Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska Wykład 3
Gradient
Gradient jest liniowym operatorem przekształcającym funkcję skalarną u(x,y,z) w pole
wektorowe, którego składowymi są pochodne cząstkowe u względem współrzędnych
kartezjańskich.
ux
ć� ��
T
�� ��
ć� ś�u ś�u ś�u ��
grad u =� �u =� =� �� , , ��
��u ��
y
�� ��
ś�x ś�y ś�z
Ł� ł�
��u ��
Ł� z ł�
Ń�u wskazuje w kierunku największego wzrostu wartości funkcji u, podczas gdy -� Ń�u wskazuje
w kierunku najszybszego zmniejszania się jej wartości.
Dywergencja
Drugim bardzo ważnym operatorem wektorowym jest operator dywergencji. Dywergencja
v =� (v1,v2,v3)T f =� � �� v
przekształca pole wektorowe w pole skalarne :
ś�v1 ś�v2 ś�v3
div v =� � �� v =� +� +�
ś�x ś�y ś�z
Operator dywergencji opisuje  gromadzenie (kumulowanie się) jakiejś wielkości (ładunku,
masy, itd.).
Przypadek jednowymiarowy (1D)
Operatory gradientu i dywergencji w przypadku jednowymiarowym wyrażają się poprzez
pochodną.
Operator i równanie Laplace a
Połączenie operatora dywergencji i gradientu daje w wyniku operator Laplace a:
ś�2u ś�2u ś�2u
div gradu =� � ���u =� �2u =� D�u =� uxx +� uyy +� uzz =� +� +�
.
ś�x2 ś�y2 ś�z2
Zauważmy, że jest to ta sama sekwencja operatorów, jaka pojawiła się w równaniu przepływu
w warstwie nasyconej w przykładzie z wysypiskiem, dla przypadku gdy współczynnik filtracji
.
K �� 1
Równanie Laplace a otrzymuje się przyrównując operator Laplace a do zera. Jest to rówanie
jednorodne.
Jego niejednorodny odpowiednik nazywa się równaniem Poissona:
D�u =� 0 równanie Laplace a.
D�u =� f
równanie Poissona.
Są to równania różniczkowe cząstkowe, drugiego rzędu, eliptyczne.
Operator dywergencji działający na dowolne pole wektorowe opisuje gromadzenie się jakiejś
wielkości. A zatem równanie:
div q =� � ��q =� 0
oznacza brak kumulacji. Czyli w  nieskończenie małym otoczeniu każdego punktu nic się nie
gromadzi ani nic nie ubywa.
Ponieważ można powiedzieć, że operator dywergencji mierzy różnicę między tym, co wchodzi
w obszar  maleńkiego sąsiedztwa danego punktu, i tym, co opuszcza ten obszar, równanie
div q =� � ��q =� 0
jest matematycznym wyrazem prawa zachowania masy.
2006-10-29 1
Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska Wykład 3
Na wektor q występujący w tym równaniu mówi się strumień, np. strumień masy, strumień
koncentracji, strumień objętościowy. Strumień jest wektorem, ze wszystkimi tego
konsekwencjami: posiada kierunek, zwrot, itd. Na przykład w omawianym wcześniej równaniu
przepływu (przykład z wysypiskiem), wyrażającym prawo zachowania masy
� �� K(x, y, z)�h (x, y, z) =� 0
wyrażenie
q =� -�K(x, y, z)�h (x, y, z)
.
oznacza strumień objętościowy.
Zauważmy na marginesie, że właśnie udało mi się zapisać równanie przepływu w postaci
układu równań:
div q =� � ��q =� 0
q =� -�K(x, z)�h (x, z)
Bardzo wiele zjawisk można opisać za pomocą takiego samego równania. Oprócz omawianego
przykładu przepływu w warstwie nasyconej, równanie to opisuje rozkład temperatury (stan
ustalony; współczynnik K oznacza wtedy współczynnik przewodnictwa cieplnego), wychylenie
membrany w wyniku działania na nią siły, rozkład potencjału w wyniku przyłożonego napięcia
(elektrostatyka, K oznacza wtedy współczynnik przewodności, zaś strumień q odpowiada
natężeniu prądu).
Procesy  prawa zachowania
Wiele RRCz opisujących rzeczywiste procesy może zostać wyprowadzonych na podstawie
zasad zachowania.
