określenia tych wielkości są różne. Ważna jest idea, która w efekcie mogłaby
posłużyć do zamknięcia przedziału w identyfikacji przepływów maksymalnych z prawej strony.
Poniżej wspomniano o dwóch istotnych formułach pozwalających oceniać postać obwiedni
przepływów maksymalnych.
Formułę na obliczanie obwiedni podaną przez Francou  Rodiera (1967) można zapisać
następująco:
�#1- k ś#
ś# ź#
10
�# ś#�# #
Q A
ś# ź#
=
1.
Q0 ś# A0 ź#
�# #
gdzie:
Q0 = 106[m3 / s] ,
A0 = 108[km2] ,
Q [m3/s] - wartość maksymalnego przepływu,
A [km2] - pole powierzchni zlewni.
Przedstawiając zależność maksymalnego dopływu jednostkowego w funkcji wielkości
powierzchni zlewni, w układzie logarytmicznym można wyprowadzić zależność pomiędzy
parametrami prostej, będącej obwiednią przedstawioną w układzie logarytmicznym a
parametrem k.
Zakładając, że opisujemy obwiednię równaniem:
y = ax + b
2.
Można wyprowadzić następującą zależność:
k
b = -
3.
10
oraz:
�# ś#
ś#
106 ź#
ś# ź#
a = ln
k ś# 4.
ś# ź#
8�#1- ź#
ś#
ś# ź#
10
�# #
10
�# #
Wyprowadzone wielkości powyżej, pokazują zależność pomiędzy współczynnikiem Francou 
Ą# Q ń#
�# ś#
Rodiera oraz parametrami prostej w logarytmicznym układzie ;ln(A)Ą# . Z jednej strony na
ó#lnś# A ź#
�# #
Ł# Ś#
podstawie parametrów równania prostej można wyliczyć wartość współczynnika k , przy czym
zaznaczyć należy, iż w tym przypadku mamy więcej równań niż niewiadomych; z drugiej znając
wartość parametru k można dokładnie wyliczyć parametry równania prostej, będącej obwiednią
w układzie logarytmicznym.
Drugą popularną formułą do określania postaci obwiedni jest równanie Creager a
(Creager & Justin,1945), postaci:
c
q = aAbA -1
5.
gdzie:
q [m3/s/km2]  maksymalny dopływ jednostkowy,
A [km2]  pole powierzchni zlewni,
a,b,c regionalne parametry.
O wzorach empirycznych na obliczanie przepływów maksymalnych.
W najprostszym przypadku metody obliczania przepływów maksymalnych możemy
pogrupować w następujący sposób:
o metody bezpośrednie, stosowane w przypadkach pełnych danych obserwacyjnych i
pomiarowych hydrologicznych oraz meteorologicznych;
analiza probabilistyczna,
przenoszenie wartości Qmax, p z przekroju wodowskazowego do przekroju
obliczeniowego metodą ekstrapolacji lub też interpolacji,
o metody pośrednie, inaczej metody analogii hydrologicznej, bazują na niepełnych danych
obserwacyjnych lub pomiarowych, brakujące informacje uzupełniane są na zasadzie
analogii hydrologicznej (ze zlewni podobnych);
obszarowe równania regresji,
formułę roztopową,
formułę opadową
o metody empiryczne, stosowane w przypadkach braku materiału obserwacyjnego, jednak
stosowanie tych metod zawsze wymusza weryfikację innymi metodami, np.: metodą
analogii.
Tab.1. Zalecane do stosowania wzory empiryczne na przepływy charakterystyczne.
Rodzaj przepływu Autor wzoru lub metody Zakres stosowania
(rok ustalenia) Powierzchnia zlewni Region
A [km2]
Stachż (1976)
A < 50 [km2]
Stachż (1976) Międzyrzecze Wisły, górnej
50 < A < 200 [km2]
Pilicy i dolnej Bzury
Maksymalny roczny o
Fal (1979) Zlewnie nizinne
50 < A < 500 [km2]
dowolnym
prawdopodobieństwie
Hydroprojekt Zlewnie nizinne, zawale rzek
A < 100 [km2]
(metoda izochron)
przewyższenia Qmax, p%
Punzet (1977) Górna Wisła, zlewnie
A < 500 [km2]
karpackie
Punzet (1977) Górna Wisła, zlewnie
50 < A < 600 [km2]
pozakarpackie
Maksymalny zimowy o Wołoszyn (1996) Dolny Śląsk
1 < A < 300 [km2]
dowolnym
Fal (1978) Północno wschodnia część
prawdopodobieństwie 100 < A < do kilku tys.[km2]
Polski
przewyższenia Qmax , p%
Ciepielowski (1972) Region hydrograficzny
z 391 < A < 10223 [km2]
Wieprza
 Ciepielowski (1972) Region hydrograficzny Sanu
50 < A < 16703 [km2]
Dębski Cała Polska
A > 50 [km2]
Przyglądnijmy się istniejącym, wybranym formułom empirycznym.
I. Formuły na obliczanie przepływów maksymalnych.
A. Formuła Matakiewicza.
B. Formuła Lambora.
II. Formuły na obliczanie przepływów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia.
A. Obliczanie przepływów maksymalnych o prawdopodobieństwie przewyższenia równym ,
p=50% ze współczynnikami liczonymi wg Dębskiego, .oraz Raczyńskiego, Rozwody,
B. Wzór Stachż.
C. Wzór Fal
D. Formuła Dębskiego - zwyczajna wielka woda letnia.
E. Formuła Loewego  doroczna wielka woda.
Ponadto do dyspozycji jeszcze mamy:
F. Metody skrócone wyznaczania maksymalnych przepływów prawdopodobnych.
o metoda Jarockiego.
o metoda graficzna.
