PODSTAWY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ
Przestrzeń i czas w mechanice klasycznej
2
Zakładamy, że osie układów współrzędnych K i K
2
pozostają wzajemnie równoległe, a układ K porusza
się względem układu K wzdłuż osi x z prędkością �0 .
2
W chwili t = t = 0 początki obu układów pokrywały
się.
Przekształcenia Galileusza.
Przekształcenia Galileusza opisują związek między
2
x = x +�0t
2 2 2 2
współrzędnymi (x , y , z ,t ) i (x, y, z,t) tego samego
2
y = y
zdarzenia zachodzącego w punkcie P. Pierwszy i
2
z = z
2
t = t
ostatni związek są słuszne tylko dla �0 c.
Zasada względności Galileusza
Za pomocą doświadczeń mechanicznych nie można ustalić, czy dany układ spoczywa,
czy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.
Mechanika relatywistyczna 1
Inercjalny układ odniesienia
Jest to układ odniesienia, w którym wolny od oddziaływań zewnętrznych punkt materialny
znajduje się w stanie spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Postulaty Einsteina
Zasada względności Einsteina
Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie
sienia.
lub
Równania wyrażające prawa przyrody są niezmiennicze względem przekształceń
współrzędnych i czasu, wynikających z przejścia z jednego inercjalnego układu odnie
sienia do drugiego.
Zasada stałości prędkości światła
Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odnie
sienia i nie zależy od ruchu z
ródeł i odbiorników światła.
Mechanika relatywistyczna 2
Postulaty Einsteina, cd.
Prędkość światła w próżni jest prędkością graniczną. Żaden sygnał, żadne działanie jednego
ciała na drugie nie może rozchodzić się z prędkością większą od prędkości światła w próżni.
Jest to również prawo przyrody, a więc zgodnie z zasadą względności ta prędkość graniczna
powinna być taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Niektóre konsekwencje postulatów Einsteina
Dwa zdarzenia jednoczesne w jednym układzie odniesienia mogą nie być jednoczesne w in
nym układzie odniesienia.
Zdarzenie  Punkt podany przez współrzędne x , y , z i t (a dokładniej przez x , y , z i
ct ) w czterowymiarowej przestrzeni (czasoprzestrzeni).
Mechanika relatywistyczna 3
Przekształcenia Lorentza
2 2 2 2
x +�0t x + �ct
x = x =
2 2
1-�0 / c2 1- �
2 2
y = y y = y
2 2
z = z z = z
2 2 2 2
t + (�0 / c2)x t + (� / c)x
t = t =
2 2
1-�0 / c2 1- �
� = �0 c
x - �ct t - (� / c)x
2 2 2 2
Przekształcenia odwrotne: x = , y = y , z = z , t = .
2 2
1- � 1- �
Podstawowe właściwości przekształceń Lorentza
Dla �0 c (lub � 1) przechodzą w przekształcenia Galileusza.
2 2
Dla �0 > c stają się urojone dla x , t , x i t .
Przybierają symetryczną postać, jeżeli są zapisane z użyciem zmiennych x i ct zamiast x i t .
2 2 2 2
x + �ct ct + � x
2 2
x = , y = y , z = z , ct =
2 2
1- � 1- �
Mechanika relatywistyczna 4
KONSEKWENCJE PRZEKSZTAA
CEC
LORENTZA
Jednoczesność zdarzeń w różnych układach odniesienia
2 2 2 2 2 2 2 , 2 2
Rozważmy ( x1, y , z , ct0 ) i ( x2 , y , z ct0 ) , dwa zdarzenia równoczesne w układzie K . W
układzie K mamy
2 2 2 2
t0 + (� / c)x1 t0 + (� / c)x2
t1 = , t2 =
2 2
1- � 1- �
2 2
(� / c)(x2 - x1)
t2 - t1 =
2
1- �
2 2
Znak różnicy t2 - t1 zależy od znaku � i znaku różnicy x2 - x1.
