PRAWA ZACHOWANIA
Podstawowe terminy
Ciała tworzące układ mechaniczny oddziałują między sobą i z ciałami nienależącymi do
układu za pomocą:
Sił wewnętrznych  Sił działających na dane ciało ze strony innych ciał tego samego
układu,
Sił zewnętrznych  Sił działających na dane ciało ze strony ciał nienależących do
rozpatrywanego układu.
Układ odosobniony  Układ, w którym nie występują siły zewnętrzne.
Energia kinetyczna cząstki
Rozpatrzmy ruch cząstki o masie m w układzie inercjalnym pod wpływem sił. Ruch taki
podlega drugiemu prawu Newtona


d�
m = F F  wypadkowa sił działających na cząstkę.
dt
Prawa zachowania 1
Energia kinetyczna cząstki, cd.


d�
m = F
dt

Pomnóżmy obie strony tego równania przez infinitezymalne przesunięcie ds =� dt


d�
m � dt = F ds
dt

Przekształcając to równanie i biorąc pod uwagę, że d �� = d� � +� d� = 2� d� oraz że
( ) ( )

�� =�2 otrzymujemy


d ��
�#ś#
d� ( ) m�2
m � dt =m� d� = m = d = dEk
ś#ź#
dt 22
�# #


m�2
gdzie  energia kinetyczna cząstki. Otrzymujemy więc dEk = F ds
Ek =
2

Jeśli na cząstkę nie działa żadna siła (F = 0), to jej energia kinetyczna Ek pozostaje stała.



Dla F `" 0 dEk = F ds = dW dW  praca wykonana przez siłę F na drodze ds
.
Prawa zachowania 2
Energia kinetyczna cząstki, cd.
Otrzymaliśmy


dEk = F ds = dW Scałkujmy to równanie obustronnie po dowolnej drodze
zaczynającej się w punkcie 1, a kończącej się w punkcie 2
22 2 2
k k 2
+"dW = +"dE +"dW =W12, +"dE = Ek - Ek1
11 1 1
W12 = Ek 2 - Ek1  Praca siły wypadkowej zamienia się na przyrost energii
kinetycznej cząstki.
Pole sił zachowawczych
Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni cząstka jest poddana działaniu innych ciał, to mówimy,
że cząstka znajduje się w polu sił.
Pole stacjonarne  Pole, które nie zmienia się w czasie.
Pole zachowawcze  Pole stacjonarne, w którym praca wykonana nad cząstką przez siły
pola zależy tylko od początkowego i końcowego położenia cząstki,
nie zależy natomiast od drogi, po której porusza się cząstka.
Prawa zachowania 3
Pole sił zachowawczych, cd.
Praca sił zachowawczych na drodze zamkniętej jest równa
zeru.
W = (W12)I + (W21)II = (W12)I - (W12)II = 0
Zachowawczość siły ciężkości
Siła ciężkości jest siłą zachowawczą. W ograniczonym obszarze
przestrzeni można przyjąć, że siła ta ma w dowolnym punkcie
tę samą wartość, ten sam kierunek i ten sam zwrot. Praca
wykonana przez siły pola na drodze od punktu 1 do punktu 2
wynosi
22


W12 = ds = F = F s12
+"F +"ds
11
Prawa zachowania 4
Zachowawczość siły ciężkości, cd.



W12 = F s12 = m g s12 = m g (s12)g = m g (h1 - h2)
W12 nie zależy od kształtu toru łączącego punkty 1 i 2,

a więc F jest tu siłą zachowawczą.


