zaskoczenia i zdziwienia dwóch koryfeuszy teorii liczb. Prawdę mó-
wiąc, cieszył się na myśl o ich podziwie.
Wysławszy manuskrypt, Petros stwierdził, że zanim wróci do pracy
nad hipotezą, zasługuje na krótkie wakacje. Następne dni poświęcił
wyłącznie szachom. Zapisał się do miejscowego klubu szachowego,
gdzie z satysfakcją stwierdził, że potrafi pokonać wszystkich z wyjąt-
kiem kilku najlepszych graczy, a i ci mieli z nim ciężką przeprawę.
Odkrył niewielki sklepik należący do entuzjasty tej gry, w którym od-
tąd zaopatrywał się w potrzebną literaturę. Komplet szachów kupiony
w Innsbrucku położył na niewielkim stoliku przy kominku, przed
wygodnym, głębokim fotelem obitym miękkim aksamitem. Tam co
wieczór spotykał się ze swymi nowymi czarnymi i białymi przyjaciół-
mi. Idylla trwała prawie przez dwa tygodnie.
 Dwa bardzo szczęśl i we tygodnie  powiedział mi, a szczę-
ście potęgowała spodziewana entuzjastyczna reakcja Littlewooda i Har-
dy ego na jego monografiÄ™. Lecz odpowiedz
, która nadeszła, daleka
była od entuzjazmu.
Czar prysł. W dość krótkim liście Hardy poinformował Petrosa, że pierw-
szy ważny wynik, ten, który prywatnie ochrzcił  twierdzeniem Papachri-
stosa o partycjach , odkrył dwa lata wcześniej pewien młody austriacki
matematyk. Hardy wyraził nawet zdziwienie, że Petros o tym nie wie, bo
jego opublikowanie wywołało sensację w kręgu matematyków zajmujących
się teorią liczb i przyniosło wielki rozgłos jego młodemu autorowi. Prze-
cież śledzi rozwój wydarzeń w swojej dziedzinie. A może przestał? Co do
drugiego twierdzenia, jego nieco ogólniejszą wersję przedstawił bez dowo-
du Ramanujan w liście do Hardy ego na kilka dni przed śmiercią w 1920
roku, jako ostatnie ze swoich wielkich przeczuć. Od tamtego czasu spółka
Hardy-Littlewood zdołała wypełnić luki w rozumowaniu, a przeprowadzony
przez nią dowód został opublikowany w najnowszym numerze Proceedings
of the Royal Society. Egzemplarz przesyłał w załączeniu.
76
Hardy zakończył list wyrazami współczucia dla Petrosa z powodu
takiego obrotu sprawy. Towarzyszyła temu sugestia, ubrana  jak przy-
stało na człowieka jego klasy  w eufemistyczne słowa, że w przyszło-
ści byłoby lepiej, gdyby utrzymywał bliższe kontakty z kolegami po
fachu. Gdyby Petros prowadził normalne życie naukowca, zauważył
Hardy, przyjeżdżał na międzynarodowe kongresy i kolokwia, korespon-
dował z kolegami, dowiadywał się od nich o postępach w badaniach
i zawiadamiał ich o swoich wynikach, nie zająłby drugiego miejsca
w tych tak bardzo ważnych odkryciach. Jeżeli jednak będzie dalej tkwił
w narzuconej przez siebie izolacji, kolejne takie  niefortunne wyda-
rzenie znów się powtórzy.
W tym miejscu stryj przerwał opowieść. Mówił prawie bez przerwy
od kilku godzin. Zrobiło się ciemno i śpiew ptaków w sadzie milkł już
z wolna. Ciszę przerywało tylko rytmiczne cykanie samotnego świersz-
cza. Stryj Petros wstał i zmęczonym krokiem podszedł zapalić lampę,
pojedynczą nagą żarówkę, rzucającą słabe światło na miejsce, w którym
siedzieliśmy. Gdy wracał ku mnie, poruszając się powoli na granicy bla-
dożółtej poświaty i fioletowej ciemności, wyglądał bez mała jak duch.
 Więc takie jest wyjaśnienie  wymamrotałem, gdy usiadł.
 Jakie wyjaśnienie?  zapytał z roztargnieniem.
Opowiedziałem mu o Sammym Epsteinie i jego bezskutecznych
wysiłkach znalezienia pod nazwiskiem Petrosa Papachristosa w biblio-
graficznym indeksie teorii liczb czegokolwiek poza wczesnymi wspól-
nymi publikacjami z Hardym i Littlewoodem na temat funkcji dzeta
Riemanna. Powtórzyłem teorię o wypaleniu, zasugerowaną mojemu
przyjacielowi przez  znanego profesora na naszym uniwersytecie: że
domniemane próby udowodnienia hipotezy Goldbacha były kłam-
stwem, mającym zatrzeć ślady bezczynności.
Stryj Petros roześmiał się z goryczą.
77
 Ależ nie! To najprawdziwsza prawda, mój ulubiony bratanku! Mo-
żesz powiedzieć swojemu koledze i temu  znanemu profesorowi , że
rzeczywiście starałem się przeprowadzić dowód hipotezy Goldbacha
 i j ak dł ugo nad nim pracowałem! Otrzymałem nawet warto-
ściowe wyniki pośrednie  ale nie opublikowałem ich wtedy, kiedy
powinienem, i inni uczynili to przede mnÄ…. Niestety, w matematyce
nie ma srebrnego medalu. Pierwszy, który obwieści odkrycie i je opu-
blikuje, zgarnia całą pulę. Nie zostaje nic dla innych.  Przerwał.  Jak
mówi znane powiedzenie, lepszy wróbel w garści niż gołąb na dachu.
Ja, ścigając tego drugiego, straciłem pierwszego...
Mimo wszystko nie wydało mi się, żeby pełen rezygnacji spokój,
z jakim wypowiedział te słowa, był szczery.
 Ale stryjku, czy nie byłeś strasznie załamany, kiedy dostałeś list od
Hardy ego?  zapytałem.
 Oczywiście, że byłem.  Załamany jest tu jak najbardziej właści-
wym słowem. Byłem zrozpaczony, ogarnęła mnie złość, rozgoryczenie
i żal, przez chwilę nawet rozważałem samobójstwo. Ale to było t a m
i wt edy, w innym czasie, byłem wtedy inny. Teraz, spoglądając na swoje
życie, nie żałuję niczego, co zrobiłem, ani niczego, czego nie zrobiłem.
 Naprawdę? To znaczy, że nie żałujesz zmarnowanej sposobności
zdobycia sławy, uznania jako wielki matematyk?
Podniósł palec, jakby w geście ostrzeżenia.
 Może jako bardzo dobr y matematyk, lecz nie jako wielki!
Odkryłem tylko dwa dobre twierdzenia, i to wszystko.
 To też chyba coś znaczy, prawda?
Stryj Petros pokręcił przecząco głową.
 Sukces w życiu mierzy się osiągnięciem celów, jakie sobie wyzna-
czamy. Co roku na świecie publikuje się dziesiątki tysięcy nowych twier-
dzeń, ale tylko kilka w stuleciu przechodzi do historii!
 Przecież sam powiedziałeś, że twoje twierdzenia były ważne.
78
 Przypomnij sobie tego młodego człowieka, Austriaka, który opu-
blikował przede mną moj e  nadal tak o nim myślę  twierdzenie
o partycjach  sprzeciwił się.  Czy dzięki temu wyniesiono go na
piedestaÅ‚ godny Hilberta czy Poincaré ego? Na pewno nie! Może zdo-
był dla siebie małą wnękę na portret gdzieś w małym pokoiku na ty-
Å‚ach Gmachu Matematyki... ale nawet gdyby, to co z tego? Albo wez
-
my na przykład Littlewooda i Hardy ego, matematyków najwyższej
klasy. Może dostali się do panteonu, do wi el ki ego panteonu, ale
pamiętaj, nawet im nie wzniesiono pomników przy wejściu u boku
Euklidesa, Archimedesa, Newtona, Eulera czy Gaussa... WÅ‚ aÅ› ni e
o t ym marzyłem i tylko udowodnienie hipotezy Goldbacha, co ozna-
czałoby także wyjaśnienie głębszej tajemnicy liczb pierwszych, mogło
mnie tam zaprowadzić...
Jego oczy rozbłysły nagle głęboką, skupioną mocą, gdy zakończył:
 Ja, Petros Papachristos, nigdy nie opublikowawszy niczego
wartościowego, zapiszę się w historii matematyki, lub raczej nie zapi-
szę się, jako ktoś, kto niczego nie osiągnął. Wiedz, że mi to odpowia-
da. Niczego nie żałuję. Przeciętność mnie nie zadowala. Od erzacu,
nieśmiertelności z przypisów u dołu książki, wolę moje kwiaty, sad,
szachownicę, dzisiejszą rozmowę z tobą... Zupełna anonimowość!
Po tych słowach na nowo zapłonął we mnie dziecinny podziw dla
Petrosa-bohatera romantycznego. Lecz teraz znacznie lepiej go rozu-
miałem.
 Wszystko albo nic, prawda?
 Można to tak wyrazić  przyznał z namysłem.
 Czy na tym zakończyło się twoje twórcze życie? Czy od tej pory
pracowałeś jeszcze nad hipotezą Goldbacha?
Spojrzał na mnie z zaskoczeniem.