G. Obliczanie wielkich wód z małych zlewni.
o formuły empiryczne o nieokreślonym prawdopodobieństwie.
o formuła Pagliariego.
o Wzór Hofbauera.
Powyższe formuły są wybranymi, częściej spotykanymi w obliczeniach inżynierskich, jednak
formułą o największej popularności (nie tylko w kraju) jest formuła Punzeta.
Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie
wystąpienia3 za pomocą wzorów Punzeta
Zakres stosowania tych wzorów obejmuje całe dorzecze górnej Wisły. Odpowiedni wzór
dobiera się w zależności od charakteru zlewni (górska, wyżynna lub równinna).
Tab.2. Zestawienie formuł Punzeta do obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym
prawdopodobieństwie wystąpienia.
Zależność i typ równania Równanie szczegółowe (zakres stosowalności)
Qmax p% = Qmax 50% �"�max p%
(w całym dorzeczu górnej Wisły)
-0.075
n3 n4 Qmax50% = 0.002787�" A0.747 �" P0.536 �" N0.603 �" I
1 2
Qmax 50% = ą �" An �" Pn �" N �" I
6.
(wzór Karpacki do stosowania w zlewniach górskich)
3
Autor formuły używa prawdopodobieństwa wystąpienia [6], przy czym należy rozumieć , że jest to prawdopodobieństwo przewyższenia
 0.089
Qmax50% = 0.000178�" A0.872 �" P1.065 �" N0.07 �" I
7.
(w zlewniach wyżynnych)
0.302
Qmax50% = 0.00171�" A0.757 �" P0.372 �" N0.561 �" I
8.
(w zlewniach równinnych)
0.839
p
�max p% = 1+ 0.944�"t1.48 �"c1+0.144�"t
p v max
9.
�max p% = f (cv max)
(w całym dorzeczu górnej Wisły)
0.173
cv max = 3.027 �" "W �" L-0.066 �" A-0.102
10.
"W
I =
n1
10.
cvmax = ą �" "W �" Ln2 �" An3 L
"W = Wz
r -Wx 10.
(w całym dorzeczu górnej Wisły)
gdzie:
Qmax 50% [m3/s]  przepływ maksymalny roczny o prawdopodobieństwie p = 50%
�max p%  funkcja zależna od prawdopodobieństwa
cvmax - współczynnik zmienności,
A [km2]  powierzchnia zlewni
P [mm]  średni roczny opad atmosferyczny [mm]
N [%]  wskaz
nik nieprzepuszczalności gleb [%], stabelaryzowany
I [0 ]  umowny spadek cieku,
"W [m] różnica wysokości między najwyżej położonymi z
ródłami cieku w badanej zlewni Wz
r a wysokością badanego profilu
Wx
L [km]  długość najdłuższego cieku w zlewni
Odpowiedni wzór do obliczenia Qmax 50% dobiera się w zależności od powierzchni zlewni,
jej średniego wzniesienia oraz umownego spadku zlewni. Wartości funkcji �max p% określa się w
zależności od współczynnika zmienności obliczanego na podstawie wzoru obowiązującego dla
całego dorzecza górnej Wisły. Zaprezentowane podejście jest z sukcesem często stosowane w
obliczeniach inżynierskich, szczególnie w przypadkach zlewni niekontrolowanych.
O pewnych spostrzeżonych zależnościach.
W tabeli poniżej przedstawiono wartości współczynnika Francou  Rodiera obliczone dla
wybranych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia oraz dla wybranych analizowanych
przekrojów wodowskazowych. Analiza, której efekty są prezentowane w niniejszej pracy
wykonana została na zbiorze danych dla wybranych, w większości przypadków zamykających
zlewnie niekontrolowane, zlewni Skawy oraz górnego Dunajca.
Tab.3. Wartości k dla analizowanych przekrojów wodowskazowych.
