ZAGADNIENIA WYBRANE
Wyboczenie sprężyste konstrukcji
Utrata przez konstrukcję zdolności do przenoszenia obciążeń może
nastąpić w różny sposób. W poprzednich rozdziałach kryterium oceny tej
zdolności sformułowano w postaci warunku wytrzymałościowego lub wa-
runku sztywnościowego. Przekroczenie naprężeń lub przemieszczeń
dopuszczalnych dyskwalifikowało konstrukcję pod względem użytkowym,
nie powodujÄ…c jednak jej fizycznego zniszczenia. W projektowaniu pew-
nego typu konstrukcji, charakteryzujących się smukłością lub cienko-
ściennością, pod uwagę musi być brane jeszcze inne kryterium oceny, a
mianowicie ich podatność na wyboczenie. Przykładami takich kon-
strukcji są osiowo ściskane pręty, kolumny, cienkościenne płyty i powło-
ki, ramy i kratownice. Wyboczenie tych konstrukcji, utrata przez nie tzw.
stateczności, prowadzi do ich nieuniknionego fizycznego zniszczenia.
Wyboczenie jednego elementu pociÄ…ga za sobÄ… zazwyczaj lawinowe
zniszczenie powiązanych elementów. Utrata stateczności była przyczyną
wielu głośnych katastrof budowlanych, takich jak zawalenia się budyn-
ków, mostów czy masztów radiowych. Przy projektowaniu konstrukcji
prętowych, płyt, powłok itp. kryterium stateczności konstrukcji jest głów-
nym kryterium wytrzymałościowym, spychającym na dalsze miejsce kry-
terium naprężeniowe i sztywnościowe.
Badanie stateczności konstrukcji porównuje się z sytuacją kulki znaj-
dujÄ…cej siÄ™ w polu grawitacyjnym (polu przyciÄ…gania ziemskiego.
Dowolnie małe wychylenie kulki (zakłócenie) znajdującej się w najniż-
szym punkcie wklęsłej powierzchni spowoduje zmianę jej położenia i
powrót do położenia początkowego  stan kulki można określić jako
równowagę stałą (rys. a).
Kulka znajdująca się w najwyższym punkcie powierzchni wypukłej
(rys. b) teoretycznie znajduje się w równowadze, lecz jest to równowaga
niestała (chwiejna), praktycznie nie do zrealizowania.
Kulka znajdująca się na powierzchni płaskiej (rys. c) znajduje się w
stanie określanym jako równowaga obojętna, gdyż jej stan jest taki sam
w każdym miejscu na płaszczyz
nie.
14 Zagadnienia wybrane 155
Przykłady wyboczenia ściskanych konstrukcji cienkościennych
14 Zagadnienia wybrane 156
Zmęczenie materiału
Zmęczenie materiału jest związane ze zmniejszeniem wytrzymałości
elementów konstrukcyjnych poddanych działaniu okresowo zmiennych
obciążeń. Zjawisko zmęczenia materiałów jest bardzo niebezpieczne,
ponieważ zniszczenie elementu konstrukcyjnego lub części maszyny na-
stępuje nieoczekiwanie przy naprężeniach znacznie mniejszych od wy-
trzymałości doraz
nej, wyznaczonej ze statycznej próby rozciągania.
Zniszczenie następuje bez żadnych dostrzegalnych wcześniej odkształ-
ceń plastycznych.
Zmęczenie materiałów ma olbrzymie znaczenie praktyczne, ponieważ
większość współczesnych konstrukcji inżynierskich jest poddana działa-
niu zmiennych obciążeń (pojazdy, samoloty, maszyny z ruchomymi czę-
ściami).
Przyczyną zmęczeniowego zniszczenia materiału jest zmienny stan
naprężenia. Przebieg zniszczenia można prześledzić na przykładzie
przełomu okrągłej próbki (np. osi wagonu kolejowego) przedstawionej na
rysunku.