 Oczywiście, że tak! Dopiero potem wykonałem najważniejsze
prace!  Uśmiechnął się.  Dojdziemy do tego w swoim czasie, dro-
79
gi chłopcze. Nie martw się, w mojej opowieści nie będzie ignorabi-
mus!
Nagle roześmiał się ze swego żartu, zbyt głośno, więc chyba nie-
szczerze. Potem nachylił się ku mnie i zapytał przyciszonym głosem:
 Czy uczyÅ‚eÅ› siÄ™ twierdzenia Gödla o niezupeÅ‚noÅ›ci?
 Tak  odparłem.  Ale co to ma wspólnego z...
Gwałtownie podniósł dłoń, przerywając mi.
 Wir müssen wissen, wir werden wissen! In der Mathematik gibt es kein
ignorabimus!  zadeklamował chrapliwie, tak głośno, że jego głos odbił
się echem od jodeł i wrócił, groz
ny i natarczywy. Nagle przemknęła
mi przez myśl teoria Sammy ego o niepoczytalności mojego stryja.
Czy te wszystkie wspomnienia nie pogorszyły jego stanu? Może rze-
czywiście na koniec postradał zmysły?
Z ulgą usłyszałem, że mówi dalej prawie normalnym głosem.
 Musimy wiedzieć, więc się dowiemy! W matematyce nie ma igno-
rabimus! Tako rzecze wielki David Hilbert na Międzynarodowym Kon-
gresie w 1900 roku. Proklamacja matematyki jako nieba Prawdy Ab-
solutnej. Euklidesowa wizja spójności i pełni...
Stryj Petros wrócił do swego opowiadania.
Euklides miał wizję przekształcenia przypadkowej zbieraniny spo-
strzeżeń arytmetycznych i geometrycznych w klarowny system, w któ-
rym wychodząc od przyjętych a priori prawd elementarnych, i używając
logicznych przejść, można podążać krok za krokiem, po kolei udowad-
niając w sposób rygorystyczny, wszystkie prawdziwe twierdzenia. Mate-
matyka jest drzewem o silnych korzeniach (aksjomaty), solidnym pniu
(starannie przeprowadzane dowody) i stale rosnących gałęziach, zakwi-
tających wspaniałymi kwiatami (twierdzenia). Póz
niejsi matematycy, geo-
metrzy, specjaliści od teorii liczb, algebry, a ostatnio od analizy, topolo-
gii, geometrii algebraicznej, teorii grup i tak dalej, przedstawiciele wszyst-
80
kich nowych dyscyplin, które pojawiają się po dziś dzień (nowe gałęzie
tego samego starożytnego drzewa), nie odeszli od kierunku wytyczone-
go przez wielkiego pioniera: aksjomaty  dowody  twierdzenia.
Z gorzkim uśmiechem Petros wspominał słowa kierowane przez
Hardy ego do każdego, kto zawracał mu głowę hipotezami (zwłaszcza
do biednego Ramanujana, w którego umyśle rodziły się jak króliki):
 Udowodnij ją! Najpierw ją udowodnij! . Hardy powtarzał, że gdyby
szlachetnej rodzinie matematyków potrzebne było motto, nie można
znalez
ć lepszego niż Quod erat demonstrandum.
W 1900 roku, podczas drugiego Międzynarodowego Kongresu Ma-
tematyków w Paryżu Hilbert ogłosił, że nadszedł czas spełnić starożytne
marzenie. W odróżnieniu od Euklidesa, matematycy mają teraz do dys-
pozycji język logiki formalnej, który pozwalała im w rygorystyczny spo-
sób badać samą matematykę. Święta trójca: aksjomat  dowód  twier-
dzenie powinna odtąd stosować się nie tylko do liczb, figur czy tożsa-
mości algebraicznych, lecz także do samych teorii. Matematycy mogą
wreszcie dobitnie dowieść tego, co przez dwa tysiąclecia było ich cen-
tralnym, niekwestionowanym credo, niezmiennym trzonem ich wizji:
w matematyce każde prawdziwe twierdzenie można udowodnić.
Kilka lat póz
niej Russell i Whitehead opublikowali swoje monu-
mentalne dzieło Principia mathematica, po raz pierwszy proponując
całkowicie precyzyjny sposób mówienia o dedukcji i teorii dowodu.
Lecz choć to nowe narzędzie rozbudziło wielkie nadzieje na spełnie-
nie postulatu Hilberta, dwaj angielscy logicy nie udowodnili pewnej
kluczowej własności. Brakowało bowiem dowodu  zupełności teorii
matematycznych lecz w tamtym czasie w umyśle ani w sercu żadne-
go człowieka nie zagościł nawet cień wątpliwości, że wkrótce, już bar-
dzo niedługo, dowód taki zostanie przeprowadzony. Podobnie jak Eu-
klides, matematycy nadal wierzyli, że uprawiają dyscyplinę Absolutnej
Prawdy. Zwycięski okrzyk kongresu paryskiego:  musimy wiedzieć i do-
81
wiemy się, w matematyce nie ma ignorabimus , nadal stanowił jedyną
niewzruszoną prawdę wiary każdego czynnego matematyka.
Przerwałem mu ten dość egzaltowany wywód historyczny.
 Wiem o tym, stryjku. Kiedy kazałeś mi nauczyć się twierdzenia
Kurta Gödla, musiaÅ‚em oczywiÅ›cie sprawdzić jego historiÄ™.
 To nie historia  poprawił mnie.  To psychologia. Musisz zrozu-
mieć klimat emocjonalny, w którym pracowali matematycy w tych szczę-
Å›liwych dniach przed Gödlem. ZapytaÅ‚eÅ› mnie, jak zebraÅ‚em siÄ™ na od-
wagę kontynuowania prac po tak wielkim rozczarowaniu. Właśnie tak...
Mimo że nie udało mu się udowodnić hipotezy Goldbacha, Petros,
jako duchowy praprawnuk Euklidesa, nie miał najmniejszych wątpli-
wości, że cel jest osiągalny. Ponieważ hipoteza była niemal na pewno
uzasadniona (nikt, z wyjÄ…tkiem Ramanujana powodowanego nieokre-
ślonym  przeczuciem , w to nie wątpił), jej dowód musiał w jakiejś
formie zaistnieć. Podał mi przykład.
 Załóżmy, iż kolega mówi ci, że gdzieś w domu zgubił klucz i prosi
cię o pomoc w jego odnalezieniu. Jeżeli uważasz, że ma dobrą pamięć
i wierzysz w jego szczerość, co to oznacza?
 Oznacza to, że rzeczywiście gdzieś w domu zgubił klucz.
 A jeżeli zapewnia cię, że nikt inny od tej pory nie wchodził do
domu?
 Możemy przyjąć, że klucza nie wyniesiono na zewnątrz.
 Ergo?
 Ergo klucz nadal tam jest i jeśli będziemy szukać wystarczająco
długo, zważywszy że dom jest skończoną przestrzenią, prędzej czy
póz
niej go znajdziemy.
Stryj przyklasnÄ…Å‚ mojemu rozumowaniu.
 Doskonale! Właśnie to było z
ródłem mojej pewności i optymizmu.
Otrząsnąwszy się z pierwszego rozczarowania, pewnego ranka wstałem
i powiedziałem sobie:  A niech to, przecież dowód musi gdzieś tam być!
82
 A więc?
 A więc, drogi chłopcze, skoro dowód istnieje, należało go tylko
znalez
ć!
Nie bardzo go rozumiałem.
 Nie wiem, stryju, czemu to było pociechą. Przecież to, że dowód
istnieje, wcale nie oznacza, że właśnie ty go znajdziesz!
Zmierzył mnie groz
nym spojrzeniem za to, że nie od razu dostrze-
głem coś tak oczywistego.
 Czy znasz kogoś, kto był do tego lepiej przygotowany niż ja, Pe-
tros Papachristos?
Pytanie było, rzecz jasna, retoryczne, więc nie odpowiedziałem na
nie. Byłem jednak zdziwiony: Petros Papachristos, o którym opowia-
dał, był zupełnym przeciwieństwem unikającego rozgłosu, zamknięte-
go w sobie starszego człowieka, jakiego znałem od dzieciństwa.
Pogodzenie się z losem i zniechęcającymi wieściami przekazanymi
mu w liście przez Hardy ego zabrało Petrosowi, rzecz jasna, trochę
czasu. Wreszcie wziął się w garść, a pomogło mu w tym przekonanie,
że  dowód gdzieś tam istnieje . Wrócił do pracy, lecz teraz był już
innym człowiekiem. Przeżyty wstrząs uzmysłowił mu, dokąd dopro-
wadziła go próżność, i dał mu wewnętrzny spokój, świadomość życia
istniejącego poza hipotezą Goldbacha. Rozkład jego zajęć stał się teraz
mniej napięty. Umysł Petrosa, mimo nieustannego wysiłku, działał le-
piej dzięki przerwom na grę w szachy. Ponadto zmiana sposobu po-
dejścia do problemu na algebraiczny, o czym postanowił już w Inns-
brucku, pozwoliła mu raz jeszcze odczuć podniecenie związane z roz-
poczynaniem czegoś nowego, z wejściem na dotychczas nie zbadane
tereny. Przez całe sto lat, od ukazania się pracy Riemanna w połowie
XIX wieku, w teorii liczb dominowała metoda analityczna. Powracając
teraz do starożytnego, podstawowego podejścia, mój stryj znajdował
83
się w awangardzie ważnego regresu, jeżeli mogę sobie pozwolić na taki
oksymoron. Choćby z tego powodu powinni pamiętać o nim history-
cy matematyki, jeśli nawet zapomnieliby o wszystkich innych jego osią-
gnięciach.