Dwa przestrzennie rozdzielone zdarzenia równoczesne w jednym układzie odniesienia nie są
równoczesne w innym układzie odniesienia.
Mechanika relatywistyczna 5
Wymiary ciał w różnych układach odniesienia
2 .
Rozważmy ciało spoczywające w układzie K
2 2 2
l0 = x2 - x1  długość ciała w kierunku �0 w układzie K .
l = x2 - x1  długość ciała w kierunku �0 w układzie K .
Współrzędne x2 i x1 końców ciała w układzie K określa
ne są w tej samej chwili t1 = t2, co nie oznacza, że pod
2 2 2
czas pomiaru t1 = t2. Zależność współrzędnych x i x dana jest przez równania
2 2
x + �ct x - �ct
2
x = oraz x =
2 2
1- � 1- �
Wybieramy drugie z nich ze względu na obecność w nim czasu w układzie K . Zachodzi więc
2
2 2 x2 - x1
x2 - x1 = �! l = l0 1- � , l0  długość własna ciała.
2
1- �
Zjawisko Fitzgeralda Lorentza
Poruszające się ciała skracają swoje rozmiary w kierunku ruchu, przy czym skrócenie to
jest tym większe im większa jest prędkość tego ruchu.
Wymiary ciał w kierunkach prostopadłych do �0 pozostają niezmienione.
Mechanika relatywistyczna 6
Odstęp czasu między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym punkcie przestrzeni
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Rozważmy (x0, y , z ,ct1), (x0, y , z ,ct2), dwa zdarzenia o tej samej wartości współrzędnej x
2 2 2 2
w układzie K ale zachodzące w dwóch różnych chwilach t1 i t2. Zależność czasów t i t dana
jest przez równania
2 2
t + (� / c)x t - (� / c)x
2
t = oraz t =
2 2
1- � 1- �
2 2
Wybieramy pierwsze z nich ze względu na obecność w nim współrzędnej x w układzie K .
2 2 2
t2 - t1 "t
t2 - t1 = "t =
2 2
1- � 1- �
Dla pojedynczej cząstki
�  czas własny, czas mierzony na zegarze poruszającym się wraz z cząstką.
"�
Upływ czasu "t mierzony zegarem, który porusza się względem da
"t =
1-�2 / c2
nego ciała jest zawsze większy od upływu czasu własnego ciała "�
Dylatacja czasu  Poruszający się zegar chodzi wolniej od zegara spoczywającego,
"t >"� .
Mechanika relatywistyczna 7
PRZEKSZTAA
CANIE PR
DKOŚCI
2
Składowe prędkości cząstki w układach K i K można znalez
ć korzystając z ich definicji
dx dy dz
�x = , �y = , �z = ,
dt dt dt
2 2 2
dx dy dz
2 2 2
�x = , �y = , �z = ,
2 2 2
dt dt dt
Na podstawie przekształceń Lorentza znajdz
my np. różniczki dx , dy , dz i dt
2 2 2 2
x + �ct t + (� / c)x
2 2
x = , y = y , z = z , t = .
2 2
1- � 1- �
2 2 2 2
dx + �c dt dt + (� / c)dx
2 2
dx = , dy = dy , dz = dz , dt = .
2 2
1- � 1- �
W ten sposób dochodzimy do zależności:
2
2
2
�y 1- � 2
2 �z 1- �
�x + �c
�x = , �y = , �z = ,
2 2 2
1+ (� / c)�x 1+ (� / c)�x 1+ (� / c)�x
2
2
�y 1- �
�z 1- �
�x - �c
2 2 2
�x = , �y = , �z = .
1- (� / c)�x 1- (� / c)�x 1- (� / c)�x
Mechanika relatywistyczna 8
Przekształcanie prędkości, cd.
2 2 2 2 2
W szczególności dla ruchu w kierunku osi x (czyli dla �x =� oraz �y = 0, �z = 0), podlegają
2
2
2
�y 1- � 2
2 �z 1- �
�x + �c
cego transformacji �x = , �y = , �z = , mamy:
2 2 2
1+ (� / c)�x 1+ (� / c)�x 1+ (� / c)�x
2
� + �c
�x =� = , �y =�z = 0
2
1+ (� / c)�
Widać stąd, że graniczną wartością prędkości � jest c .
2
� = c �! � = c ,
� = 1 �! � = c ,
2
(� = c,� = 1) �! � = c .
P
D RELATYWISTYCZNY