Współczynnik k Francou - Rodiera
Numer
porządkowy
Nazwa przekroju wodowskazowego
Prawdopodobieństwo przewyższenia [%]
przekroju
50 20 10 5 3.33 1 0.2
1 Bystry Ratułów 2.70 3.27 3.49 3.68 3.77 3.97 4.17
2 Kirowa Woda Kościelisko-Kiry 2.39 2.82 3.18 3.47 3.61 3.93 4.23
3 Lepietnica Ludz
mierz 2.29 3.00 3.29 3.51 3.62 3.85 4.09
4 Biały Dunajec Zakopane Harenda 2.74 3.23 3.48 3.68 3.81 4.07 4.36
5 Białka Tatrzańska A
ysa Polana 2.79 3.26 3.49 3.65 3.73 3.94 4.14
6 Grajcarek Szczawnica 2.26 2.73 2.94 3.12 3.20 3.40 3.60
7 Poroniec Poronin 2.14 2.88 3.25 3.52 3.66 3.94 4.22
8 Ochotnica Tylmanowa 2.12 2.63 2.92 3.13 3.24 3.49 3.72
9 Wielki Rogoz
nik Ludz
mierz 1.88 2.99 3.46 3.79 3.93 4.28 4.59
10 Czarny Dunajec Koniówka 2.72 3.35 3.58 3.79 3.88 4.12 4.33
11 Niedziczanka Niedzica 2.36 2.82 3.03 3.21 3.31 3.54 3.84
12 Białka Tatrzańska Trybsz 2 2.79 3.38 3.66 3.84 3.93 4.20 4.44
13 Biały Dunajec Szaflary 2.87 3.45 3.67 3.86 3.95 4.15 4.37
14 Czarny Dunajec Nowy Targ 2.69 3.22 3.47 3.66 3.74 3.97 4.20
1 Skawica Zawoja 2.21 3.02 3.38 3.64 3.76 4.03 4.31
2 Skawa Jordanów 2.69 3.24 3.46 3.63 3.71 3.93 4.14
3 Skawica Skawica Dolna 2.66 3.09 3.35 3.54 3.65 3.88 4.12
4 Stryszawka Sucha 2.25 2.99 3.33 3.58 3.68 3.97 4.24
5 Wieprzówka Rudze 2.69 3.11 3.30 3.44 3.51 3.67 3.83
6 Skawa Osielec 2.48 3.12 3.35 3.55 3.63 3.84 4.07
7 Skawa Sucha 2.68 3.27 3.54 3.75 3.85 4.09 4.33
8 Skawa Wadowice 2.67 3.22 3.55 3.75 3.85 4.09 4.34
9 Skawa Zator 2.63 3.25 3.50 3.71 3.80 4.05 4.30
Załóżmy, że istnieje pewna funkcja wiążąca wartości obliczonych współczynników
Francou  Rodiera z wartościami prawdopodobieństwa i nazwijmy ją funkcją K (tab.3):
K = K( p)
. 11.
Konsekwencją powyższego założenia jest następująca zależność:
K ( p)
Ą# ń#
1-
Ą#
10
A
Ł#
Qmax, p = 106�# ś#ó# Ś#
ś# ź#
12.
108
�# #
gdzie:
K - funkcja wiążąca wartość współczynnika k liczonego wg teorii Francou - Rodiera,
p - prawdopodobieństwo przewyższenia wyrażone w [%].
120.0
exp(k)
średnie wartości
maksymalne wartości
minimalne wartości
100.0
Wielom. (średnie wartości)
y = 0.5831x2 - 15.755x + 71.564
Wielom. (maksymalne wartości)
R2 = 0.998
Wielom. (minimalne wartości)
80.0
60.0
y = -0.2445x2 - 8.9389x + 51.096
R2 = 1
40.0
y = -0.4512x2 - 4.2645x + 30.464
20.0
R2 = 0.9987
ln(p)
0.0
-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
K
Rys.3. Postaci funkcji .
Tab.4.Analiza wartości współczynnika k z tab.3.
Statystyki
Prawdopodobieństwo przewyższenia [%]
50 20 10 5 3.33 1 0.2
� - odchylenie standardowe
0.27 0.22 0.20 0.21 0.21 0.22 0.24
Wartość średnia
avg(ki, p )
2.51 3.10 3.38 3.59 3.69 3.93 4.17
i
Wielkości pochodne
ln( p) 3.91 3.00 2.30 1.61 1.20 0.00 -1.61
exp(avg(ki, p ))
12.29 22.23 29.30 36.11 39.95 50.95 64.91
i
exp(max(ki, p ))
17.71 31.37 39.29 47.30 51.69 72.08 98.54
i
exp(min(ki, p))
6.56 13.86 18.62 22.56 24.65 29.83 36.42
i
gdzie:
ln( p) - wartość logarytmu naturalnego z prawdopodobieństwa przewyższenia wyrażonego w [%],
exp(avg(ki, p )) - wartość funkcji eksponent z argumentu będącego średnią wartością współczynnika k ,
i
obliczoną dla ustalonej wartości prawdopodobieństwa po wszystkich analizowanych przekrojach
wodowskazowych,
exp(max(ki, p )) - wartość funkcji eksponent z argumentu będącego maksymalną wartością współczynnika
i
k , dla ustalonej wartości prawdopodobieństwa po wszystkich analizowanych przekrojach
wodowskazowych,
exp(min(ki, p )) - wartość funkcji eksponent z argumentu będącego minimalną wartością współczynnika
i
k , dla ustalonej wartości prawdopodobieństwa po wszystkich analizowanych przekrojach
wodowskazowych,
i = 1,..., n - liczba analizowanych przekrojów wodowskazowych.
Rysunek 3 przedstawia zależności postaci funkcji K , określone na podstawie wartości statystyk
obliczonych w tab.4. Zauważmy, że dla wartości ekstremalnych oraz wartości średniej
współczynnik zgodności określający dokładność dopasowania krzywej do zbioru opisywanych
nią punktów, jest równy lub prawie równy jeden. Ta cecha posłuży nam do określenia
proponowanej empirycznej formuły, zbudowanej na zależnościach wyrażonych w teorii Francou
 Rodiera, a wyrażającej zależność pomiędzy maksymalnymi przepływami rocznymi o
określonym prawdopodobieństwie przewyższenia i wielkością powierzchni zlewni. Zależności
przedstawione na rysunku 3 można zapisać w następującej postaci:
ek = a ln2( p) + bln( p) + c
13.
czyli
K( p) = ln(a ln2( p) + bln( p) + c)
14.
podstawiając za K( p) wzór (12) można zapisać:
Ą# ń#
ln(aln2 ( p)+bln( p)+c)Ą#
1-
10
A
ó# Ą#
Ś#
Qmax, p = 106�# ś#ó#
ś# ź#Ł#
15.