Należy tu wyjaśnić fakt, że w kontekście teorii liczb słowa  ele-
mentarny w żaden sposób nie można utożsamiać z  prostym , a jesz-
cze mniej  z  łatwym . Techniki stosowane w tym podejściu zaczerp-
nięte są z wielkich prac Diofantosa, Euklidesa, Fermata, Gaussa i Eu-
lera i majÄ… charakter elementarny tylko w sensie zwiÄ…zku z elementami
matematyki, tj. podstawowymi operacjami arytmetycznymi i meto-
dami klasycznej algebry na liczbach rzeczywistych. Mimo skuteczno-
ści technik analitycznych metoda elementarna pozostaje bliższa fun-
damentalnym właściwościom liczb naturalnych, a wyniki otrzymane
tą drogą są intuicyjnie przez matematyków postrzegane jako bardziej
przystępne i mające głębsze znaczenie.
Wkrótce z Cambridge zaczęły przeciekać plotki, że Petros Papa-
christos z Uniwersytetu Monachijskiego miał pecha, bo odwlekał pu-
blikację bardzo ważnych prac. Koledzy zajmujący się teorią liczb za-
częli zasięgać jego opinii. Zapraszano go na spotkania, na których od-
tąd systematycznie bywał, urozmaicając swój monotonny tryb życia
sporadycznymi podróżami. Pojawiły się także wieści (dzięki dziekano-
wi Wydziału Matematyki), że pracuje nad niesamowicie trudną hipo-
tezą Goldbacha, co sprawiło, że koledzy zaczęli traktować go z miesza-
niną współczucia i podziwu.
Mniej więcej rok po powrocie do Monachium, na pewnej między-
narodowej konferencji przypadkiem spotkał Littlewooda.
 Jak idzie praca nad Goldbachem, kolego?  zapytał Anglik.
 Ani na chwilę nie przestaję o tym myśleć.
 Słyszałem, że korzystasz z metod algebraicznych. Czy to prawda?
 Prawda.
84
Littlewood podzielił się z nim swoimi wątpliwościami, a Petros za-
skoczył sam siebie, otwarcie omawiając z nim wyniki swoich badań.
 A poza tym, drogi kolego, znam ten problem lepiej niż ktokol-
wiek inny. Intuicja podpowiada mi, iż prawda wyrażona w hipotezie
Goldbacha jest tak fundamentalna, że można ją odkryć tylko przez
podejście elementarne.
Littlewood wzruszył ramionami.
 Szanuję twoje przeczucia, problem jednak w tym, że jesteś zupeł-
nie odizolowany. Bez stałej wymiany idei, zanim się zorientujesz, znów
będziesz walczył z wiatrakami.
 Więc co mi radzisz? Wydawać tygodniowe sprawozdania z po-
stępów moich badań?  zażartował Petros.
 Posłuchaj  powiedział Littlewood z powagą.  Powinieneś mieć
kilku ludzi, których opiniom i uczciwości możesz zaufać. Zacznij się
dzielić wynikami, rozmawi aj z ludz
mi, mój stary!
Im dłużej myślał o tej propozycji, tym bardziej nabierała sensu. Ku
swojemu wielkiemu zaskoczeniu stwierdził, że perspektywa omówienia
postępów w pracy, zamiast przerażać, napełniała go przyjemnym pod-
nieceniem. Oczywiście grupa słuchaczy będzie musiała być nieliczna,
bardzo ograniczona. Jeżeli miała składać się z ludzi,  których opiniom
i uczciwości mógł zaufać , mogło to oznaczać tylko dwóch: Hardy ego
i Littlewooda. Na nowo podjÄ…Å‚ z nimi korespondencjÄ™, przerwanÄ… kilka
lat wcześniej, gdy wyjechał z Cambridge, i zaproponował spotkanie, na
którym chciał zaprezentować swoją pracę. Przed Bożym Narodzeniem
1931 roku otrzymał oficjalne zaproszenie do Trinity College na kolejny
rok. Wiedział, że skoro bardzo długo był praktycznie nieobecny w świe-
cie matematyki, Hardy musiał użyć wszystkich swoich wpływów, żeby
uzyskać dla niego tę ofertę. Wdzięczność, w połączeniu z perspektywą
twórczej wymiany myśli z dwoma wielkimi teoretykami liczb, sprawi-
ła, że natychmiast przyjął zaproszenie.
85
Petros scharakteryzował pierwsze miesiące swego pobytu w Anglii
w roku akademickim 1932 1933 jako najszczęśliwsze w życiu. Wspo-
mnienia pierwszej wizyty w tym kraju, piętnaście lat wcześniej, nadały
dniom spędzanym w Cambridge posmak wczesnej młodości, jeszcze
nie naznaczonej piętnem ewentualnej porażki.
Tuż po przybyciu, przez kilka poranków prezentował Hardy emu
i Littlewoodowi zarys swoich prac prowadzonych metodÄ… algebraicz-
ną przez trzy lata po odejściu od technik analitycznych. Stojąc przy
tablicy w gabinecie Hardy ego doznał dawno nie odczuwanej satysfak-
cji z uznania kolegów po fachu, którzy początkowo okazywali daleko
idący sceptycyzm, lecz póz
niej zaczęli dostrzegać zalety jego podejścia.
(Littlewood dostrzegał ich więcej niż Hardy).
 Musisz sobie uświadomić, że ryzykujesz bardzo wiele  ostrzegł
go Hardy.  Jeżeli nie doprowadzisz tego podejścia do końca, nie
będziesz miał do pokazania nic, co świadczyłoby na jego rzecz. Po-
średnie wyniki dotyczące podzielności, choć ładne, nie znajdują się
już w centrum zainteresowań. Same w sobie nie są wiele warte, chy-
ba że udałoby ci się przekonać ludzi, że mogą być przydatne w do-
wodach ważnych twierdzeń, takich jak hipoteza, nad którą pracu-
jesz.
Petros, jak zawsze, był świadom podejmowanego ryzyka.
 Tak czy inaczej, coś mi mówi, że możesz być na właściwej drodze
 dodał mu otuchy Littlewood.
 Tak  mruknÄ…Å‚ Hardy.  Tylko pospiesz siÄ™, Papachristos. Musisz
zdążyć, zanim umysł zacznie ci się rozkładać tak jak mój. Pamiętaj,
w twoim wieku Ramanujan nie żył już od pięciu lat!
W czasie kilku zimowych miesięcy Petros zrobił większe postępy
w swojej pracy niż do tej pory. Właśnie wtedy zaczął korzystać z me-
tody, która nazwał  geometryczną . Polegała na tym, że wszystkie zło-
żone (tzn. nie-pierwsze) liczby wpisywał jako kropki w prostokąt, któ-
86
rego szerokością była liczba pierwsza  najmniejszy podzielnik, a wy-
sokością  iloraz danej liczby przez podzielnik. Na przykład 15 repre-
zentował prostokąt o bokach 3 na 5 kropek, 25  prostokąt o wymia-
rach 5 na 5, a 35  prostokÄ…t o wymiarach 5 na 7.
" " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " "
" " " " " "
" " " " " "
Wszystkim liczbom parzystym odpowiadają podwójne rzędy,
" " " " " " " "
" " " " " " " "
" " " " " "
" " " "
" "
liczby pierwsze z kolei, nie mając dzielników właściwych, są przedsta-
wiana jako pojedyncze rzędy.
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
Te elementarne analogie geometryczne doprowadziły go do wnio-
sków z dziedziny teorii liczb. Po świętach Bożego Narodzenia zapre-
zentował pierwsze wyniki. Zamiast korzystać z papieru i atramentu,
ułożył swoje wzory na podłodze gabinetu Hardy ego, używając ziaren
fasoli, co Hardy ego wprawiło niemal we wściekłość.
 Fasola! Rzeczywiście, świetny pomysł  powiedział z przekąsem.
 Jest ogromna różnica między badaniami podstawowymi a dziecina-
87
dÄ…... Nie zapominaj, Papachristos, ta cholerna hipoteza jest t r u d n a,
gdyby było inaczej, Goldbach sam by ją udowodnił!
Niemniej jednak Petros ufał swojej intuicji i przypisywał reakcje
Hardy ego  intelektualnemu zaparciu spowodowanemu przez wiek
(jego własne słowa).
 Wielkie prawdy w życiu są proste  wyznał póz
niej Littlewoodo-
wi, gdy obaj popijali herbatÄ™ w apartamencie matematyka. Littlewood
skontrował, przytaczając niesamowicie złożony dowód twierdzenia
o liczbach pierwszych Hadamarda i de la Vallée-Poussina. Potem poddaÅ‚
mu pewną myśl:
 A co byś powiedział na trochę prawdziwej matematyki, stary?