Początek zniszczenia wału nastąpił w tzw. ognisku. Przyczyną zapo-
czątkowania procesu zmęczeniowego jest spiętrzenie naprężeń wywoła-
ne np. pęknięciem, rysą, wadą materiałową, karbem. Szczelina zmęcze-
niowa rozszerza się, penetruje w głąb przekroju  następuje tzw. propa-
gacja pęknięcia. Wał ulega zniszczeniu, gdy niezniszczona część wału
nie jest w stanie przenieść obciążenia. W przełomie zmęczeniowym roz-
różnia się dwie strefy. Strefa zniszczenia zmęczeniowego ma wygładzo-
ną, błyszczącą powierzchnię z charakterystycznymi liniami, w których
propagacja pęknięcia została np. na skutek zmniejszenia obciążenia za-
hamowana. Wygładzenie tej strefy wynika z tarcia powierzchni w czasie
pracy. Druga strefa nosi nazwÄ™ strefy doraz
nej (resztkowej) i ma wyglÄ…d
gruboziarnisty, matowy. Istnieje wiele teorii na temat powstawania ogni-
ska i propagacji szczelin zmęczeniowych. Większość z teorii przyjmuje
dyslokacje i inne wady sieci krystalicznej za przyczynÄ™ tych zjawisk.
14 Zagadnienia wybrane 157
Metody energetyczne
 Tradycyjna wytrzymałość materiałów opiera się na ciągłym, jednorodnym modelu
ciała sprężystego. Aby otrzymać rozwiązania problemów inżynierskich trzeba stoso-
wać różne uproszczenia, pomijać pewne czynniki, stosować przybliżone metody roz-
wiązywania równań.
Obliczenia wytrzymałościowe oparte na  klasycznych metodach prowadzą w wie-
lu przypadkach do bardzo skomplikowanych zależności. Trudno jest też sobie wy-
obrazić ich stosowanie np. do prętów o zakrzywionej osi (łuków)  w tym przypadku
metody klasyczne są nieprzydatne. Wprowadzenie do wytrzymałości pojęcia energii
potencjalnej pozwala na sformułowanie stosunkowo prostych metod umożliwiających
określanie przemieszczeń konstrukcji czy rozwiązywanie zadań statycznie niewyzna-
czalnych. Dodatkową korzyścią jest zastosowanie prostych metod rachunkowych,
wykorzystujących powszechnie znane metody analizy matematycznej (różniczki, cał-
ki). Metody wykorzystujące energię stanowią jedyne narzędzie pozwalające obliczać
wytrzymałościowo ramy, łuki i zadania o wysokim stopniu statycznej niewyznaczal-
ności. Metody oparte na energii wewnętrznych sił sprężystości, zwane metodami
energetycznymi, stanowią powszechnie stosowane w praktyce narzędzie do obli-
czeń wytrzymałościowych zarówno elementów konstrukcyjnych, jak i całych kon-
strukcji. Znaczenie metod energetycznych wzrasta z rozwojem możliwości oblicze-
niowych współczesnej techniki komputerowej.
Należy jednak pamiętać, że do prawidłowego stosowania metod energetycz-
nych niezbędna jest odpowiednia znajomość wspomnianych  klasycznych
metod obliczeniowych.
Pojęcie energii potencjalnej wewnętrznych sił sprężystości (krótko  energii sprę-
żystej) nawiązuje do zagadnień znanych z dynamiki. W podejściu tym wykorzystuje
się analogię do definicji pracy ciał sztywnych  praca jest iloczynem siły na przesu-
nięciu (drodze) i wyraża się za pomocą Nm (kNm  niutonometrów (dżuli J), kiloniu-
tonometrów1). Podejście wykorzystujące energię sił sprężystości wymaga przyjęcia
pewnego modelu, określanego jako układ Clapeyrona (sprężystość liniowa, możli-
wość stosowania zasady superpozycji, równowaga układu). Dla układu Clapeyrona
można wprowadzić dodatkowe pojęcia, upraszczające dalszą analizę. Pojęciami tymi
sÄ…:
-ð PrÄ™t uogólniony (prÄ™t jednoczeÅ›nie obciążony siÅ‚ami osiowymi, siÅ‚ami po-
przecznymi, momentem skręcającym i momentem zginającym).