Można pokazać, że siłą zachowawczą jest również każda siła centralna F = F(r)er .
Energia potencjalna cząstki w polu sił
W zachowawczym polu sił każdej cząstce umieszczonej w dowolnym punkcie pola można
przypisać wartość pewnej funkcji Ep (x, y, z), taką, że praca sił pola przy przeniesieniu tej
cząstki z punktu 1 do punktu 2 równa jest ubytkowi tej funkcji (przyrostowi ze znakiem
minus):
W12 =-(Ep2 - Ep1) Funkcja Ep (x, y, z) nazywana jest energią potencjalną cząstki.
Prawa zachowania 5
Energia potencjalna cząstki w zewnętrznym polu sił, cd.
Energia potencjalna określona jest z dokładnością do pewnej nieznanej stałej addytywnej
2


W12 =-(Ep2 - Ep1) �! Ep2 = Ep1 -W12 = Ep1 - ds
+"F
1
Znając siły pola możemy określić tylko różnice energii potencjalnej cząstki w poszczególnych
punktach pola, ale nie wartości bezwzględne tej energii.
Zależność sił pola od energii potencjalnej
Znając postać funkcji Ep (x, y, z) dla danej cząstki można określić siłę, która działa na cząstkę
w każdym punkcie pola. Ponieważ dla dowolnych dwóch punktów 1 i 2 mamy
W12 =-(Ep2 - Ep1) =-("Ep )12 ,
więc zachodzi



Fds =-(dEp)ds [-(dEp )ds oznacza ubytek Ep na drodze ds ]
lub inaczej
Fx dx + Fy dy + Fz dz = - Ą#
Ł#(dEp)dx + (dEp)dy + (dEp)dz ń#
Ś#
Prawa zachowania 6
Zależność sił pola od energii potencjalnej, cd.
Otrzymaliśmy
Fx dx + Fy dy + Fz dz = - Ą#
Ł#(dEp)dx + (dEp)dy + (dEp)dz ń#
Ś#
Możemy więc napisać
"Ep
(dEp )dx "Ep "Ep
Fx =- =- , Fy =- , Fz =-
dx "x "y "z
Znając składowe Fx, Fy, Fz , można określić wektor siły

"Ep "Ep "Ep

F = Fx ex + Fy ey + Fz ez = - ex - ey - ez
"x "y "z
"� "� "�
x, y, z
Wektor o składowych , , , gdzie � jest skalarną funkcją współrzędnych ,
"x "y "z
nazywamy gradientem funkcji � i oznaczamy symbolem grad� lub "� .
"  operator nabla, "� czytamy  gradient fi .
Siła zachowawcza jest równa gradientowi energii potencjalnej ze znakiem minus.

F = -"Ep
Prawa zachowania 7
PRAWO ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Pokazaliśmy, że praca siły zachowawczej wiąże się ze zmianą energii potencjalnej cząstki
W12 =-(Ep2 - Ep1)
oraz, że praca dowolnej siły (zachowawczej lub niezachowawczej) powoduje zmianę energii
kinetycznej cząstki
W12 = Ek 2 - Ek1
Porównując te dwa wyrażenia otrzymujemy
Ek 2 - Ek1 = Ep1 - Ep2 �! Ep1 + Ek1 = Ep2 + Ek 2
Widzimy więc, że w polu sił zachowawczych całkowita energia mechaniczna E cząstki
zdefiniowana jako
E = Ep + Ek
jest taka sama w każdym punkcie tego pola.
Prawa zachowania 8
Prawo zachowania energii mechanicznej, cd.
Dla pojedynczej cząstki pokazaliśmy, że w dowolnym punkcie pola niezmienna jej jest
całkowita energia
E = Ep + Ek
Podobny wniosek możemy wysnuć dla układu N cząstek, na które działają tylko siły
zachowawcze. Należy jednak wziąć pod uwagę, że energia potencjalna układu jest sumą
zewn
energii potencjalnych Epi poszczególnych cząstek w polu sił zewnętrznych powiększoną o
sumę potencjalnych energii wzajemnych oddziaływań cząstek za pomocą sił wewnętrznych.
Energia kinetyczna układu jest sumą energii kinetycznych poszczególnych cząstek.
�#ś# rij
NN


zewn wewn wewn (
Ep = Ep i +
"ś#ź# ij
"E ź#, Epij = Ep0) - Fij drij
p ij
+"
ś#ź#
i=1 j=1
ś#
0
j>i
�# #
NN
mi�i2
Ek =
"E = "
k i
2
i=1 i=1
Prawo zachowania energii mechanicznej
Całkowita energia mechaniczna układu ciał, na które działają tylko siły zachowawcze, jest
stała.
Prawa zachowania 9
PRAWO ZACHOWANIA P
DU
Rozważmy układ N wzajemnie oddziaływujących ze sobą cząstek

Fik  siły wewnętrzna działająca na i tą cząstkę, pochodząca od cząstki k tej.