Od jakiegoÅ› czasu pracujÄ™ nad dziesiÄ…tym problemem Hilberta o roz-
wiązywalności równań Diofantosa. Mam pewien pomysł, który chciał-
bym sprawdzić, ale obawiam się, że będę potrzebował wsparcia od
strony algebraicznej. Czy myślisz, że mógłbyś mi pomóc?
Littlewood musiał jednak poszukać pomocy gdzie indziej. Chociaż
zaufanie, jakim sławny kolega go obdarzał, było balsamem dla dumy
Petrosa, zdecydowanie odmówił. Wyjaśnił, że jest zbyt głęboko zaan-
gażowany w pracę nad hipotezą, żeby mógł owocnie zająć się czym-
kolwiek innym. Jego wiara w  dziecinne (zdaniem Hardy ego) po-
dejście geometryczne sprawiła, iż po raz pierwszy, odkąd zaczął pra-
cować nad hipotezą, doświadczył uczucia, że znajduje się o włos od
dowodu, i takie wrażenie towarzyszyło mu coraz częściej. Pewnego
styczniowego popołudnia przeżył nawet kilka pełnych uniesienia chwil,
gdy doznał krótkotrwałego złudzenia, że osiągnął cel. Niestety, kolej-
ny, bardziej krytyczny rzut oka odkrył niewielki, lecz ważki błąd w do-
wodzie.
Muszę wyznać, drogi czytelniku, że w tym miejscu opowiadania
mimo woli poczułem dreszcz mściwej radości. Przypomniałem sobie
wakacje spędzone w Pylos kilka lat wcześniej, gdy także przez chwilę
88
wydawało mi się, iż odkryłem dowód hipotezy Goldbacha, chociaż nie
znałem jej wtedy z nazwy.
Mimo optymizmu, sporadyczne napady zwÄ…tpienia, czasami grani-
czące z rozpaczą (zwłaszcza po skrytykowaniu metody geometrycznej
przez Hardy ego), zdarzały się coraz częściej. Zwalczał je, nazywając
chwilami cierpienia przed wielkim triumfem, bólami porodowymi
przed narodzinami wielkiego odkrycia, porównywał także do nocy,
która najciemniejsza bywa tuż przed świtem. Czuł, że wychodzi na
ostatnią prostą. Potrzebował tylko skupienia, jednego, ostatniego bły-
skotliwego olśnienia. A potem nadejdzie pełen chwały koniec wyścigu...
Zapowiedz
kapitulacji Papachristosa, zwiastująca koniec wysiłków
udowodnienia hipotezy Goldbacha, przyszła we śnie, jakiś czas po
Bożym Narodzeniu. Podobnie jak wielu matematyków pracujących
przez długi czas nad podstawowymi zagadnieniami arytmetycznymi,
Petros  zaprzyjaz
nił się z liczbami naturalnymi , to znaczy posiadł sze-
roką wiedzę na temat osobliwych właściwości i zachowań tysięcy kon-
kretnych liczb. Oto kilka przykładów.  Przyjaciel liczb naturalnych
natychmiast pozna, że 199, 457 i 1009 są liczbami pierwszymi. 220
automatycznie powiąże z 284, bo obie łączy niezwykła wspólna cecha
(sumy wszystkich dzielników są takie same). Na 256 patrzy jak na 2
do ósmej potęgi. Kolejna liczba naturalna, 257, od dawna stanowiła
przedmiot zainteresowania matematyków, ponieważ można ją zapisać
jako 223+1, a znana hipoteza głosi, że wszystkie liczby postaci 22n+1
sÄ… liczbami pierwszymi11.
11
Po raz pierwszy sformułował tę hipotezę Fermat, uogólniając dawne spostrzeże-
nie, że jest to prawdą dla pierwszych czterech wartości n, tzn. 221+ 1 = 5, 222 +1=17,
223 + 1 = 257, 224 + 1 = 65 537, które wszystkie są liczbami pierwszymi. Jednak póz
-
niej wykazano, że dla n = 5, 225 + 1 = 4 294 967 297 nie jest liczbą pierwszą, bo
dzieli się przez 641 i 6 700 417. Tak więc hipotezy geniuszy nie zawsze się spraw-
dzajÄ…!
89
Pierwszym poznanym przez mojego stryja człowiekiem, który po-
siadał ten dar (i to w niesamowitym stopniu), był Srinivasa Rama-
nujan. Petros, który niejednokrotnie był świadkiem, jak demonstro-
wał swoje niezwykłe umiejętności, opowiedział mi następującą
anegdotę12.
Pewnego dnia w 1918 roku razem z Hardym odwiedzili chorego
Ramanujana w sanatorium. Nie bardzo wiedząc, jak zacząć, Hardy
przypomniał sobie, że taksówka, którą przyjechali, miała numer re-
jestracyjny 1729, który osobiście uznał za  dość nieciekawy . Lecz
Ramanujan, zaledwie po chwili zastanowienia, zdecydowanie zaprze-
czył.
 Ależ skąd, Hardy! To wyjątkowo interesująca liczba. Jest najmniej-
szą liczbą naturalną, jaką można na dwa różne sposoby zapisać w po-
staci sumy dwóch sześcianów!13
Przez długie lata spędzone nad hipotezą Goldbacha Petros także
blisko zaprzyjaz
nił się z liczbami naturalnymi. Czuł, że  znajduje się
wśród znajomych . Przestały być dla niego abstrakcyjnymi bytami,
nabrały życia, a nawet demonstrowały własną osobowość, pojawiały
się także coraz częściej w jego snach. Z bezimiennej, niezróżnico-
wanej masy liczb naturalnych, które dotąd zaludniały jego nocne dra-
maty, teraz zaczęli wyodrębniać się pojedynczy aktorzy, a nawet bo-
haterowie. Na przykład liczba 65 występowała, nie wiadomo dlacze-
go, jako dżentelmen z miasta, w meloniku i ze zwiniętym parasolem,
w stałym towarzystwie jednej z liczb pierwszych, swojego podzielni-
ka. Trzynastka przypominała wyglądem chochlika, zwinnego i szyb-
kiego jak błyskawica. 333 było otyłym niechlujem, podkradającym
jedzenie sprzed nosa swojemu rodzeństwu: 222 i 111. 8191, znana
12
Hardy pisze o tym zdarzeniu w swojej Mathematician s Apology, nie wspomina-
jąc jednak o obecności mojego wuja.
13
1729 = 123 +13 =103 +93, co jest cechÄ… niespotykanÄ… dla mniejszych liczb
całkowitych.
90
jako  liczba pierwsza Mersenne a , zawsze występowała w stroju fran-
cuskiego gamina, z nieodłącznym gauloise em przyklejonym do ust.
Niektóre z tych wizji były zabawne i przyjemne, inne obojętne,
a jeszcze inne niepokojące. Istniała jeszcze jedna kategoria arytme-
tycznych snów, którą można by nazwać koszmarną, jeżeli nie przeraża-
jącą i bolesną, ze względu na towarzyszący jej głęboki, bezgraniczny
smutek: liczby parzyste, uosabiane przez pary identycznych bliz
niÄ…t
(przypominam, że liczba parzysta ma zawsze formę 2k, jako suma
dwóch równych liczb naturalnych). Bliz
nięta te wpatrywały się w nie-
go natarczywie, nieruchomym, pozbawionym wyrazu wzrokiem. Lecz
w ich oczach czaiło się pełne rozpaczy cierpienie. Gdyby mogły mó-
wić, powiedziałby:  Prosimy cię, przyjdz
! Pospiesz siÄ™ i uwolnij nas!
Pewnej nocy, w styczniu 1933 roku, obudziła go kolejna odmiana
tego snu, który póz
niej uznał za zwiastuna porażki. Przyśniło mu się
2100 (dwa do setnej potęgi, gigantyczna liczba) w postaci dwóch ślicz-
nych, identycznych, piegowatych, ciemnookich dziewczynek, patrzÄ…-
cych mu prosto w oczy. W ich spojrzeniu był jednak nie tylko smutek,
jak w poprzednich wizjach liczb parzystych. Patrzyły na niego ze zło-
ścią, a nawet nienawiścią. Przyglądały mu się dość długo (to wystar-
czyło, żeby nazwać sen koszmarem), po czym jedna z bliz
niaczek po-
kiwała głową gwałtownymi, urywanymi ruchami. Jej usta wykrzywił
okrutny uśmiech, którym obdarza się odrzuconego kochanka.
 Nigdy nas nie dostaniesz  wysyczała.
W tej samej chwili zlany zimnym potem Petros wyskoczył z łóżka.
Słowa, które 299 (połowa 2100) wypowiedziała, oznaczały tylko jedno:
nie było mu przeznaczone udowodnienie hipotezy. Nie należał do osób
przesądnych, które wierzyłyby w omeny. Lecz wyczerpanie, spowodo-
wane wielu latami bezowocnych poszukiwań, zaczęło teraz dawać o so-
bie znać. Nerwy miał słabsze niż kiedyś i treść snu bardzo go przygnę-
biła. Ponieważ nie mógł już potem zasnąć, wyszedł na spacer po ciem-
91
nych, zamglonych uliczkach Cambridge, żeby pozbyć się natrętnego,
straszliwego uczucia. Nagle usłyszał za sobą odgłos szybkich kroków.
