Fizyka Ogólna: Wykad 2 1
Prawa Zachowania
Zasady zachowania odgrywaj� w fizyce szczególn� rol .
Oprócz zasad zachowania poznanych w szkole:
" zasady zachowania p du
" zasady zachowania momentu p du
" zasady zachowania energii
istnieje wiele innych zasad zachowania jak np.
zasada zachowania adunku
zasady zachowania masy
zasady zachowania liczby barionowej
(tj. liczby protonów, neutronów i innych tzw. cz�stek ci ókich)
oraz bardziej egzotyczne
zasady zachowania dziwnoŃci
zasady zachowania parzystoŃci
i inne
Zasady te s� ogólniejsze nió np. prawa Newtona.
Wynikaj� z symetrii otaczaj�cego nas Ńwiata. (twierdzenie Noether 1918 r)
Fizyka Ogólna: Wykad 2 2
Zasada zachowania p du
II zasada dynamiki Newtona dla ruchu post powego zawiera zasad zachowania p du:
r
r
dp
= F
dt
r
r
Wniosek: F = 0 �! p = const.
Komentarz:
Zasada dynamiki Newtona jest równaniem wektorowym. Jest wi c równowaóna 3 równaniom
skalarnym. St�d jeŃli w ukadzie wspórz dnych kartezja�skich Fx `" 0 a pozostae skadowe siy znikaj�
to zasada zachowania p du speniona jest w kierunku osi Oy i Oz ale nie w kierunku Ox.
Zasada zachowania p Ńci przestrzeni
 du wynika z jednorodnoŃ
 Ń
 Ń
Fizyka Ogólna: Wykad 2 3
Przykad:
Dana jest cz�stka o masie m i energii mechanicznej E.
Cz�stka ta przekracza granic pomi dzy dwoma oŃrodkami padaj�c na ni� pod k�tem �1.
Pod jakim k�tem opuŃci ona granic pomi dzy oŃrodkami jeŃli wiadomo, óe w oŃrodku, z którego nadlatuje
ma energi potencjaln� Ep1 zaŃ w oŃrodku, do którego przechodzi ma energi Ep2 ?
Wskazówki:
energia mechaniczna jest to suma energii kinetycznej i energii potencjalnej
oba oŃrodki s� zachowawcze st�d energia mechaniczna jest zachowana
r
F = - grad E p
E = E p + Ek
2
m v1
= E - E p1
2
m v2
2
= E - E p2
2
Fizyka Ogólna: Wykad 2 4
Sia dziaa tylko wzduó kierunku prostopadego do granicy oŃrodków (w tym kierunku wyst puje gradient
energii potencjalnej).
St�d wzduó tej granicy speniona jest zasada zachowania p du:
m v1 sin = m v2 sin
�1 �2
v1 = sin�2
sin
�1
v
2
Dla porównania prawo Sneliusa dla Ńwiata (fotony mają zerową masę !):
sin
�1
v
1
=
�2
v2 sin
Fizyka Ogólna: Wykad 2 5
Zasada zachowania momentu p du
r
r
dL
= N
dt
Wyjdziemy z II zasady dynamiki Newtona
r
r
dp r
= F | r �
dt
r
r
r dp r
r � = r � F
dt
r r r r
r d(mv) dr dr r d dr
r �
= � m + r � (m )
dt dt dt dt dt
r
d r r dL
= (r � p) =
dt dt
r
r r
L a" r � p
OtrzymaliŃmy II zasad dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
r
Gdy moment siy N znika moment pedu jest stay.
Zasada dynamiki Newtona wyraóa wi c zasad
 zachowania.