Fi  wypadkowa sił zewnętrznych działających na i tą cząstkę
Równanie ruchu dla i tej cząstki ma postać
N
d
pi = Fi1 + Fi2 + ...+ Fik + ... + FiN + Fi =
"F + Fi
ik
dt
k =1
k `"i

Sumując wszystkie powyższe N równań stronami i uwzględniając, że Fik = -Fki otrzymujemy
N

d
p1 + p2 + ...+ pN = F1 + F2 + ... + FN =
()
"F
i
dt
i=1
NN

Wprowadzając pęd układu p = pi =
""m �i otrzymujemy
i
i=1 i=1
N

d
p =
"F
i
dt
i=1

Przy braku sił zewnętrznych zachodzi dp / dt = 0 , czyli pęd układu odosobnionego jest stały
Układ odosobniony  Dowolny wyizolowany od otoczenia układ, na który nie działają
żadne siły zewnętrzne.
Prawa zachowania 10
Prawo zachowania pędu, cd.
Prawo zachowania pędu
Pęd odosobnionego układu punktów materialnych jest stały. Pęd jest stały również w
przypadku układu nieodosobnionego, o ile wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru.
PRAWO ZACHOWANIA MOMENTU P
DU
Moment pędu względem punktu O, ramię wektora pędu względem punktu O


L = r � p  moment pędu masy m względem
punktu O.
L = r psiną = l p
l = r siną  ramię wektora pędu względem
punktu O.
Prawa zachowania 11
Moment pędu układu N cząstek względem punktu O


Li = ri � pi  moment pędu i tej cząstki względem punktu O.
N


L =
"r � pi  moment pędu układu N cząstek względem punktu O.
i
i=1
Moment pędu względem osi

Rzut wektora L na pewną oś z przechodzącą przez punkt O, względem którego jest

określony wektor L , nazywamy momentem pędu cząstki względem tej osi.

Lz = (r � p)z

Lz i = (ri � pi )z  moment pędu i tej cząstki względem osi z,
NN

Lz =
"L = "(r � pi )z  moment pędu układu N punktów materialnych
zi i
i=1 i=1
względem osi z.
Prawa zachowania 12
Moment siły względem punktu O, ramię wektora siły względem punktu O


M = r � F  moment siły względem punktu O,
M = rF siną = Fl
l = r siną  ramię wektora siły względem punktu O,
Wypadkowy moment N sił względem punktu O


Mi = ri � Fi  moment siły Fi względem punktu O,
N


M =
"r � Fi  wypadkowy moment N sił względem punktu O.
i
i=1
Moment siły względem osi

Rzut wektora M na pewną oś z przechodzącą przez punkt O, względem którego jest


określony wektor M nazywamy momentem siły względem tej osi, M = (r � F)z .
z
Prawa zachowania 13
Moment siły względem osi, cd.


M = (ri � Fi)z  moment siły Fi względem osi z,
zi
N


M =
z "(r � Fi )z  wypadkowy moment sił działających na układ względem osi z.
i
i=1
Moment siły względem osi charakteryzuje zdolność siły do obracania ciała względem tej osi.
Prawo zachowania momentu pędu
Można pokazać, że


dL
=
"M Pochodna po czasie momentu pędu jest równa sumie momentów
zewn
dt
sił zewnętrznych.

dL
Przy braku momentów sił zewnętrznych = 0
dt
Prawo zachowania momentu pędu
Moment pędu odosobnionego układu cząstek jest stały. Moment pędu jest stały również
dla układu nieodosobnionego, o ile całkowity moment sił zewnętrznych jest równy zeru.
Prawa zachowania 14