108
�# #
oraz w postaci uogólnionej:
[x5 -x4 ln(x1 ln2 ( p)+x2 ln( p)+x3)]
�# ś#
A
ś# ź#
Qmax, p = x6ś# ź#
16.
x7
�# #
gdzie:
Qmax, p
- [m3/s], wartość przepływu maksymalnego o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia.
A - [km2], powierzchnia zlewni,
p [%]  prawdopodobieństwo przewyższenia,
a,b,c współczynniki
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 - parametry uogólnionej postaci proponowanej formuły.
Optymalizacja parametrów.
Dla sprawdzenia proponowanej formuły przeprowadzono optymalizacje parametrów
w dwóch wariantach, odpowiednio dla formuły w uproszczonej i uogólnionej postaci.
Optymalizacja została przeprowadzona dla analizowanego zbioru rozpatrywanych przekrojów
wodowskazowych.
Przyjęto następującą postać funkcji kryterialnej:
2
�# ś#
max pi - max pi
Fk =
" "ś# Qbezp Qemp ź#
ś# ź# 17.
Qbezp
max pi
�# #
liczbaprzekrojów pi
Poszukiwano wektor współczynników liczbowych (wektor zmiennych decyzyjnych), dla
których:
Wariant I x(xi ),i = 1...3; Fk (x) min 18.
x(xi),i =1...7;Fk (x) min
Wariant II 19.
Tab.5. Wartości optymalnych zmiennych decyzyjnych,
odpowiednio dla wariantu I oraz II.
Wariant I Wariant II
X -0.399 -0.0036
1
X -7.315 -0.442
2
X 45.071 2.122
3
X 0.1 0.083
4
X 1.0 0.691
5
X 1 000 000 832 829.91
6
X 100 000 000 61 804 845.19
7
F 16.832 16.787
k
W tab.6 oraz w tab.7. przedstawiono wyniki analizy dla zoptymalizowanych wartości
parametrów proponowanej formuły. Porównania dokonano z wynikami obliczeń dla górskiej
formuły Punzeta. Ostatecznie na rys. 5 przedstawiono dla porównania średnie błędy względne
dla analizowanych formuł w stosunku do odpowiednich przepływów o określonym
prawdopodobieństwie przewyższenia wynikających z metod bezpośrednich. Dla wartości
prawdopodobieństwa p = 50[%], błędy okazały się mniejsze niż to wynika z formuły Punzeta,
natomiast dla mniejszych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia wyniki są
porównywalne z wartościami obliczonymi dla formuły Punzeta, jednak gorsze o kilka punktów
procentowych. Zwrócić należy uwagę na rodzaj materiału obliczeniowego. Są to przekroje
wodowskazowe dla dwóch rzek Skawy i Dunajca, w większości przypadków zamykające
zlewnie niekontrolowane. Należy się spodziewać, iż proponowana formuła ma raczej charakter
regionalny chociażby ze względu na tak duże uproszczenie zależności przepływów
maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia.
Tab.6. Zestawienie wartości przepływów maksymalnych prawdopodobieństwie określonym prawdopodobieństwie przewyższenia.
Analizowana formuła, wariant II Metody bezpośrednie Formuła Punzeta
Nazwa przekroju wodowskazowego Prawdopodobieństwo przewyższenia [%]
A[km2]
50 20 10 5 3.33 1 0.2 50 20 10 5 3.33 1 0.2 50 20 10 5 3.33 1 0.2
Bystry Ratułów 29.50 10 26 39 54 62 88 125 17 40 56 75 85 116 156 13.27 28.71 42.71 56.64 64.83 88.16 118.65
Kirowa Woda Kościelisko-Kiry 34.50 11 29 44 59 69 97 137 12 23 39 60 74 120 188 13.21 33.86 53.17 72.78 84.47 118.29 163.59
Lepietnica Ludz
mierz 50.70 15 38 57 77 89 124 173 14 39 60 82 96 135 190 18.23 39.80 59.39 78.91 90.40 123.14 166.00
Biały Dunajec Zakopane Harenda 58.40 16 42 63 84 97 136 188 30 60 86 115 138 200 305 22.99 53.94 82.43 111.08 128.04 176.72 241.13
Białka Tatrzańska A
ysa Polana 63.10 17 44 66 89 102 142 197 34 66 92 116 130 175 232 23.29 54.39 83.01 111.76 128.77 177.59 242.14
Grajcarek Szczawnica 73.60 20 50 74 98 113 157 217 18 35 47 60 68 89 118 22.63 49.29 73.50 97.61 111.81 152.24 205.15
Poroniec Poronin 78.80 21 52 77 103 118 164 226 16 45 76 111 135 200 295 31.18 66.89 99.22 131.36 150.25 203.97 274.12
Ochotnica Tylmanowa 108.00 27 65 96 127 145 200 273 20 40 60 80 92 130 178 30.39 64.88 96.08 127.07 145.28 197.03 264.56
Wielki Rogoz
nik Ludz
mierz 124.00 30 72 105 139 159 218 297 16 72 138 215 260 417 638 37.33 71.19 101.10 130.36 147.37 195.11 256.23
Czarny Dunajec Koniówka 134.00 31 76 111 146 167 229 311 53 125 170 225 255 350 470 35.46 75.99 112.67 149.13 170.55 231.48 311.02