Ta ostatnia ma zakres zastosowania o wiele szerszy: obowi�zuje równieó tam gdzie siy nie s� newtonowskie
oraz w mechanice kwantowej.
Fizyka Ogólna: Wykad 2 6
Prosty sposób na obliczenie momentu p du we wspórz dnych kartezja�skich:
r r r
i j
k
r
L = ( , Ly , Lz ) = x y z
L
x
px py pz
Zasada zachowania momentu p du wi�óe si z izotropowoŃci� przestrzeni:
ukad odoizolowany nie zmienia swoich wasnoŃł
i po obróceniu o dowolny k�t.
przykad sia centralna
r r
r r
Definicja sia jest centralna gdy F _ r czyli gdy F = F ( r ) i r
r r r r
r
wtedy: N = rxF a" 0 a wi c L = const.
Przykady si centralnych
�
sia grawitacyjna F ( r ) = - ; � a" - G m1 m2
r2
F(r) < 0 oznacza si przyci�gaj�c�
q1 q2
�
sia elektrostatyczna F ( r ) = - ; � a" -
4 Ą �
r2
Fizyka Ogólna: Wykad 2 7
r r
Przykad: moment pędu cz�stki swobodnej tj. gdy N,F = 0
zgodnie z II zasad� dynamiki Newtona.
L = m v r sin� = m v b = const.
Fizyka Ogólna: Wykad 2 8
Praca, moc, energia
Definicja Pracy:
r
r
Praca siy F na drodzedr jest równa
r
r
dW = F �" dr
Poniewaó praca na ogó praca zale\
y od drogi � po jakiej zostaa wykonana.
r
r
W = F �" dr
+"
�
Wniosek z definicji pracy
r
r
Gdy sia F Ą" dr to dW = 0 .
Przykady
r
r
sila doŃrodkowa F = - m �2 r nie wykonuje pracy w ruchu po okr gu
r r
r
sia Lorenza F = q ( vxB ) dowód:
r r
r r r r
dW = q ( v � B )�" dr = q( dr � v )�" B = 0
Fizyka Ogólna: Wykad 2 9
r
r
Przykad praca siy spr óystej F = - k r
k jest sta� spr óystoŃci.
r r
od punktu A ( r = 0 ) do punktu B (r `" 0 )
B B r
0
r
r r r
W = �" dr = - k �" dr = - k
+" F +"r +" r dr
A A 0
� �
2
k r0
W = -
2
Praca jest ujemna: trzeba j� wykonał
aby ruch si odby
kg m2
Jednostk� pracy jest dóul 1J = 1N 1m = 1
s2
Fizyka Ogólna: Wykad 2 10
Moc
Moc chwilowa
dW
P =
dt
r
r
dr
P = F �"
dt
r
r
P = F �"v
PodzieliliŃmy infinityzymalnie may przyrost pracy
przez czas potrzebny do wykonania infinityzymalnie maego przesuni cia.
Jednostk� mocy jest wat
1J kg m2
1W = =
1s
s3
Definiuje si teó moc Ńredni�
t1
W 1
< P > = =
+" W dt
"t t - t
t0
1 0
Fizyka Ogólna: Wykad 2 11
Energia Kinetyczna
r r
Pomnoóymy obie strony II prawa Newtona przez ds = vdt
r
r
dv r r
m �"ds = F �"ds
dt
Interesuje nas wielkoŃł
po lewej stronie znaku równoŃci:
r r
dv r dv r r 1
m �"ds = m �" dt = m v �" dv = d ( m v2 )
dt dt 2
WielkoŃł
w nawiasie nazywamy energią kinetyczną
St�d
r
dp r
d = �" ds = dW
E
k
dt
Przyrost energii kinetycznej okazuje si równy pracy wykonanej na ukadzie.
Jednostka energii kinetycznej jest teó dóul
ale bywa uóywana elektronowolt
1 eV = 1,602189 10-19 J
Fizyka Ogólna: Wykad 2 12
B B
r
r
k
Rozpatrzmy ruch badanego ciaa pomi dzy punktami A i B toru �:
+"d E = +" F �" dr = W
A A
�
Wnioski
jest to sposób na pomiar pracy bez potrzeby znajomoŃci toru �
moc chwilowa wiaóe si z szybkosci� zmian energii kinetycznej
r
r
dW r dv r 1 d r r d
E
k
= F �"v = m v = m (v �"v) =
dt dt 2 dt dt
Fizyka Ogólna: Wykad 2 13
Energia potencjalna
r r
r r
Na ogó sia F = F ( r,v, t).
Cz sto mamy do czynienia z si� niezaleón� jawnie od czasu
r r
r r
F = F ( r,v)
przy czym zarówno pooóenia jak i pr dkoŃci s� funkcjami czasu i s� poszukiwane.
Wtedy:
r r
r r
zawodzi proste cakowanie po czasie funkcji F = F ( r(t) ,v(t) ):
jeŃli chcemy znale�ł
pr dkoŃł
z równania ruchu Newtona tj. z
r r r
r r r
to nawet jeŃli funkcja F = F ( r,v) = F ( r(t) )tylko to i tak nie moóemy wykonał