Przerażony, błyskawicznie odwrócił się. Z mgły wynurzył się młody
mężczyzna w dresie, pozdrowił go i zniknął. Przez chwilę słychać było
jeszcze jego rytmiczny oddech, po czym nastała cisza. Nadal zdener-
wowany koszmarem, Petros nie był pewien, czy mężczyzna istniał na-
prawdę, czy był tylko wytworem jego snów. Jednak gdy kilka miesięcy
póz
niej ten sam mężczyzna przybył do jego mieszkania w Trinity Col-
lege ze swoją zgubną misją, od razu rozpoznał w nim porannego bie-
gacza. Po jego wizycie Petros zorientował się, że ich pierwsze spotka-
nie o brzasku, zaraz po wizji 2100 było niczym innym jak sygnałem
ostrzegawczym, że oto nadchodzi wiadomość o niepowodzeniu.
Drugie spotkanie nadeszło kilka miesięcy póz
niej. W swoim dzien-
niku Petros zapisał lakoniczny komentarz  po raz pierwszy i jedyny
odwołał się w nim do pomocy religii:  17 marca 1933. Twierdzenie
Kurta Gödla. Niech Maria, Matka Boża, zlituje siÄ™ nade mnÄ…!
Było póz
ne popołudnie. Przez cały dzień siedział w swoim miesz-
kaniu zatopiony w myślach, przyglądając się prostokątom ułożonych
na podłodze ziaren fasoli, gdy usłyszał pukanie do drzwi.
 Profesor Papachristos?
W uchylonych drzwiach pojawiła się głowa z jasnymi włosami. Pe-
tros miał znakomitą pamięć wzrokową i natychmiast rozpoznał w czło-
wieku, który teraz przepraszał go za najście, młodego biegacza.
 Proszę mi wybaczyć, że przeszkadzam, panie profesorze, ale roz-
paczliwie potrzebuję pańskiej pomocy  powiedział.
Petros był zaskoczony  wydawało mu się, że jego obecność w Cam-
bridge przeszła zupełnie niezauważona. Nie był sławny, nie był nawet
dobrze znany i poza Hardym i Littlewoodem nie zamienił z nikim na-
wet jednego słowa.
92
 Pomocy w czym?
 W przetłumaczeniu trudnego niemieckiego tekstu. Tekstu m a-
t emat ycznego.
Młody mężczyzna po raz kolejny przeprosił za zajmowanie mu cza-
su tak przyziemną sprawą. Jednak artykuł miał dla niego tak ogromne
znaczenie, że gdy usłyszał, iż w Trinity gości doświadczony matematyk
z Niemiec, nie mógł oprzeć się pokusie poproszenia go o pomoc w pre-
cyzyjnym przekładzie tekstu. W jego zachowaniu dostrzegł coś z dzie-
cinnej gorliwości i nie mógł mu odmówić.
 Pomogę panu, jeżeli potrafię. Z jakiej dziedziny jest ten artykuł?
 Logika formalna, profesorze. Grundlagen, podstawy matema-
tyki.
Petros poczuł ulgę, że artykuł nie dotyczy teorii liczb. Przez chwilę
obawiał się, iż młody gość miał zamiar wypytać go o pracę nad hipote-
zą, a artykuł był tylko pretekstem. Ponieważ mniej więcej zakończył
już pracę w tym dniu, zaprosił gościa do środka.
 Jak siÄ™ pan nazywa?
 Alan Turing, panie profesorze. Jestem studentem.
Turing podał mu otwarte na właściwej stronie czasopismo z arty-
kułem.
 Aha, Monatshefte für Mathematik und Physik  zauważyÅ‚ Petros. 
Ten miesiÄ™cznik należy do bardzo cenionych.  Über formal unent-
scheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme .
W przekładzie brzmiałoby to mniej więcej tak& zobaczmy&  O for-
malnie nie rozstrzygniętych zdaniach Principia Mathematica i systemów
im pokrewnych . Autorem jest Kurt Gödel z Wiednia. Czy jest do-
brze znany w swojej dziedzinie?
 To znaczy, że nie słyszał pan o tym artykule, profesorze?  Turing
spojrzał na niego zdumiony.
Petros uśmiechnął się.
93
 Mój drogi młody człowieku, matematykę także dotknęła współ-
czesna plaga, nadmierna specjalizacja. Obawiam się, że nie mam pojęcia
o osiągnięciach logiki formalnej ani postępach w żadnej innej dziedzi-
nie. Poza teorią liczb jestem, niestety, zupełnym dyletantem.
 Ależ profesorze!  zaprotestowaÅ‚ Turing.  Twierdzenie Gödla
interesuje ws zys t ki ch matematyków, zwłaszcza tych, którzy zaj-
mujÄ… siÄ™ teoriÄ… liczb! Zastosowano je po raz pierwszy do podstaw aryt-
metyki, systemu aksjomatycznego Peano-Dedekinda.
Ku zdumieniu Turinga, Petros nie bardzo orientował się w tym
systemie aksjomatycznym. Jak większość aktywnych matematyków,
uważał logikę formalną, której głównym przedmiotem jest właśnie
sama matematyka, za zajęcie zbyt ekstrawaganckie i najprawdopo-
dobniej zupełnie niepotrzebne. Jej kategoryczne wymogi rygorystycz-
nego sprawdzania założeń i niekończące się roztrząsanie podstaw
uważał za stratę czasu. Podzielał obiegową prawdę, że nie należy na-
prawiać rzeczy, które nie są zepsute, innymi słowy, zadaniem mate-
matyka jest przeprowadzanie dowodów twierdzeń, a nie wieczne za-
stanawianie siÄ™ nad statusem niekwestionowanych podstaw przed-
miotu. Mimo to zapał, z jakim mówił młody gość, obudził ciekawość
Petrosa.
 A wiÄ™c cóż takiego udowodniÅ‚ pan Gödel?
 Rozwiązał problem zupełności  oznajmił Turing z błyskiem
w oczach.
Petros uśmiechnął się. Problem zupełności był poszukiwaniem for-
malnego dowodu na to, że wszystkie prawdziwe twierdzenia dadzą się
w końcu udowodnić.
 To dobrze  powiedział uprzejmie Petros.  Muszę panu jednak
powiedzieć, oczywiÅ›cie nie obrażajÄ…c pana Gödla, że dla aktywnego
naukowca zupełność matematyki zawsze była oczywista. Ale dobrze
wiedzieć, że wreszcie ktoś usiadł i udowodnił to.
Turing gwałtownie pokręcił głową, czerwony z podniecenia.
94
 WÅ‚aÅ›nie o to chodzi, profesorze, Gödel ni e t o udowodniÅ‚!
 Nie rozumiem, panie Turing  rzekł ze zdziwieniem Petros. 
Przed chwilą powiedział pan, że ten młody człowiek rozwiązał pro-
blem zupełności, prawda?
 Tak, panie profesorze, ale wbrew oczekiwaniom wszystkich, roz-
wiązał je negatywnie! Wykazał, że arytmetyka i wszystkie teorie mate-
matyczne są ni ezupeł ne!
Petros nie od razu zrozumiał prawdziwą wagę tych słów, bo nie
orientował się tak dobrze w pojęciach logiki formalnej.
 Że co?
Turing ukląkł przy fotelu, gorączkowo wskazując palcem skompli-
kowane symbole wypeÅ‚niajÄ…ce artykuÅ‚ Gödla.
 O, proszę! Udowodnił, i to przekonywająco, że bez względu na
rodzaj przyjętych aksjomatów, teoria liczb będzie zawierała twierdze-
nia, których nie da się udowodnić!
 Oczywiście chodzi panu o f ał s zywe twierdzenia?
 Nie, mam na myśli prawdziwe  ale takie, których nie da się
udowodnić!
Petros skoczył na równe nogi.
 To niemożliwe!
 Ależ tak! A dowód tego znajduje się właśnie tutaj, na piętnastu
stronach:  Prawdę nie zawsze da się udowodnić!
Petros poczuł, że kręci mu się w głowie.
 Ale... to niemożliwe...
Szybko przewertował kilka stron, starając się w jednej chwili, na ile
to możliwe, przyswoić sobie całość złożonego wywodu. Mamrotał coś
do siebie, nie zwracając uwagi na gościa.
 To bezwstydne... nienormalne... to aberracja...
Turing uśmiechnął się z zadowoleniem.
95
 Właśnie tak reagują wszyscy matematycy... Ale Russell i White-
head sprawdzili dowód Gödla i ogÅ‚osili, że jest bezbÅ‚Ä™dny. Uznali go
wręcz za doskonały.
Petros skrzywił się.
 Doskonały? Przecież jeśli to rzeczywiście prawda, w co nie chce
mi siÄ™ wierzyć, dowód Gödla oznacza koni ec mat emat yki!
Przez długie godziny ślęczeli nad krótkim, niesamowicie skompli-
kowanym tekstem. Petros tłumaczył, a Turing objaśniał mu pojęcia
logiki formalnej. Gdy skończyli, zabrali się za dowód od początku,
krok po kroku. Petros rozpaczliwie poszukiwał błędu w procesie de-
dukcji.
Był to początek końca.
Turing wyszedł dopiero po północy, a Petros długo nie mógł za-
snąć. Następnego rana od razu poszedł do Littlewooda. Ku swemu
zaskoczeniu stwierdził, że ten zna twierdzenie o niezupełności.
 Dlaczego mi o nim nie powiedziałeś?  zapytał.  Wiesz o czymś
takim i nic mi nie mówisz? A do tego jesteś taki spokojny?
