Przykłady pytań z treści wykładów na egzamin z Metod Matematycznych Akustyki 2014
1. Podstawy analizy wektorowej, operatory różniczkowe na poalach skalarnych i
wektorowych, gradient, diwergencja, rotacja, laplasjan definicje i własności, tożsamości
wektorowe i operatorowe.
2. Dystrybucja delta Diraca definicja, własności, przykłady funkcji modelowych,
interpretacja fizyczna (masa punktowa, ładunek punktowy, sygnały impulsowe).
3. Układ kartezjański i układy ortogonalne krzywoliniowe - baza przestrzeni liniowej (powt.
z algebry), wzory transformacyjne, współczynniki Lame go, układ biegunowy,
cylindryczny i sferyczny transformacje współrzędnych między nimi a układem
kartezjańskim, wyrażenia na elementy długości, powierzchni i objętości. Wyrażenie
gradientu przy pomocy współczynników Lame go.
4. Liniowe równania różniczkowe zwyczajne o stałych (powtórzenie z analizy
matematycznej) i zmiennych współczynnikach. Podstawowe metody rozwiązywania.
Metoda Froebeniusa. Pojęcie punktów regularnych oraz regularnej i nieregularnej
osobliwości. Równanie oscylatora harmonicznego rozwiązanie metodą przewidywania i
metodą Froebeniusa (wyznaczenie współczynników rozwinięcia rozwiązania w szereg
potęgowy). Warunki istnienia drugiego liniowo niezależnego rozwiązania w postaci
szeregu.
5. Równania różniczkowe cząstkowe przykłady najbardziej znanych równań. Równanie
falowe we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i sferycznych. Metoda separacji
zmiennych rozwiązania równania falowego w podanych układach współrzędnych.
Wyprowadzenie równania Helmholtza z równania falowego. Równanie Helmholtza jako
równanie własne. Postać rozwiązania równania falowego przy założeniu symetrii
sferycznej oraz niezależności od kąta azymutalnego j� (j� �� [0, 2p�)) we współrzędnych
cylindrycznych i sferycznych. Jakie są fizyczne powody występowania w rozwiązaniu
ogólnym funkcji Bessela (cylindrycznych lub sferycznych) wyłącznie całkowitego rzędu.
Funkcje specjalne: Bessela I-go i II-go rodzaju (Neumanna), Hankela I-go i II-go rodzaju,
sferyczne funkcje Bessela I-go i II-go rodzaju, wielomiany Legendre a, stowarzyszone
wielomiany Legendre a, funkcje sferyczne.
6. Metoda ortogonalizacj Grama Schmidta i jej zastosowania.
7. Funkcje analityczne. Podstawowe wiadomości o liczbach zespolonych i funkcjach
elementarnych zmiennej zespolonej. Definicja funkcji analitycznej. Warunki Cauchy-
Riemanna. Klasyfikacja osobliwości. Twierdzenia całkowe Cauchy ego. Twierdzenia o
pochodnych funkcji analitycznych. Rozkład funkcji analitycznej w szerego Taylora lub
Laurenta. Twierdzenie o residuach i jego zastosowania do obliczania całek rzeczywistych
oznaczonych.
8. Transformaty całkowe w wymiarze przedstawionym na ostatnim wykładzie.