-ð SiÅ‚a uogólniona (rozciÄ…ganie, Å›cinanie, skrÄ™canie, zginanie).
-ð Przemieszczenie uogólnione (wydÅ‚użenia, ugiÄ™cia i obroty).
Uogólnienie powyższych pojęć pozwala na wyprowadzenie ogólnych zależności
i przystosowanie ich do konkretnych praktycznych sytuacji.
Metody energetyczne są efektywnym narzędziem rozwiązywania złożonych pro-
blemów obliczeń wytrzymałościowych, polegających na wyznaczaniu przemieszczeń
oraz rozwiązywaniu zadań wielokrotnie statycznie niewyznaczalnych. W oparciu o
metody energetyczne można stosunkowo łatwo napisać programy komputerowe.
Metody energetyczne są także podstawą metod elementów skończonych, współ-
czesnego narzędzia szeroko obecnie stosowanego w projektowaniu konstrukcji inży-
nierskich wszelkiego typu.
1
Dla odróżnienia  dla momentu stosuje siÄ™ zapis N×ðm (kN×ðm): niuton razy metr, kiloniuton razy metr.
14 Zagadnienia wybrane 158
W poniższej tabeli przedstawiono w uproszczonej formie zależności pozwalające
na zrozumienie energii sprężystej dla podstawowych modeli stosowanych w  kla-
sycznej wytrzymałości materiałów.
Model Energia sprężysta
ROZCI
GANIE (ÅšCISKANIE) PR
TA
Praca wykonana na wydłużeniu (skróceniu) liniowym pręta o
EA
długości dx siłą normalną N wynosi
Ndx
du =ð .
EA
1 N2 dx
Energia sprężysta: dV =ð N×ð du =ð ,
2 2EA
N
gdzie: EA  sztywność pręta na rozciąganie.
SKR
CANIE WAA
U OKR
GA
EGO
Moment skręcający MS wał o długości dx wykonuje pracę
GJS
MS
2
MS dx
dfð =ð .
fð
d
GJS
2
1 MS dx
Energia sprężysta: dV =ð MS ×ð dfð =ð ,
dx
2 2GJS
gdzie: GJS  sztywność wału na skręcanie.
ZGINANIE PROSTE BELKI
dQð Moment zginajÄ…cy Mzg belkÄ™ o dÅ‚ugoÅ›ci dx wykonuje prace na
dQð
Mzg
kÄ…cie obrotu przekroju dQð. Na podstawie hipotezy pÅ‚askich
rð
przekrojów w zginaniu wyprowadzona jest zależność
Mzg Mzgdx
dQð 1
ds
=ð =ð -ð ®ð dQð =ð -ð .
dx rð EJ EJ
EJ
M2 dx
1
zg
dx
Energia sprężysta: dV =ð Mzg ×ð dQð =ð ,
2 2EJ
gdzie: EJ  sztywność belki na zginanie.
ÅšCINANIE BELKI (PR
TA)
Siła poprzeczna T ścinająca belkę o długości dx wykonuje
pracę na przemieszczeniu środka ciężkości przekroju dy.
Działanie siły poprzeczne T wymaga przyjęcia szeregu
T
uproszczeń opisanych w literaturze i wprowadzenia bezwy-
miarowego współczynnika kształtu przekroju. W rezultacie
dy
otrzymuje się wzór na energię sprężystą ścinanego pręta:
GA
1 T2dx
dV =ð T ×ð dy =ð bð ,
dx
2 GA
gdzie: bð  współczynnik ksztaÅ‚tu przekroju, GA  sztywność
belki na ścinanie. Uwaga  związek między dy i dx jest
szczegółowo opisany w literaturze.