Littlewood nie rozumiał.
 Czym siÄ™ tak przejmujesz, stary? Gödel zbadaÅ‚ kilka bardzo szcze-
gólnych przypadków, paradoksów, które można znalez
ć we wszystkich
systemach aksjomatycznych. Co to ma wspólnego z nami, matematy-
kami z pierwszej linii?
Do Petrosa nie przemawiały takie argumenty.
 Czy naprawdę tego nie widzisz? Odtąd możemy podejrzewać, że
do każdej nie udowodnionej hipotezy stosuje się twierdzenie o niezu-
pełności... Może być a priori niedowiedlna! Więc Hilbert nie miał ra-
cji, że w matematyce nie ma  ignorabimus . Grunt usunął nam się spod
nóg!
Littlewood wzruszył ramionami.
96
 Nie wiem, czy jest sens podniecać się kilkoma twierdzeniami nie
do udowodnienia. Przecież istnieją miliardy takich, które da się udo-
wodnić.
 Tak, ale skąd możemy wiedzieć kt óre s ą kt óre?
Chociaż wyważona opinia Littlewooda powinna była uspokoić Pe-
trosa, poszukiwał on bardziej jednoznacznej odpowiedzi na jedno je-
dyne nurtujące go przerażające pytanie, które przyszło mu do głowy,
gdy tylko usÅ‚yszaÅ‚ o twierdzeniu Gödla. Tak straszliwe, że niemal nie
ośmielił się go sformułować: a gdyby twierdzenie o niezupełności sto-
sowało się do jego problemu? A jeżeli hipotezy Goldbacha nie da się
udowodnić?
Z mieszkania Littlewooda poszedł prosto do Alana Turinga i za-
pytaÅ‚ go, czy w kwestii twierdzenia o niezupeÅ‚noÅ›ci po pracy Gödla
ukazały się jakieś nowe wyniki. Turing nie wiedział. Najwyraz
niej
była tylko jedna osoba na świecie, która mogła odpowiedzieć na jego
pytanie.
Petros napisał do Hardy ego i Littlewooda, że ma pilną sprawę do
załatwienia w Monachium i tego samego wieczoru przeprawił się przez
kanał La Manche. Następnego dnia był już w Wiedniu. Przez znajo-
mego pracownika naukowego odnalazł człowieka, o którego mu cho-
dziło. Telefonicznie umówili się w kawiarni hotelu Sachera, gdyż Pe-
tros nie chciał, żeby widziano go na uniwersytecie.
Kurt Gödel przybyÅ‚ punktualnie. OkazaÅ‚ siÄ™ chudym, mÅ‚odym chÅ‚op-
cem średniego wzrostu, z malutkimi oczyma krótkowidza spoglądają-
cymi zza grubych szkieł okularów. Petros przeszedł od razu do rzeczy.
 Herr Gödel, jest coÅ›, o co chciaÅ‚bym pana zapytać w Å›cisÅ‚ej ta-
jemnicy.
Gödel z natury niezbyt dobrze czuÅ‚ siÄ™ w towarzystwie innych lu-
dzi. Teraz był jeszcze bardziej spięty.
 Czy to sprawa osobista, panie profesorze?
97
 To sprawa zawodowa, ale ponieważ dotyczy moich prywatnych
badań, byłbym wdzięczny, a nawet żądam, żeby nasza rozmowa pozo-
staÅ‚a wyÅ‚Ä…cznie miÄ™dzy nami. ProszÄ™ mi powiedzieć, Herr Gödel, czy
istnieje jakaś metoda rozstrzygnięcia, czy pańskie twierdzenie stosuje
siÄ™ do danej hipotezy?
Gödel daÅ‚ mu odpowiedz
, której się obawiał.
 Nie.
 Czyli nie można a priori stwierdzić, które twierdzenia da się udo-
wodnić, a których nie?
 O ile wiem, profesorze, to w zasadzie każde nie udowodnione
twierdzenie może być niedowiedlne.
Wtedy Petros wpadł w złość. Poczuł nieodpartą chęć złapać ojca twier-
dzenia o niezupełności za kark i rąbnąć jego głową w lśniący blat stolika.
Jednak opanował się, pochylił ku niemu i chwycił mocno za rękę.
 Całe życie spędziłem, starając się udowodnić hipotezę Goldbacha
 powiedział cichym, pełnym napięcia głosem.  A teraz pan mi mówi,
że może w ogóle nie da się tego zrobić?
Blada i tak twarz Gödla byÅ‚a teraz zupeÅ‚nie pozbawiona koloru.
 Teoretycznie  tak...
 Niech szlag trafi teorię, człowieku!  okrzyk Petrosa sprawił, że
wytworna klientela Sachera odwróciła głowy w ich kierunku.
 Muszę być pewi en, czy pan rozumie? Mam prawo wiedzieć,
czy marnuję swoje życie!
ÅšciskaÅ‚ go za rÄ™kÄ™ tak silnie, że na twarzy Gödla pojawiÅ‚ siÄ™ grymas
bólu. Nagle Petros poczuł się zawstydzony swoim zachowaniem. Prze-
cież ten biedny człowiek nie odpowiada osobiście za niezupełność
matematyki  on ją po prostu odkrył! Puścił jego rękę, mamrocząc
sÅ‚owa przeprosin. Gödel drżaÅ‚ na caÅ‚ym ciele.
 Rozumiem, co pan czuje, profesorze  wyjąkał.  Ale o-obawiam
się, że na razie nie ma odpowiedzi na p-pańskie pytanie.
98
Od tej pory nieuchwytne zagrożenie związane z twierdzeniem o nie-
zupełności rozwinęło się w nieprzejednany lęk, który stopniowo za-
czął rzucać cień na wszystkie chwile życia Petrosa i w rezultacie znisz-
czył jego ducha walki. Nie stało się to z dnia na dzień. Jeszcze przez
kilka lat prowadził badania, lecz teraz nie przykładał się tak bardzo,
pracował na pół gwizdka. Od czasu do czasu ogarniała go tak dojmu-
jąca rozpacz, że z czasem przekształciła się w formę obojętności, uczucie
bardziej do zniesienia.
 Widzisz, gdy tylko o nim usłyszałem, twierdzenie o niezupełności
odebrało mi pewność, która była motorem moich wysiłków  tłuma-
czył mi Petros.  Wychodzi na to, że błąkałem się w labiryncie, z które-
go wyjścia nie mogłem znalez
ć, nawet gdybym go szukał przez tysiąc lat.
A to z bardzo prostego powodu: całkiem możliwe, że wyjście nie istnia-
ło, że labirynt składał się wyłącznie ze ślepych zaułków! Mój drogi bra-
tanku, uwierzyłem, że straciłem życie na tropieniu chimery!
Zilustrował tę nową sytuację, odwołując się do przykładu, który
zacytował mi wcześniej. Hipotetyczny przyjaciel, który poprosił go
o pomoc w znalezieniu klucza, być może (al e ni e wi adomo
t ego na pewno) cierpi na amnezję. Całkiem możliwe, że zagu-
biony klucz nigdy nie istniał!
Krzepiąca pewność, na której opierał wysiłki dwudziestu lat pracy,
przestała istnieć. Częste odwiedziny liczb parzystych we śnie potęgo-
wały jego lęki. Powracały praktycznie co noc, nadając jego snom cha-
rakter złych przeczuć. Nowe wyobrażenia prześladowały go w kosz-
marach, stałych wariacjach na temat poczucia klęski. Między nim i licz-
bami parzystymi wyrosły mury, liczby uciekały przed nim gromadnie,
coraz dalej i dalej, z opuszczonymi głowami, jak smutna, pokonana
armia, usuwająca się w ciemność ogromnych, pustych przestrzeni...
Lecz najgorszym spośród snów, po którym zawsze budził się drżący
i zlany potem, była wizja 2100, dwóch ślicznych bliz
niaczek. Spoglądały
99
nań w milczeniu, z oczyma pełnymi łez, potem z wolna odwracały głowy
i rysy ich rozpływały się w otchłani nocy. Znaczenie snu było jasne.
Jego ponurej wymowy nie musiał mu objaśniać żaden wróżbita ani
psychoanalityk: niestety, twierdzenie o niezupełności stosowało się do
jego hipotezy. Hipotezy Goldbacha a priori nie dało się udowodnić.
Wróciwszy do Monachium po roku spędzonym w Cambridge, Pe-
tros podjął rutynowe zajęcia, jakie wykonywał przez wyjazdem: na-
uczanie, szachy i niezbędne minimum życia towarzyskiego. Skoro nie
miał teraz zbyt wiele do roboty, przyjmował niektóre zaproszenia. Po
raz pierwszy od czasów wczesnego dzieciństwa matematyka nie odgry-
wała najważniejszej roli w jego życiu. Chociaż przez jakiś czas konty-
nuował badania, dawny zapał zniknął. Odtąd nad hipotezą Goldbacha
spędzał tylko kilka godzin dziennie, pracując bez pełnej koncentracji
nad metodą geometryczną. Nadal budził się przed świtem, szedł do
gabinetu i powoli spacerował między ułożonymi na podłodze prostoką-
tami z ziaren fasoli (wszystkie meble rozsunął pod ściany, żeby zrobić
więcej miejsca). Co jakiś czas przekładał kilka z jednego miejsca na
drugie, mamrocząc do siebie. Trwało to jakiś czas, a potem siadał w fo-
telu, wzdychał głęboko i zajmował się szachami. W ten sposób żył przez
kolejne dwa, może trzy lata. Czas spędzany na badaniach stopniał nie-
mal do zera. Nagle, pod koniec 1936 roku, otrzymał telegram od Ala-
na Turinga, który pracował teraz na Uniwersytecie w Princeton:
UDOWODNIA
EM, ŻE NIE MOŻNA ROZSTRZYGN
Ć A PRIORI
STOP.