Niedziczanka Niedzica 136.00 32 77 112 148 169 231 314 33 61 82 104 119 162 245 41.06 83.14 120.78 157.92 179.64 241.02 320.41
Białka Tatrzańska Trybsz 2 202.00 43 102 147 192 218 296 399 78 170 245 310 350 500 680 58.40 124.89 185.05 244.84 279.96 379.84 510.17
Biały Dunajec Szaflary 210.00 45 105 151 197 224 303 409 90 190 255 325 365 480 635 61.20 130.11 192.37 254.19 290.50 393.67 528.17
Czarny Dunajec Nowy Targ 432.00 78 175 247 318 359 477 632 120 230 315 395 440 585 770 107.95 213.62 307.70 400.21 454.19 606.36 802.44
Skawica Zawoja 48.6 14 37 55 75 86 121 169 12 39 66 96 115 170 255 16.24 47.89 58.45 78.82 93.63 125.52 183.53
Skawa Jordanów 96.6 24 60 89 118 135 186 255 40 86 116 148 165 223 300 30.77 74.18 88.64 115.44 134.71 175.31 247.22
Skawica Skawica Dolna 139.3 32 78 114 150 171 234 319 50 90 127 165 190 260 360 36.95 98.06 118.42 156.96 184.80 244.04 350.79
Stryszawka Sucha 140 33 79 114 150 172 235 320 29 79 125 175 200 295 425 37.55 95.12 114.31 150.27 176.19 230.94 328.99
Wieprzówka Rudze 154 35 84 122 160 183 250 339 56 99 128 154 170 210 260 36.38 89.98 107.85 141.14 165.11 215.68 305.79
Skawa Osielec 244 50 117 167 217 247 333 447 60 138 185 240 265 350 470 64.14 142.14 168.14 216.09 249.71 320.60 444.49
Skawa Sucha 468 83 186 261 335 378 502 664 125 260 360 465 530 710 950 103.37 220.52 259.57 331.41 381.15 486.40 668.78
Skawa Wadowice 835 131 281 388 492 551 723 942 190 360 530 670 750 1000 1340 159.54 328.68 385.06 487.19 558.55 707.94 966.11
Skawa Zator 1154 169 353 484 609 681 886 1146 230 465 615 780 870 1160 1540 195.89 395.09 461.49 580.58 664.26 838.24 1138.26
Tab.7. Porównanie błędów względnych pomiędzy wartościami przepływów maksymalnych o określonym
prawdopodobieństwie przewyższenia osobno dla każdej z formuł. Wariant II.
Analizowana formuła, wariant II Formuła Punzeta
Prawdopodobieństwo przewyższenia [%]
50 20 10 5 3.33 1 0.2 50 20 10 5 3.33 1 0.2
Bystry Ratułów 0.43 0.35 0.30 0.29 0.27 0.24 0.20 0.22 0.28 0.24 0.24 0.24 0.24 0.24
Kirowa Woda Kościelisko-
0.09 0.26 0.12 0.01 0.07 0.19 0.27 0.10 0.47 0.36 0.21 0.14 0.01 0.13
Kiry
Lepietnica Ludz
mierz 0.05 0.02 0.05 0.06 0.08 0.08 0.09 0.30 0.02 0.01 0.04 0.06 0.09 0.13
Biały Dunajec Zakopane
0.45 0.30 0.27 0.27 0.30 0.32 0.38 0.23 0.10 0.04 0.03 0.07 0.12 0.21
Harenda
Białka Tatrzańska A
ysa
0.49 0.33 0.28 0.24 0.21 0.19 0.15 0.32 0.18 0.10 0.04 0.01 0.01 0.04
Polana
Grajcarek Szczawnica 0.09 0.42 0.57 0.64 0.66 0.76 0.84 0.26 0.41 0.56 0.63 0.64 0.71 0.74
Poroniec Poronin 0.30 0.16 0.01 0.07 0.13 0.18 0.23 0.95 0.49 0.31 0.18 0.11 0.02 0.07
Ochotnica Tylmanowa 0.33 0.63 0.59 0.58 0.58 0.54 0.54 0.52 0.62 0.60 0.59 0.58 0.52 0.49
Wielki Rogoz
nik Ludz
mierz 0.85 0.00 0.24 0.35 0.39 0.48 0.53 1.33 0.01 0.27 0.39 0.43 0.53 0.60
Czarny Dunajec Koniówka 0.41 0.39 0.35 0.35 0.35 0.35 0.34 0.33 0.39 0.34 0.34 0.33 0.34 0.34
Niedziczanka Niedzica 0.04 0.26 0.37 0.42 0.42 0.43 0.28 0.24 0.36 0.47 0.52 0.51 0.49 0.31
Białka Tatrzańska Trybsz 2 0.44 0.40 0.40 0.38 0.38 0.41 0.41 0.25 0.27 0.24 0.21 0.20 0.24 0.25
Biały Dunajec Szaflary 0.50 0.45 0.41 0.39 0.39 0.37 0.36 0.32 0.32 0.25 0.22 0.20 0.18 0.17
Czarny Dunajec Nowy Targ 0.35 0.24 0.22 0.20 0.19 0.18 0.18 0.10 0.07 0.02 0.01 0.03 0.04 0.04
Skawica Zawoja 0.19 0.05 0.16 0.22 0.25 0.29 0.34 0.35 0.23 0.11 0.18 0.19 0.26 0.28
Skawa Jordanów 0.39 0.30 0.24 0.21 0.18 0.17 0.15 0.23 0.14 0.24 0.22 0.18 0.21 0.18
Skawica Skawica Dolna 0.35 0.13 0.10 0.09 0.10 0.10 0.11 0.26 0.09 0.07 0.05 0.03 0.06 0.03
Stryszawka Sucha 0.12 0.01 0.09 0.14 0.14 0.20 0.25 0.29 0.20 0.09 0.14 0.12 0.22 0.23
Wieprzówka Rudze 0.37 0.15 0.05 0.04 0.08 0.19 0.30 0.35 0.09 0.16 0.08 0.03 0.03 0.18
Skawa Osielec 0.16 0.15 0.10 0.09 0.07 0.05 0.05 0.07 0.03 0.09 0.10 0.06 0.08 0.05
Skawa Sucha 0.33 0.29 0.28 0.28 0.29 0.29 0.30 0.17 0.15 0.28 0.29 0.28 0.31 0.30
Skawa Wadowice 0.31 0.22 0.27 0.27 0.26 0.28 0.30 0.16 0.09 0.27 0.27 0.26 0.29 0.28
Skawa Zator 0.27 0.24 0.21 0.22 0.22 0.24 0.26 0.15 0.15 0.25 0.26 0.24 0.28 0.26
Tab.8. Zestawienie średnich błędów względnych dla analizowanych metod.