Okazuje się, że prawo zachowania pędu w sformułowaniu Newtona, pi = mi�i, pi = const ,
"
nie jest niezmiennicze względem transformacji Lorentza. Dlatego w mechanice relatywi
stycznej definicja pędu jest inna.
Mechanika relatywistyczna 9
Pęd relatywistyczny, cd.
W mechanice relatywistycznej trzeba przyjąć, że w zależności pędu od prędkości występuje
dodatkowo pewna funkcja f (�).

1
p = m f (�)� Można pokazać, że f (�) = , stąd
1-�2 / c2

m� m�
p = �! p =
1-�2 / c2 1-�2 / c2

mdrdr
Ponadto zauważmy, że: p == m
d�
1-�2 / c2 dt
d�  przyrost czasu własnego ciała (czasu mierzonego w układzie poruszającym się z
ciałem).
Inna interpretacja relatywistycznego wzoru na pęd

p = mr � mr  masa relatywistyczna.
m
mr = m  masa spoczynkowa (m0).
1-�2 / c2
Będziemy raczej używać m , bo masa mr zależy od � , mr nie jest niezmiennikiem.
Mechanika relatywistyczna 10
RELATYWISTYCZNY WZÓR NA ENERGI

Relatywistyczna energia kinetyczna cząstki
W mechanice klasycznej było



d ��
�#ś#
m�2 ( ) d� dp
dEk = d = m = m� d� = m� dt = � dt =� dp = F ds
ś#ź#
22 dt dt
�# #
W mechanice relatywistycznej dEk definiuje się również jako pracę wykonaną nad cząstką w
ciągu czasu dt

�#ś# �#ś#
m� mc2

(Dowód tej zależności: I.W. Sawieliew,
dEk =� dp =� d = d
ś#ź# ś#ź# Wykłady z fizyki, t1, str. 269).
1-�2 / c2 1-�2 / c2
�# # �# #
Po scałkowaniu
mc2
Ek =+ const , Ek (� = 0) = 0 �! const = -mc2
1-�2 / c2
Ostatecznie
�#ś#
mc2 1
Ek =- mc2 = mc2 ś# -1ź#
1-�2 / c2 1-�2 / c2
�# #
Mechanika relatywistyczna 11
Relatywistyczna energia kinetyczna cząstki, cd.
�#ś#
1
Ek = mc2 ś# -1ź#
1-�2 / c2
�# #
Biorąc pod uwagę, że dla x 1 zachodzi (1+ x)ą 1+ ą x, łatwo widzieć, że powyższe wyra
żenie dla małych prędkości (� c) przechodzi w wyrażenie klasyczne
�#ś#
1 �2 m�2
Ek H" mc2 ś#1+ -1ź# =
2 c2 # 2
�#
Relatywistyczna energia całkowita cząstki
Są podstawy do tego, by oprócz energii kinetycznej Ek przypisać cząstce dodatkową energię
mc2
E = Ek + mc2 energia całkowita cząstki,
�#ś#
1
Ek = mc2 ś# -1ź# energia kinetyczna cząstki,
1-�2 / c2
�# #
mc2 energia spoczynkowa cząstki.
Mechanika relatywistyczna 12
Relatywistyczna energia całkowita cząstki, cd.
�#
E = Ek + mc2
�#
mc2
�! E =
�#ś#
1 Ź#
Ek = mc2 ś# -1ź#�#
1-�2 / c2
1-�2 / c2 �#
�# #
Doświadczenia pokazują, że suma wyrażeń typu E = mc2 1-�2 / c2 podlega zachowaniu
podczas zderzeń cząstek.
Energia spoczynkowa ciała złożonego z wielu cząstek
Energia spoczynkowa mc2 ciała złożonego z wielu cząstek zawiera
- energie spoczynkowe mc2 cząstek składowych,
i
- energie kinetyczne Eki cząstek składowych wynikające z ich ruchu względem środka
masy,
- energię wzajemnego oddziaływania cząstek.
Mechanika relatywistyczna 13
Relatywistyczna zależność między pędem i energią

m�
�#
p =
1-�2 / c2 �# E
�#
�! p = �
Ź#
c2
mc2 �#
E =
1-�2 / c2 �#
�#
m�
�#
p =
1-�2 / c2 �# E2
�#
�! - p2 = m2c2 = inv
Ź#
c2
mc2 �#
E =
1-�2 / c2 �#
�#
inv = inwariant, niezmiennik, wielkość niezmieniająca się przy zmianach układu odniesienia.
E = c p2 + m2c2
Energia całkowita a szybkość mian czasu w układzie względem zmian czasu własnego
"� 1 dt
"t = �! =
1-�2 / c2 1-�2 / c2 d�

dt dr
E = mc2 , Pamiętamy, że p = m
d� d�
Mechanika relatywistyczna 14