Właśnie: STOP. Oznaczało to, że nie można z góry przewidzieć, czy
dane twierdzenie matematyczne da się udowodnić. Turing wykazał, że
dopóki pozostaje ni e udowodni one, nie ma możliwości stwier-
100
dzenia, czy przeprowadzenie dowodu jest niemożliwe, czy po prostu
bardzo trudne. Dla Petrosa płynął z tego wniosek, że gdyby chciał kon-
tynuować badania nad hipotezą Goldbacha, będzie to musiał uczynić
na własną odpowiedzialność. Brakowało mu jednak do tego optymi-
zmu i ducha walki, nadwerężonych upływem czasu, wyczerpaniem,
brakiem szczęścia, twierdzeniem Kurta Gödla, do których doszedÅ‚ jesz-
cze na dodatek Alan Turing ze swoim STOP.
Kilka dni po telegramie Turinga (w jego dzienniku widnieje data 17
grudnia 1936 roku) Petros poinformował gospodynię, że nie będzie
już potrzebował fasoli. Ta zmiotła wszystkie nasiona, dobrze wypłuka-
ła i zrobiła z nich pożywny cassoulet na obiad dla profesora.
*
Stryj Petros zamilkł na chwilę, spoglądając ze smutkiem na swoje
dłonie. Poza niewielkim kręgiem bladożółtego światła, rzucanego wo-
kół przez jedną żarówkę, zalegała zupełna ciemność.
 Czyli wtedy poddałeś się?  zapytałem cicho.
 Tak  skinął głową.
 I nigdy odtąd nie zajmowałeś się hipotezą Goldbacha?
 Nigdy.
 A Isolde?
Moje pytanie najwyraz
niej go poruszyło.
 Isolde? A co ona ma do tego?
 Myślałem, że to dla niej postanowiłeś udowodnić hipotezę Gold-
bacha. A może nie?
Uśmiechnął się melancholijnie.
 Isolde natchnęła mnie do wyruszenia w  piękną podróż , jak mówi
nasz poeta14. Bez niej może wcale bym nie wyruszył. Ale w sumie była
14
Konstandinos Kawafis, Itaka.
101
tylko bodz
cem, który natchnął mnie do rozpoczęcia pracy. Kilka lat
póz
niej wspomnienie o niej zaczęło przygasać. Stała się iluzją, słodko-
-gorzkim wspomnieniem... Moje ambicje były już większe, bardziej
wzniosłe.
WestchnÄ…Å‚.
 Biedna Isolde! Razem z obiema córkami zginęła podczas bombar-
dowania Drezna przez aliantów. Jej mąż, przystojny młody porucznik,
dla którego mnie porzuciła, poległ wcześniej na froncie wschodnim.
Ostatnia część opowiadania mojego stryja nie miała wiele wspólne-
go z matematykÄ….
W następnych latach historia, nie matematyka, stała się dominują-
cą siłą sprawczą w jego życiu. Burzliwe wydarzenia na świecie znisz-
czyły bezpieczną wieżę z kości słoniowej, w której prowadził badania.
W 1938 roku gestapo aresztowało jego gospodynię i wysłało do tak
zwanego  obozu pracy . Nie wynajÄ…Å‚ nikogo na jej miejsce, naiwnie
wierząc, że wkrótce wróci, a jej uwięzienie spowodowane było niepo-
rozumieniem  wszak była wdową po żołnierzu kajzera. (Po wojnie
dowiedział się od jednego z jej krewnych, który przeżył, że zginęła
w Dachau, niedaleko Monachium). Zaczął jadać w restauracjach, wra-
cając do domu tylko żeby się wyspać. W czasie wolnym od zajęć na
uniwersytecie chadzał do klubu szachowego, przyglądając się, analizu-
jąc lub rozgrywając partie. W 1939 roku dziekan Wydziału Matema-
tyki, wtedy już wysoko postawiony członek partii nazistowskiej, dał
Petrosowi do zrozumienia, że powinien natychmiast wystąpić o oby-
watelstwo niemieckie i zostać obywatelem Trzeciej Rzeszy. Petros do-
myślił się w tym sugestii niemieckiego Ministerstwa Wojny. Odmówił,
bynajmniej nie ze względu na wyznawane zasady (udało mu się przejść
przez życie bez żadnych obciążeń ideologicznych), lecz dlatego, że nie
mógł znieść perspektywy powrotu do równań różniczkowych. Natych-
102
miast stał się persona non grata. We wrześniu 1940 roku, tuż przed
wypowiedzeniem przez Włochy wojny Grecji, został zwolniony ze
swojego stanowiska i po życzliwym ostrzeżeniu wyjechał z Niemiec,
unikając w ten sposób internowania.
Biorąc pod uwagę ścisłe kryteria działalności naukowej, przez po-
nad dwadzieścia lat niczego nie opublikował, nie mógł więc liczyć na
zatrudnienie na żadnym uniwersytecie i musiał wrócić do Grecji.
Przez pierwsze lata okupacji jego ojczyzny przez wojska państw Osi
mieszkał w domu rodzinnym w Atenach przy ulicy królowej Sophii,
wraz z niedawno owdowiałym ojcem, bratem Anargyrosem i jego
młodą żoną (moi rodzice wcześniej przeprowadzili się do własnego
domu), poświęcając praktycznie cały swój czas grze w szachy. Jednak
wkrótce płacz i dziecięce figle moich nowo narodzonych kuzynów
przyczyniły mu znacznie więcej udręki niż faszystowska okupacja,
wobec czego przeprowadził się do małego, rzadko używanego let-
niego domu w Ekali.
Po wyzwoleniu mojemu dziadkowi udało się załatwić dla niego pro-
pozycję objęcia stanowiska dyrektora Zakładu Analizy Matematycznej
na Uniwersytecie w Atenach. Petros odmówił, tłumacząc się, że bę-
dzie mu to przeszkadzać w badaniach. (W tym punkcie musiałem zgo-
dzić się z teorią Sammy ego: hipoteza Goldbacha była rzeczywiście
wygodnym pretekstem uzasadniającym nieróbstwo mojego stryja). Dwa
lata póz
niej zmarł ojciec rodziny Papachristos, pozostawiając trzem
synom równe udziały w firmie, lecz na stanowiska dyrektorskie mia-
nował wyłącznie mojego ojca i Anargyrosa.
 Mój najstarszy syn Petros zachowa przywilej prowadzenia swoich
badań matematycznych , stwierdził wyraz
nie w ostatniej woli, co było
równoznaczne z otrzymaniem przywileju życia na koszt braci.
 A potem?  zapytałem, nadal mając nadzieję, że czeka mnie nie-
spodzianka, nieoczekiwany zwrot akcji na ostatniej stronie.
103
 A potem nic  zakończył stryj.  Od prawie dwudziestu lat moje
życie składa się z tego, co znasz  z szachów i pracy w ogrodzie, z pra-
cy w ogrodzie i z szachów. Aha, jeszcze raz w miesiącu odwiedzam in-
stytucję charytatywną założoną przez twojego dziadka. Pomagam w pro-
wadzeniu ksiÄ…g rachunkowych. CoÅ› dla zbawienia duszy, na wypadek,
gdyby tamten świat rzeczywiście istniał.
Wybiła północ i byłem już bardzo zmęczony, jednak podjąłem pró-
bę zakończenia wieczoru pozytywnym akcentem. Po przeciągłym ziew-
nięciu zebrałem się na odwagę i powiedziałem:
 Podziwiam cię, stryjku... za odwagę i wielkiego ducha, za to, że
z podniesionym czołem przyjąłeś porażkę.
Na jego twarzy odmalowało się zaskoczenie w najczystszej formie.
 O czym ty mówisz?  zapytał.  Ja wcale nie przegrałem!
 Nie?  Teraz nadeszła moja kolej na zdumienie.
 Ależ skąd, drogi chłopcze!  Pokręcił przecząco głową.  Nic z tego
nie zrozumiałeś. Nie przegrałem, po prostu nie miałem szczęścia.
 Nie miałeś szczęścia? Chodzi ci o to, że wybrałeś niewłaściwy
problem do rozwiÄ…zania?
 Nie  powiedział, załamany moją niezdolnością uzmysłowienia
sobie czegoś zupełnie oczywistego.  Brak szczęścia to, jak sam przy-
znasz, dość łagodne określenie wyboru problemu, który nie ma roz-
wiązania. Nie słuchałeś?  Westchnął ciężko.  W miarę upływu czasu
moje podejrzenia potwierdzały się: hipotezy Goldbacha nie da się udo-
wodnić!
 Skąd ta pewność?  zapytałem.