Prawdopodobieństwo przewyższenia [%]
50.00 20.00 10.00 5.00 3.33 1.00 0.20
Analizowana formuła, wariant I
Średni błąd względny 0.322 0.258 0.250 0.252 0.257 0.280 0.302
Analizowana formuła; wariant II
Średni błąd względny 0.318 0.250 0.246 0.253 0.260 0.283 0.298
wg Punzeta
Średni błąd względny 0.327 0.224 0.233 0.228 0.215 0.230 0.240
0.35
Porównanie błędu średniego dla analizowanych wartości
0.33
analizowana formuła, wariant I 0.31
wg Punzeta
0.29
analizowana formuła; wariant II
0.27
0.25
0.23
0.21
0.19
0.17
p[%]
0.15
50.0 45.0 40.0 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0
Rys.5. Porównanie średniego błędu względnego maksymalnych przepływów o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia dla analizowanych metod w porównaniu z metodą bezpośrednią.
5.0
ln(p)
średnie wartości
maksymalne wartości
minimalne wartości
4.0
wariant I
wariant II
y = 0.0002x2 - 0.091x + 5.5336
Wielom. (minimalne wartości)
R2 = 0.9978
3.0 Wielom. (maksymalne wartości)
Wielom. (wariant II)
Wielom. (wariant I)
2.0
y = -5E-05x2 - 0.0754x + 4.6222
y = -0.0007x2 - 0.0742x + 4.7378
R2 = 1
1.0
R2 = 0.9999
0.0
y = -0.0029x2 - 0.06x + 4.4203
R2 = 0.9998
-1.0
exp(k)
-2.0
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0
Rys.6. Porównanie funkcji K , zapisane w układzie odwrotnym.
Rysunek 4 na tle informacji z rysunku 3 przedstawia kształt krzywych określonych dla
zoptymalizowanych wartości parametrów wariantu I oraz wariantu II. Zauważmy, że funkcję K
(rysunek 3) możemy zapisać (dla ograniczonego przedziału) w układzie odwrotnym, w postaci:
ln(p) = a1e2k + b1ek + c1
20.
Analiza regionalna proponowanej formuły.
Wyznaczone, optymalne wartości współczynników nie są wartościami ogólnymi.
Można przeprowadzić analizę zmienności tych parametrów. Przeprowadzono eksperyment
polegający na optymalizacji parametrów równania w postaci uproszczonej (13), odpowiednio
błąd względny
dla różnych podzbiorów zlewni. W pierwszej fazie utworzono zbiór zlewni Skawy (9
elementowy) oraz zbiór zlewni Dunajca (14 elementowy). Zasada budowy podzbiorów
została przyjęta w oparciu o wszystkie możliwe kombinacje bez powtórzeń osobno dla zbioru
Skawy i osobno dla zbioru Dunajca. Budowano m - elementowezbiory z n - elementów i dla tak
przygotowanego zestawu danych optymalizowano parametry uproszczonej formuły. Poniżej
przedstawiono zestawienie wyników dla wszystkich kombinacji bez powtórzeń zbioru 13
elementowego tworzonego ze zbioru 14 elementowego (zlewnia Dunajca, tabela 9) oraz
zestawienie wyników dla wszystkich kombinacji bez powtórzeń zbioru 8 elementowego
tworzonego ze zbioru 9 elementowego (zlewnia Skawy, tabela 11). Równocześnie dla
wszystkich wybranych liczebności podzbiorów zarówno zlewni Dunajca jak i zlewni Skawy
przedstawiono statystyki wyników optymalizacji (tabela 10, 12).
Tab.9. Zestawienie wszystkich kombinacji dla zbioru 13 elementowego w zlewni Dunajca.