14 Zagadnienia wybrane 159
dx
du
Energia sprężysta pręta uogólnionego pod działaniem sił rozciągających (ściska-
jących), momentu skręcającego, momentu zginającego i sił ścinających wynosi:
L 2 L
N2 L MS L M2 T2
g
V =ð dx +ð dx +ð dx +ð bð dx
,
òð òð òð òð
2EA 2GJ0 0 2EJ 2GA
0 0 0
gdzie: A  pole powierzchni przekroju [cm2], L  długość pręta L [m],
E  moduł Younga [MPa], G  moduł Kirchoffa [MPa].
Dzięki wprowadzeniu uogólnionych pojęć sił i przemieszczeń można sformułować
zależności szeroko stosowane w obliczeniach wytrzymałościowych. Podstawowym
twierdzeniem w metodach energetycznych jest twierdzenie Castigliano (1873):
Å›ðV
=ð fi ,
Å›ðPi
które mówi, że pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogól-
nionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.
Twierdzenie Castigliano jest stosowane do wyznaczania przemieszczeń
układów statycznie wyznaczalnych. Nie przysparza ono żadnych trudności w za-
daniach, w których poszukiwane przemieszczenie odpowiada rzeczywiście działają-
cej sile. W zadaniach mających na celu poszukiwanie przemieszczeń w przekrojach,
w których nie ma rzeczywistej siły, można dodać fikcyjne obciążenie odpowiadające
szukanemu przemieszczeniu. Po zróżniczkowaniu energii to fikcyjne obciążenie na-
leży przyrównać do zera.
Obciążenie układu siłami zewnętrznymi czynnymi powoduje powstanie w podpar-
ciach (więzach) sił zewnętrznych biernych (reakcji). Dla podparcia sztywnego oraz
bez tarcia przemieszczenie odpowiadające reakcji podporowej Ri jest równe zeru.
Wykorzystując twierdzenie Castigliano, powyższe stwierdzenie można przedstawić w
postaci zależności
Å›ðV
=ð 0.
Å›ðRi
W układzie sprężystym wszystkie siły czynne i wszystkie siły bierne są związane
ogólnymi warunkami równowagi, wyrażonymi przez równania statyki. Powyższa za-
leżność będzie prawdziwa tylko dla reakcji przyjętych za statycznie niewyznaczalne
(nadliczbowe). Mówi o tym twierdzenie Menabre a (1857): w układzie liniowo-sprę-
żystym sztywno podpartym pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu
względem reakcji podporowej statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.
Twierdzenie Menabre a pozwala na rozwiązywanie układów statycznie nie-
wyznaczalnych. W układach z większą liczbą wielkości statycznie niewyznaczal-
nych należy zastosować twierdzenie Menabre a tyle razy, ile jest wielkości statycznie
niewyznaczalnych. Twierdzenie Menabre a jest też zwane zasadą minimum energii
lub zasadÄ… najmniejszej pracy Menabre a.
Za pomocą twierdzenia Castigliano można wyznaczać przemieszczenia w układach
statycznie wyznaczalnych. Twierdzenie Menabre a pozwala na rozwiązywanie zadań
statycznie niewyznaczalnych. Oba twierdzenia pozwalają na rozwiązywanie płaskich
i przestrzennych konstrukcji typu ramy i Å‚uki.2
2
Patrz: Ostwald M.: Podstawy wytrzymałości materiałów. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 2007.
Ostwald M.: Wytrzymałość materiałow. Zbiór zadań. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 2008.
14 Zagadnienia wybrane 160
Metoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych (MES) w ostatnich latach stała się powszechnie
stosowanym narzędziem w praktyce inżynierskiej. Jej błyskawiczny rozwój oraz dal-
sze perspektywy są związane bezpośrednio z rozwojem informatyki (w zakresie
hardware i software, sprzętu i oprogramowania). Niewiele jest dziedzin techniki, w
których rozwój informatyki miałby tak znaczący wpływ na metody obliczeń, jak w
przypadku obliczeń wytrzymałościowych.