Rozważamy przypadek 1D.
Załóżmy, że u(x,t) oznacza koncentrację lub gęstość pewnej substancji (np. zanieczyszczenie)
x1 <� x <� x2
Ilość substancji u znajdującą się w odcinku w chwili t można opisać za pomocą całki
x2
u(x,t)dx
.
��
x1
[x1, x2]
Całka ta reprezentuje całkowitą masę substancji znajdującą się w odcinku
w chwili t.
Jeśli założy się, że w obrębie odcinka masa nie jest tworzona ani nie znika (brak z
ródeł oraz
wypływów), to zmiana masy substancji może nastąpić tylko w wyniku strumienia
przepływającego przez punkty krańcowe odcinka. Strumień może być zadany poprzez pewną
funkcję f. W najprostszym przypadku strumień f zależy tylko od wartości funkcji u.
Prawo zachowania wyraża się wtedy:
ś� ś�
u(x,t) +� f (u(x,t)) =� 0
ś�t ś�x
Adwekcja
Jeśli substancja jest przenoszona wzdłuż odcinka w wyniku przepływu o prędkości a, to wtedy
strumień f wyraża się jako
f (u) =� au
bo tyle substancji przechodzi przez punkt w jednostce czasu.
Przy założeniu, że jest to jedyne zachodzące zjawisko, otrzymuje się prawo zachowania w
postaci równania adwekcji:
ut +� aux =� 0
2006-10-29 2
Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska Wykład 3
Jest to równanie hiperboliczne (bo jest równaniem pierwszego rzędu). Jego rozwiązanie dla
u0 (x) =� u(x,0)
danego warunku początkowego wyraża przemieszczanie się początkowego
profilu z prędkością a:
u(x,t) =� u0 (x -� at)
Dyfuzja
Ruch substancji (w skali makroskopowej) może być wynikiem molekularnej dyfuzji, która
powoduje przemieszczanie się cząstek substancji z obszarów o większym stężeniu (gęstości) do
obszarów o stężeniu mniejszym. Można pokazać, że strumień jest proporcjonalny do gradientu
-� ux
-� �u (w przypadku jednowymiarowym do pochodnej ). A zatem mamy:
f (ux ) =� -�k�ux
, lub bardziej ogólnie:
f (�u) =� -�k� �u
.
Ta zależność jest znana jako prawo Ficka.
Ale:
�� gdy u oznacza temperaturę, jest to prawo Fouriera przewodnictwa ciepła,
�� gdy u oznacza wysokość hydrauliczną  prawo Darcy,
�� gdy u oznacza potencjał  prawo Ohma.
Po podstawieniu tak zdefiniowanego strumienia do prawa zachowania otrzymuje się równanie
dyfuzji:
ut =� k�uxx k�
(dla stałej wartości ).
k� =� k�(x)
W ogólnym przypadku (więcej wymiarów i dla ) równanie dyfuzji ma postać:
ś�
u =� � ��(k� (x, y, z)�u)
ś�t
Adwekcja i dyfuzja
Jeżeli równocześnie występuje adwekcja i dyfuzja, strumień wyraża się zależnością:
f (u,ux ) =� au -�k�ux
a równanie adwekcji-dyfuzji wyraża się następująco:
ut +� au =� k�uxx
Równania dyfuzji oraz adwekcji-dyfuzji należą do klasy równań parabolicznych. Równanie
adwekcji-dyfuzji jest wykorzystywane do modelowania transportu zanieczyszczeń.
Składniki z
ródłowe
W niektórych sytuacjach koncentracja (ogólnie, wielkość reprezentowana przez u) ulega
zmianie z powodu występowania z
ródeł lub upustów substancji. Jeśli działanie takiego
y� (x,t)
z
ródła/upustu są wyrażone za pomocą funkcji to otrzymuje się następujące równanie:
ut +� au =� k�uxx +�y�
Reakcja-dyfuzja
Jednym z powodów pojawiania się składników z
ródłowych są reakcje chemiczne. Równania
reakcji-dyfuzji mają postać:
ut =� k�uxx +�y� (u)
.
W równaniu może pojawić się również składnik adwekcyjny jeśli reakcja zachodzi w
 przepływie .
2006-10-29 3