Wartości
Wartość średnia -0.359-7.12343.266 11.9 3.79%
Odchylenie standardowe 0.051 0.370 1.320 0.7 0.11%
Średni błąd
L.p.Numer porządkowy przekroju wodowskazowego (tab.3.) x1 x2 x3 Fk
[%]
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -0.360-7.02842.769 12.4 3.9%
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 -0.358-6.99342.594 11.5 3.7%
3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 -0.360-6.98542.584 11.5 3.7%
4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 -0.415-7.19344.321 12.3 3.9%
5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 -0.359-6.99042.587 11.8 3.8%
6 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 -0.235-7.13042.334 11.2 3.7%
7 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 -0.431-7.31845.365 11.1 3.7%
8 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 14 -0.362-6.92542.733 12.7 3.9%
9 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.284-8.33146.843 10.4 3.5%
10 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.353-7.04742.701 12.2 3.8%
11 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.365-6.96342.568 11.9 3.8%
12 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.357-7.03042.867 12.8 3.9%
13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.426-6.76742.849 12.7 3.9%
14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.354-7.02042.611 12.1 3.8%
Tab.10. Zestawienie statystyk zoptymalizowanych parametrów
dla wybranych liczebności podzbiorów zlewni Dunajca.
Liczba
Liczba
elementów x1 x2 x3 Fk %
podzbiorów
w zbiorze
14
13 -0.359 -7.123 43.266 11.9 3.79%
91
12 -0.355 -7.154 43.353 10.9 3.92%
Wartość
364
11 -0.351 -7.190 43.456 9.9 4.07%
średnia
2002
9 -0.341 -7.285 43.731 7.8 4.42%
3432
7 -0.325 -7.429 44.161 5.8 4.85%
14
13 0.051 0.370 1.320 0.7 0.11%
91
12 0.072 0.528 1.894 0.9 0.17%
Odchylenie
364
11 0.091 0.673 2.428 1.1 0.24%
standardowe
2002
9 0.127 0.957 3.505 1.3 0.40%
3432
7 0.166 1.267 4.752 1.4 0.65%
Tab.11. Zestawienie wszystkich kombinacji dla zbioru 8 elementowego w zlewni Skawy.
Wartości
Wartość średnia -0.559 -7.709 50.400 1.678 3.00%
Odchylenie standardowe 0.058 0.512 1.125 0.212 0.38%
Średni błąd
L.p. Numer porządkowy przekroju wodowskazowego (tab.3.) x1 x2 x3 Fk
[%]
1 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.580 -7.531 49.844 1.768 3.16%
2 1 2 3 4 5 6 7 9 -0.581 -7.501 49.718 1.681 3.00%
3 1 2 3 4 5 6 8 9 -0.576 -7.511 49.663 1.644 2.94%
4 1 2 3 4 5 7 8 9 -0.572 -7.774 50.759 1.897 3.39%
5 1 2 3 4 6 7 8 9 -0.422 -9.029 53.185 1.195 2.13%
6 1 2 3 5 6 7 8 9 -0.589 -7.367 50.055 1.729 3.09%
7 1 2 4 5 6 7 8 9 -0.624 -7.578 50.633 1.850 3.30%
8 1 3 4 5 6 7 8 9 -0.566 -7.701 50.186 1.804 3.22%
9 2 3 4 5 6 7 8 9 -0.524 -7.385 49.558 1.536 2.74%
Tab.12. Zestawienie statystyk zoptymalizowanych parametrów
dla wybranych liczebności podzbiorów zlewni Dunajca.
Liczba
Liczba
elementów x1 x2 x3 Fk %
podzbiorów
w zbiorze
8 9 -0.559 -7.709 50.400 1.678 3.00%
7 36 -0.549 -7.753 50.461 1.425 2.91%
Wartość
średnia
6 84 -0.535 -7.811 50.540 1.172 2.79%
5 126 -0.517 -7.888 50.647 0.920 2.63%
8 9 0.058 0.512 1.125 0.212 0.38%
7 36 0.082 0.728 1.612 0.263 0.54%
Odchylenie
standardowe
6 84 0.104 0.933 2.090 0.286 0.68%
5 126 0.125 1.142 2.597 0.287 0.82%
Wartości średnich błędów względnych wskazują, iż regionalizacja proponowanej
formuły jest właściwą drogą do jej parametryzacji i zastosowań. Średnio błędy dla  jednej
liczby maksymalnie przyjmują wartości do 5[%] natomiast dla zlewni Skawy do 3[%]
(tabela 10,12).
Funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia.
Korzystając z równania 20 można określić postać funkcji prawdopodobieństwa
przewyższenia przy założeniu: k(Qmax ) e" 0 :
"
(Qmax ) (Qmax )
-b1ek -c1)
max
+"g(Q )dQmax = e-(-a1e2k
21.
Qx
max
czyli
�#
�# ś#
Qmax ś#
�# ś#
�#
�# ś#
Qmax ś# ś# ź#
ś#
ś# ś# ź#
ś# ź#
ź#
lnś# ź# ź# ś# lnś# Q0 ź# ź#
ś# ź# �# #
Q0
ś# �# # 10ś#1- ź# ź#
20ś#1- ź#
�# ś#
ś# A ź#
�# ś#
ś# ś# A ź# ź#
ś#
ś# ź#
ź#
lnś# ź# ź# ś# lnś# A0 ź# ź#
ś# ź#
ś#
ś# ś# ź#
�# #
A0 ź# �# #
�# #
�# #
-ś# -a1e -b1e -c1 ź#
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
"
ś# ź#
�# #
max
+"g(Q )dQmax = Ce
22.
Qx
max
gdzie:
g(Qmax ) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa pojawiania się przepływów maksymalnych,
a1,b1,c1 - współczynniki
Qmax [m3/s]  zmienna losowa,
Qx [m3/s]  zmienna, lewostronna granica całkowania,
max
C - współczynnik normujący.