 Tradycyjna wytrzymałość materiałów opiera się na ciągłym, jednorodnym modelu
ciała sprężystego. Dla spotykanych w praktyce inżynierskiej zagadnień, polegających
na wyznaczaniu naprężeń, przemieszczeń i innych wielkości (np. rozkładów tempera-
tur), tylko w przypadku stosunkowo prostych modeli geometrycznych można otrzy-
mać za pomocą metod analizy matematycznej (rachunek różniczkowy i całkowy)
rozwiązania ścisłe, dokładne. Chodzi tu o takie rozwiązania, za pomocą których w
dowolnych punktach konstrukcji można wyznaczyć interesujące konstruktora takie
wielkości, jak naprężenia czy przemieszczenia. Aby otrzymać rozwiązania ilościowe
trzeba stosować różne uproszczenia, pomijać pewne czynniki, stosować przybliżone
metody rozwiązywania równań. Charakterystyczną cechą tych wszystkich uprosz-
czeń i przybliżeń jest to, że dla ciągłego modelu geometrycznego otrzymuje się roz-
wiązania dla określonej liczby punktów.
Metoda elementów skończonych polega na odejściu od ciągłego modelu kon-
strukcji na rzecz jej podziału na skończoną liczbę ściśle zdefiniowanych elementów 
elementów skończonych. Podział konstrukcji na elementy nazywa się dyskretyza-
cją konstrukcji, która ciągły model obliczeniowy zastępuje pewną skończoną liczbą
elementów. W konstrukcjach dużych, złożonych można wydzielić pewne powtarzalne
grupy elementów, które definiuje się jako tzw. superelementy, złożone z kolei z pew-
nej liczby elementów.
Praktyczne stosowanie MES wymaga przede wszystkim dogłębnej znajomo-
ści wytrzymałości materiałów, jak również podstaw metod numerycznych i zna-
jomości technik komputerowych. Jedną z najważniejszych czynności mających
wpływ na końcowy wynik jest właściwy podział konstrukcji na odpowiednio dobrane
elementy. Wymaga to umiejętności analizowania rozkładów naprężeń i przemiesz-
czeń w konstrukcji oraz formułowania warunków brzegowych. Analiza otrzymanych
wyników oraz wyciąganie właściwych wniosków również wymagają znajomości wy-
trzymałości materiałów. Niemożliwe jest traktowanie MES jako jednego z wielu
narzędzi informatycznych, wymagającego jedynie znajomości posługiwania się
komputerem.
Rozwój MES, a także rozszerzanie zakresu jej zastosowań są nierozłącznie zwią-
zane z rozwojem i możliwościami techniki komputerowej. Współczesne konstrukcje
inżynierskie dzieli się na dziesiątki tysięcy elementów. Rozwiązanie takiego układu
równań wymaga komputerów o odpowiedniej mocy obliczeniowej. Różnorodność
spotykanych problemów technicznych powoduje, że współczesne sytemy kompute-
rowe zawierają w swoich bibliotekach setki gotowych elementów z opcją umożliwia-
jącą tworzenie własnych elementów. Wprowadzanie danych wejściowych, a także
analiza wyników jest oparta przede wszystkim na wysoko wyspecjalizowanych pro-
cesorach graficznych.
14 Zagadnienia wybrane 161
Współczesne zadania inżynierskie są rozwiązywane przez odpowiednio przygoto-
wane systemy komputerowe. Każdy system komputerowy składa się z trzech za-
sadniczych części:
 preprocesora, umożliwiającego graficzne wprowadzanie danych wejściowych,
dyskretyzację konstrukcji (automatyczną), dysponującego biblioteką elementów
skończonych, umożliwiającego kontrolę poprawności dyskretyzacji,
 procesora, rozwiązującego z wymaganą dokładnością olbrzymie układy równań
algebraicznych, obliczającego poszukiwane wielkości we wszystkich węzłach,
 postprocesora, przedstawiajÄ…cego w zwartej postaci otrzymane wyniki, wykorzy-
stującego możliwości graficzne współczesnych komputerów, tworzącego trwałe
kopie otrzymanych wyników w postaci rysunków, wykresów, rozkładów poszuki-
wanych wielkości na płaszczyz
nie i w przestrzeni.