r
r 1 r
calkowania v (t) = +" F dt bez jawnej postaci r(t).
m
Szukamy więc takiego sposobu rozwiązania zagadnienia ruchu aby cakował
po dr
a nie po dt.
Fizyka Ogólna: Wykad 2 14
Istnieje obszerna klasa si: si
y zachowawcze


dla których nie jest potrzebna znajomoŃł
ksztatu toru aby móc wyznaczył
prac .
r
Definicja: F jest si� zachowawcz� jeóeli
r r
r r r
F(r,v,t) = F(r)
tak�, óe
r
r
dW = F �" dr = - d
E p
r
gdzie Ep jest jednoznaczną funkcją skalarn� promienia wodzącego r , która jest ciąga wraz z pochodnymi i
niezaleóna od czasu.
Ep nazywamy potencjaem siy
lub energi� potencjaln�
Wa\
ny związek:
r
F = - grad E (x, y, z)
p
�ł "f "f "f �ł
gdzie gradient funkcji f(x,y,z) jest wektorem o składowych , , (w układzie kartezjańskim)
�ł �ł
"x "y "z
�ł łł
Fizyka Ogólna: Wykad 2 15
Konsekwencje definicji energii potencjalnej:
Niech Ep istnieje.
Wtedy
B B
r
r
W = �" dr = -
p pB pA pA pB
+"F +" d E = -( E - E ) = E - E
A A
�
Praca siy zachowawczej pomi dzy dwoma punktami A i B nie zaleóy od wyboru drogi pomiedzy tymi
punktami.
cyrkulacja si � znika
y zachowawczej po drodze zamkniętej �
�
�
r
r
F �" dr = 0
+"
�
to wyraóenie moóe suóył
jako definicja siy zachowawczej
w analizie wektorowej dowodzi si ó
 , óe znikanie cyrkulacji danego wektora jest równoznaczne
 ó
 ó
r
z istnieniem związanej z nim funkcji Ep(r ).
Energia potencjalna okreŃlona jest z dokadnoŃci� do pewnej staej addytywnej, która zaleóy od
wyboru punktu odniesienia.
Fizyka Ogólna: Wykad 2 16
Zasada zachowania energii
Dla si
zachowawczych


d(Ek + dEp)= 0
Ta sama zasada zachowania w postaci cakowej:
B
r
r
W = �" dr = E - E = E - E
pA pB
kB k
+" F A
A
Porz�dkuj�c otrzymuje si
( + E p = ( + E p )A
)B Ek
E
k
Wniosek
Energia mechaniczna Ek + Ep = E
pozostaje staa podczas ruchu pod wpywem si zachowawczych.
Zasada zachowania dla si
niezachowawczych


r r
r
Na ogó siy niezachowawcze F = F ( v ) i s� przeciwnie skierowane do kierunku pr dkosci.
r r
= - ł v
F
o
r
Przykad sia tarcia lepkiego
r r r r r dr
dW = Fo �"dr = - ł v �" dr = - łv �" dt = - ł dt
v2
dt
dW
P = = - ł
v2
dt
Fizyka Ogólna: Wykad 2 17
Gdy na punkt materialny dziaają jednoczeŃnie siy zachowawcze i niezachowawcze:
r r r r r r r
dW = ( F + F )�" dr = F �" dr + F �" dr
z nz z nz
= - d + dW
E p nz
r
r
r
Zawsze: dW = F �"dr = dEk dla dowolnej siy F
dlatego
= dE = dW nz
dEk + dE
p
Zasada zachowania energii:
Zmiana energii mechanicznej jest równa pracy si
niezachowawczych.


Przykad
Wyóej wymieniona sia oporu jest sią niezachowawcz� stąd
= - ł v2 dt < 0
dW
nz