5.0
ln(p)
średnie wartości
maksymalne wartości
4.0
minimalne wartości
wariant I
wariant II
Wielom. (minimalne wartości)
3.0
Liniowy (maksymalne wartości)
Wielom. (wariant II)
Wielom. (wariant I)
2.0
1.0
y = -0.0688x + 5.0049
R2 = 0.9929
0.0
-1.0
exp(k)
-2.0
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0
-3.0
Rys. 7. Odwrotne malejące funkcje z prawostronnym liniowym ograniczeniem.
1
[.]
Przykładow e funkcje praw dopodobieństwa przewyższenia
0.9
0.8
prawdopodobieństwo przewyższenia dla
powierzchni zlewni 10 [km2]
0.7
prawdopodobieństwo przewyższenia dla
powierzchni zlewni 100 [km2]
0.6
prawdopodobieństwo przewyższenia dla
powierzchni zlewni 1000 [km2]
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Qmax [m3/s]
0
0.1 1 10 100 1000 10000
Rys.8. Przykładowe funkcje prawdopodobieństwa przewyższenia pojawiania się przepływów maksymalnych rocznych.
Można zauważyć, że ograniczenie na parametr k powoduje powstanie lewostronnej
granicy przepływów maksymalnych rocznych wyrażonej w funkcji pola powierzchni zlewni.
Wnioski.
W niniejszym artykule zaprezentowano przykładową analizę identyfikacji zależności o
charakterze teoretyczno empirycznym. Propozycja proponowanej formuły opiera się na
zależności wykorzystywanej w teorii Francou - Rodiera oraz rozkładu prawdopodobieństwa
charakterystycznego dla wartości ekstremalnych. Zaletą proponowanego podejścia jest
uzależnienie wielkości przepływu o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w funkcji
powierzchni zlewni. Zaproponowano formułę w postaci uproszczonej i uogólnionej. Część
wykonanej analizy dotyczyło porównania wartości parametrów oraz wartości przyjętej funkcji
kryterialnej dla analizowanego zbioru przekrojów wodowskazowych zlewni rzek Skawy i
górnego Dunajca. Analiza wskazała, iż uogólnienie formuły z 3 parametrów do 7 parametrów,
przy jednej zmiennej niezależnej (pole powierzchni zlewni do przekroju analizowanego)
nieznacznie poprawiło wartość funkcji o 0.27 [%]. Wielkość poprawy niewspółmierna do
komplikacji formuły spowodowała, że w dalszej części do analizy wykorzystywano formułę o
uproszczonej postaci (15). Dokonano porównania średnich błędów względnych wynikających
zarówno dla formuły proponowanej jak i formuły Punzeta w stosunku do odpowiednich
przepływów o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia wynikających z metod
bezpośrednich. Analiza błędów pokazała, iż dla wartości prawdopodobieństwa p = 50[%], błędy
są mniejsze niż dla górskiej formuły Punzeta, natomiast dla mniejszych wartości
prawdopodobieństwa przewyższenia wyniki są porównywalne z wartościami obliczonymi dla
formuły Punzeta, jednak gorsze o kilka punktów procentowych.
Dalsza analiza polegająca na określeniu statystyk kombinatorycznie tworzonych m 
elementowych podzbiorów zbioru n  elementowego osobno dla zlewni Skawy i osobno dla
zlewni górnego Dunajca dała przesłanki do regionalizacji parametrów proponowanej formuły,
równocześnie pokazując nieznaczne różnice w wartościach statystyk zoptymalizowanych
parametrów. Przy regionalizacji parametrów średnie błędy dla  jednej liczby maksymalnie
przyjmowały wartości do 5[%] dla zlewni Dunajca, natomiast 3[%] dla zlewni Skawy.
Ostatecznie pokazano również postać funkcji prawdopodobieństwa przewyższenia oraz
przykładowe wykresy tej funkcji dla różnych pół powierzchni zlewni.
Literatura.
1. Fekete B.M., Voeroesmarty Ch.J., Grabs W. Global Composite Runoff Fields on Observed
River Discharge and Simulated Water Balances. February 2000, Koblenz.
2. Herschy R.W., The world s maximum observed floods. Flow Measurement and
Instrumentation 13 (2002) 231 235. Elsevier, 2002.
3. R. Herschy (Compiler), World Catalogue of Maximum Observed Floods, IAHS, Centre for
Ecology and Hydrology Wallingford OXFORD, UK, February 19, 2004
4. Fal B., Maksymalne przepływy rzek polskich na tle wartości zaobserwowanych w różnych
rzekach świata. Gospodarka Wodna, 5/2004.
5. Stark R.M., Nicholls R.L., Matematyczne podstawy projektowania inżynierskiego, 1979.
6. Punzet J., Ocena przepływów wielkich wód małych zlewni górnej Wisły. Gospodarka
Wodna 6/1977.
7. Ozga-Zielińska M., Przepływy maksymalne o określonym prawdopodobieństwie
przewyższenia a maksymalne wiarygodne wezbranie. Gospodarka Wodna 7/2004.
8. Prochal P., Podstawy melioracji rolnych. PWRiL, Warszawa 1986
9. Twaróg B., Ekspertyzy w zakresie obliczeń hydrologiczno  hydraulicznych pod kątem
identyfikacji stref zagrożenia powodziowego. Opracowanie dla Hydroprojekt Kraków sp.
z.o.o. Kraków, 2004.
10. Biondić D., Barbalić D., Petraa
J., Creager s and Francou-Rodier s Envelopes of Extrem
Floods in the Danube River Basin in Croatia. Brasilia, November 2002