Do rozwiązywania dużych, skomplikowanych zadań inżynierskich wykorzystuje się
wyspecjalizowane komputery, tzw. stacje robocze, dysponujÄ…ce odpowiednio szyb-
kimi procesorami (systemy wieloprocesorowe), dużą pamięcią operacyjną, monito-
rami o dużym ekranie i odpowiedniej rozdzielczości.
Najbardziej obecnie znane systemy komputerowe MES to ALGOR, COSMOS
i ABAQUS, umożliwiające rozwiązywanie szerokiej gamy zadań statycznych, dyna-
micznych, statecznościowych, dysponujące olbrzymimi bibliotekami gotowych ele-
mentów. Prawidłowe korzystanie z tych systemów wymaga przede wszystkim do-
głębnej znajomości mechaniki i wytrzymałości materiałów, opanowania liczących
często setki stron instrukcji użytkownika, jak również nabycia odpowiedniej praktyki
obliczeniowej. Wymagania stawiane konstruktorom chcącym twórczo rozwiązywać
za pomocą MES skomplikowane zagadnienia techniczne są olbrzymie, jednakże
otrzymywanie zadowalających rezultatów innymi sposobami jest niemożliwe. Rysu-
nek poniżej przedstawia przykłady zastosowania MES w różnych dziedzinach obli-
czeń wytrzymałościowych.
Przykłady zastosowania metody elementów skończonych
14 Zagadnienia wybrane 162
Współczesne materiały konstrukcyjne
Współczesne konstrukcje inżynierskie coraz częściej stosują wielowarstwowe ma-
teriały kompozytowe (laminaty), których budowa nie spełnia przedstawionych powy-
żej warunków jednorodności i izotropowości. Wzorem dla materiałów kompozytowych
są konstrukcje spotykane w naturze (pnie drzew, łodygi zbóż itp.).
Przykład trójwarstwowej płyty
z
x
y
Przykłady zastosowania konstrukcji trójwarstwowych.
Konstrukcje wielowarstwowe, oprócz spełnienia warunków wytrzymałościowych,
są lekkie, sztywne i pozwalają na wykorzystanie warstwy wypełniającej do zwiększe-
nia ich właściwości użytkowych (np. izolacje termiczne, miejsce na różne instalacje
itp.)
a) b)
c) d)
Przykłady niejednorodnych konstrukcji kompozytowych
Projektowanie i obliczenia wytrzymałościowe konstrukcji kompozytowych wymaga-
jÄ… stosowania skomplikowanych modeli matematycznych i metod ich rozwiÄ…zywania,
opartych w głównej mierzy o metody numeryczne.
14 Zagadnienia wybrane 163
POZNANIE MODELI, UPROSZCZEC
I METOD KLASYCZNEJ WY-
TRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW STANOWI NIEZB
DNY WARUNEK
PRAKTYCZNEGO ZASTOSOWANIA TYCH MATERIAA
ÓW.
Współczesne konstrukcje inżynierskie wymagające zastosowania odpo-
wiednich metod projektowania i obliczania wytrzymałościowego (metody
komputerowego wspomagania obliczeń CAx).
Zastosowanie różnych materiałów w przekroju historycznym
14 Zagadnienia wybrane 164
Współczesne konstrukcje lotnicze, a w ślad za nimi inne konstrukcje
cechuje coraz szersze zastosowanie materiałów kompozytowych (mate-
riały niejednorodne, anizotropowe, o nieliniowej charakterystyce)3.
3
Porównaj model ciała w klasycznej wytrzymałości materiałow  rozdział 7.
14 Zagadnienia wybrane 165