 Intuicja  odparł, wzruszając ramionami.  To jedyne narzędzie
pozostałe matematykowi przy braku dowodów. Dla prawdy tak funda-
mentalnej, tak prostej do stwierdzenia, lecz jednocześnie niesamowi-
cie opornej na wszelkie formy systematycznego rozumowania nie ma
innego wyjaśnienia. Nieświadomie podjąłem się syzyfowej pracy.
104
 Nie wiedziałem o tym  zmarszczyłem brwi.  Ale wydaje mi
siÄ™...
Teraz stryj Petros przerwał mi wybuchem śmiechu.
 Jesteś bystrym chłopcem  powiedział  ale w matematyce nie
jesteś nawet karzełkiem, podczas gdy ja w swoim czasie byłem praw-
dziwym gigantem. Więc nie przeciwstawiaj mojej intuicji  swojej,
mój ulubiony bratanku!
Z tą opinią nie mogłem dyskutować.
105
3
Moją pierwszą reakcją na szczegółową opowieść Petrosa był niekłamany
podziw dla jego szczerości. Dopiero kilka dni póz
niej, gdy klimat jego
melancholijnej opowieści trochę osłabł, zorientowałem się, że nie miała
żadnego związku z moim pierwotnym pytaniem. Przyjechałem do Ekali
specjalnie po to, żeby dać mu sposobność wytłumaczenia swojego
postępowania. Historia jego życia była istotna o tyle, o ile wyjaśniała
jego okropne zachowanie, gdy kazał mi udowodnić hipotezę Goldba-
cha. Rozwodził się na temat swoich niepowodzeń, (może powinie-
nem wyświadczyć mu przysługę, nazywając je  pechem ?), lecz ani
słowem nie wyjaśnił, dlaczego postanowił mnie odwieść od pomysłu
studiowania matematyki. Sprawa wyboru metody wiodÄ…cej do tego
celu także pozostawała niejasna. Czy spodziewał się, że automatycznie
skojarzę ją z jego własnymi gorzkimi doświadczeniami? Jedno nie wią-
zało się z drugim. Jego opowieść znakomicie pełniła funkcję ostrze-
gawczą, jednak przyszły matematyk mógł się z niej także dowiedzieć,
jakich pułapek unikać, żeby jak najlepiej zaplanować karierę, nie zaś 
jak ją przedwcześnie zakończyć. Po kilku dniach wróciłem do Ekali
i zapytałem go wprost, czy mógłby mi wyjaśnić, dlaczego próbował mi
obrzydzić matematykę. Wzruszył tylko ramionami.
106
 Czy chcesz znać prawdę?  zapytał.
 Oczywiście. Po co bym pytał?
 Dobrze. Przykro mi to mówić, ale od samego początku uważa-
łem, i nadal uważam, że nie masz specjalnych uzdolnień do wielkiej
matematyki.
Po raz kolejny wpadłem we wściekłość.
 Ach tak? A skąd możesz o tym wiedzieć? Czy zadałeś mi chociaż
jedno pytanie? Czy poza niemożliwą do udowodnienia hipotezą Chri-
stiana Goldbacha kiedykolwiek zadałeś mi cokolwiek innego? Mam
nadzieję, że nie będziesz na tyle bezczelny i nie powiesz mi, że właśnie
z tego wywnioskowałeś o braku moich zdolności matematycznych!
Uśmiechnął się smutnie.
 Znasz pewnie powiedzenie, że w życiu nie da się ukryć trzech
rzeczy: kaszlu, bogactwa i miłości? Cóż, dla mnie istnieje jeszcze czwarta
rzecz: talent do matematyki.
 Aha, od razu to wyczułeś, prawda? Czy wydały mnie moje oczy,
czy też coś w rodzaju je ne sais quoi, co zdradza twoim nadwrażliwym
zmysłom obecność lub brak matematycznego geniuszu? A może po-
trafisz też określić iloraz inteligencji po uścisku dłoni?
 Wiesz, że z tymi oczami możesz mieć rację?  odparł, nie zwra-
cając uwagi na mój sarkazm.  Lecz w twoim przypadku fizjonomia
była tylko niewielką częścią całości. Warunkiem koniecznym, lecz nie
wystarczającym, do osiągnięcia znakomitych wyników jest bezgranicz-
ne poświęcenie jednemu celowi. Gdybyś miał dar, który pragniesz mieć,
drogi chłopcze, nie przyszedłbyś do mnie prosić o błogosławieństwo,
tylko od razu zacząłbyś studiować matematykę. Właśnie tak wygląda
pierwszy znak.
Im dłużej mi wyjaśniał, tym bardziej byłem na niego wściekły.
 Skoro byłeś tak pewien, że nie mam zdolności matematycznych,
dlaczego tamtego lata tak mnie torturowałeś? Dlaczego musiałem prze-
107
żyć zupełnie niepotrzebne upokorzenie? Mało brakowało, a uznałbym
siÄ™ za kompletnego idiotÄ™!
 Czy ty nie rozumiesz, że hipoteza Goldbacha była moim ubezpie-
czeniem?  odparł wesoło.  Gdybym jakimś zrządzeniem losu pomy-
lił się co do ciebie i, co niemal zupełnie nieprawdopodobne, rzeczy-
wiście miałbyś zadatki na geniusza, przeżycie to wcale by cię nie załama-
ło, a nawet nie byłoby okropne, jak sam je nazwałeś, lecz podniecające,
inspirujące i radosne. Widzisz, ostatecznym sprawdzianem była pró-
ba zdecydowania. Gdybyś po nieudanej próbie rozwiązania zadania,
co zresztą przewidziałem, przyszedł do mnie i chciał dowiedzieć się
więcej, gdybyś uporczywie dociekał prawdy, wywnioskowałbym, że
może rzeczywiście masz zadatki na matematyka. Ale ty... nie wystar-
czyło ci nawet ciekawości, żeby zapytać o rozwiązanie! Co gorsza, wrę-
czyłeś mi podpisaną deklarację własnej nieudolności!
Gniew, który dusiłem w sobie od wielu lat, wreszcie eksplodował.
 Wiesz co, ty stary draniu? Może kiedyś byłeś dobrym matematy-
kiem, ale jako człowiek jesteś zerem! I to zerem bezwzględnym!
Nie posiadałem się ze zdumienia, gdy moje słowa przywitał szero-
ki, szczery uśmiech.
 Co do tego, mój drogi bratanku, zgadzam się w całej rozciągłości!
Miesiąc póz
niej wróciłem do USA, żeby przygotować się do ostat-
niego roku studiów. Zamieszkałem z nowym kolegą, który, na szczę-
ście, nie miał nic wspólnego z matematyką. Sammy zdążył tymczasem
ukończyć studia i w Princeton zgłębiał zagadnienie, które miało wkrótce
stać się tematem jego pracy doktorskiej:  Rzędy grup torsyjnych i ciąg
spektralny Adamsa .
W pierwszy weekend wsiadłem w pociąg i pojechałem go odwie-
dzić. Bardzo się zmienił. Stał się bardziej nerwowy i wybuchowy niż
wtedy, kiedy go poznałem. Co jakiś czas twarz wykrzywiał mu mimo-
108
wolny grymas, coÅ› w rodzaju nerwowego tiku. NiewÄ…tpliwie grupy
torsyjne, czymkolwiek by nie były, wywierały na niego zdecydowanie
negatywny wpływ. Zjedliśmy obiad w małej pizzerii naprzeciwko uni-
wersytetu. Tam streściłem mu historię opowiedzianą mi przez Petro-
sa. Wysłuchał jej, ani razu nie przerywając pytaniem ani komenta-
rzem. Kiedy skończyłem, podsumował swoją reakcję:
 Kwaśne winogrona.
 Co?
 Sam powinieneś wiedzieć. Przecież Ezop był Grekiem.
 A co on ma z tym wszystkim wspólnego?
 Wszystko. Bajka o lisie, który nie mógł dosięgnąć kiści winogron
i dlatego uznał, że są kwaśne. Co za znakomita wymówka dla twojego
stryja: oskarżyÅ‚ o wszystko Kurta Gödla! CoÅ› podobnego!  Sammy
wybuchnął śmiechem.  Pomysłowe! Niesłychane! Ale muszę przy-
znać, że oryginalne, prawdę mówiąc, tak unikatowe, że powinno się
to zapisać w jakiejś księdze rekordów! Nigdy wcześniej żaden mate-
matyk na poważnie nie przypisywał swojego niepowodzenia twierdze-
niu o niezupełności!
Chociaż słowa Sammy ego odzwierciedlały moje własne wątpli-
wości, do zrozumienia jego osądu brakowało mi wiedzy matema-
tycznej.
 Więc uważasz, że hipotezę Goldbacha da się udowodnić?
 Człowieku, co znaczy  da się w tym kontekście?  ironizował
Sammy.  Jak twój stryj zauważył, dzięki Turingowi nie można z pew-
nością stwierdzić, że dana hipoteza jest a priori niedowiedlna. Ale gdy-
by wszyscy aktywni matematycy zaczÄ™li cytować Gödla, nikt nigdy nie
sięgnąłby po interesujące problemy. Tak się składa, że wszystko, co
interesujÄ…ce w matematyce, jest zawsze bardzo trudne. Hipoteza Rie-
manna pozostaje nie udowodniona od stu lat. Kolejny przykład na
zastosowanie twierdzenia o niezupełności? Zagadnienie czterech barw?
109