RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
 PROBLEM BRZEGOWY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
Adam Wosatko
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie o postaci ogólnej:
dk y(x)
F ( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0, y(k) a" , k = 1, 1, 2, . . . , n,
d xk
w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej nieza-
leżnej y(x) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne y(k)(x), 0 < k n
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.
Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań:
F1( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0,
F2( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Fn( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0.
Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska i pro-
cesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności występują
tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:
problem poczÄ…tkowy,
problem brzegowy.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Metody rozwiÄ…zywania zagadnienia brzegowego
Zajmiemy siÄ™ poszukiwaniem takich funkcji y(x),
które są rozwiązaniem równania rzędu conajmniej drugiego,
funkcji określonych na przedziale (a, b)
i zdefiniowanych n warunkami, z których jedne dotyczą punktu a, a
inne  punktu b.
W celu znalezienia rozwiązania zagadnienia można zastosować:
metodę strzału  problem brzegowy zastępujęmy problemem
poczÄ…tkowym wraz z odpowiedniÄ… zamianÄ… warunku brzegowego na
warunek początkowy i funkcję uwzględniającą ustaloną wartość
brzegowÄ…,
metodę różnic skończonych, zwaną także metodą różnicową.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Metoda różnicowa
Bardzo prosta matematycznie, od dawna znana metoda.
Zasadą tej metody jest obliczanie przybliżeń pochodnych za pomocą
tzw. wzorów różnicowych.
Posługujemy się skończonym zbiorem węzłów siatki różnicowej
zamiast obszarem (jedno- lub dwuwymiarowym).
Rozwiązaniem problemu będzie zbiór dyskretnych wartości
węzłowych poszukiwanej funkcji, a nie jej reprezentacja w postaci
funkcji ciągłej, zdefiniowanej w całym obszarze.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Centralne wzory różnicowe
dla zagadnienia jednowymiarowego
1 2 3 4 5 6 7
i-2 i-1 i i+1 i+2
i-2 i-1 i i+1 i+2
I 1
-1 0 1
f
2h
II 1
1 -2 1
f
h2
III 1
1
-1 2 0 -2 1
f
2h3
IV 1
1 -4 6 -4 1
f
h4
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu
Przykład:
Rozwiązać problem brzegowy:
1
y (x) + y = 8, y(0.0) = 0, y(10.0) = 0.
4
Wyniki

cos(5)-1
x x
Rozwiązanie ścisłe: y(x) = 32 sin( ) - cos( ) + 1
sin(5) 2 2
80
MRS10
70
RozwiÄ…zanie scisle
60
nr x MRS4 ścisłe
50
1 0.000 0.0000 0.0000
MRS4
40
2 2.500 39.7408 44.5949
30
3 5.000 67.3866 71.9429
20
4 7.500 39.7408 44.5949
10
5 10.000 0.0000 0.0000
0
0 2 4 6 8 10
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Problem zginania belki
Przemieszczeniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu
Zastosujemy MRS do rozwiązania problemu sformułowanego lokalnie
np. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego
czwartego rzędu opisującego zginanie belki prostej.
d4v(x) py (x)
= .
dx4 EJ
Poszukiwaną  pierwotną funkcją jest funkcja ugięcia belki v(x).
Funkcjami  wtórnymi będą: moment zginający M(x) oraz siła
poprzeczna T (x):
d2v(x) d3v(x)
M(x) = -EJ , T (x) = -EJ .
dx2 dx3
Do równania różniczkowego należy dopisać odpowiednie warunki
brzegowe, wynikające z brzegowych więzów kinematycznych
oraz brzegowych obciążeń.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Model obliczeniowy belki
Tworzenie równań różnicowych
Jednowymiarowe zagadnienie brzegowe zginania belki
opisane równaniem różniczkowym czwartego rzędu, po zastosowaniu
centralnego ilorazu różnicowego ma postać:
d4v(x) py (x) vi-2 - 4vi-1 + 6vi - 4vi+1 + vi+2 py
i
= =Ò! =
dx4 EJ h4 EJ
py
i
vi-2 - 4vi-1 + 6vi - 4vi+1 + vi+2 = bi , bi = h4 ·
EJ
Tworzy się układ równań, w którym należy uwzględnić jeszcze warunki
brzegowe.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Warunki brzegowe w zapisie różnicowym
a) b) c) d)
i i+1
i-1 i i+1 i-1 i+1 i-1 i+1 i-1 i
i
i-2 i+2 i-2 i+2
dv
a) Brzeg utwierdzony: v = 0 , = 0 ,
dx
-vi-1
+vi+1
w zapisie różnicowym: vi = 0 , = 0 .
2h
d2v
b) Brzeg przegubowo podparty: v = 0 , M = -EJ = 0 ,
dx2
vi-1-2vi +vi+1
w zapisie różnicowym: vi = 0 , -EJ = 0 .
h2
dv d3v
c) Brzeg pionowo przesuwny: = 0 , T = -EJ = 0,
dx dx3
w zapisie różnicowym:
-vi-1
+vi+1 -vi-2
+2vi-1-2vi+1+vi+2
= 0 , -EJ = 0.
2h 2h3
d2v d3v
d) Brzeg swobodny: M = -EJ = 0 , T = -EJ = 0 ,
dx2 dx3
w zapisie różnicowym:
-vi-1-2vi +vi+1 -vi-2
+2vi-1-2vi+1+vi+2
-EJ = 0, -EJ = 0.
h2 2h3
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY
Przykład belki wspornikowej
py
x
x0 xL
L
y, v
-1 0 1 2 3 4 5 6
Równanie różnicowe musi być rozpisane dla punktów i = 1, 2, 3, 4:
1 · vi-2 - 4 · vi-1 + 6 · vi - 4 · vi+1 + 1 · vi+2 = b gdzie b = (h4py )/(EJ)
Warunki brzegowe:
dla x = 0 : v = 0 v = 0
i = 0 : 1 · v0 = 0 -1 · v-1 + 1 · v1 = 0
dla x = L : M = 0 T = 0
i = 4 : 1 · v3 - 2 · v4 + 1 · v5 = 0 -1 · v2 + 2 · v3 - 2 · v5 + 1 · v6 = 0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE  PROBLEM BRZEGOWY