Przygotowanie do kolokwium nr 2
Twierdzenia dotyczące funkcji wymiernych
Definicja 1  Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:
Gdzie są wielomianami, przy czym ni jest wielomianem zerowym. Je\
eli stopień
wielomianu jest mniejszy od stopnia wielomianu to mówimy o funkcji wymiernej właściwej, w
przeciwnym wypadku funkcja jest funkcją wymierną niewłaściwą.
Twierdzenie 1  Ka\
da funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i
funkcji wymiernej właściwej .
Fakt  Ka\
dą funkcję wymierną właściwą mo\
na przedstawić za pomocą sumy ułamków prostych.
Definicja 2  Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci:
Gdzie ,
Definicja 3  Ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci:
Gdzie , , , , 4 0
Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste
Twierdzenie 2  Niech będzie funkcją wymierną właściwą. Załó\
my, \
e mianownik
mo\
emy przedstawić w następującej postaci:
& &
Wówczas wielomian mo\
na przedstawić za pomocą następującej sumy:
Twierdzenie Heviside a (tylko dla zainteresowanych)
Mo\
na pokazać, \
e je\
eli transformata wyjściowa dana jest w następującej postaci:
1.1
Przy czym stopień wielomianu jest mniejszy od stopnia wielomianu - funkcja jest
funkcją wymierną właściwą - to mo\
na pokazać, \
e kolejne współczynniki dane są zale\
nością:
1.2
, 0,1,2, & , 1
!
Gdzie:
-jeden z pierwiastków wielomianu
-krotność pierwiastka .
W przypadku, gdy w mianowniku występuje więcej ni\
jeden pierwiastek wygodnie jest wprowadzić
indeksowanie podwójne, tj.
, , ,
1.3
Lub ogólnie:
,
1.4
-liczba ró\
nych pierwiastków
Co mo\
na rozwinąć w następującą sumę:
, , , , ,
1.5
, ,
&
Przy czym współczynnik oblicza się wg następującej zale\
ności:
,
, ,
!
1.6
1, & ,
0,1, & , 1
Zauwa\
my w tym punkcie, \
e w przypadku pierwiastków wielokrotnych najwy\
sza z pochodnych
funkcji (stopień najwy\
szej pochodnej o jeden mniejszy od krotności pierwiastka) odpowiada
członowi w rozwinięciu z najni\
szą, pierwszą potęgą, i stałej . Innymi słowy istnieje następująca
,
zale\
ność pomiędzy indeksami oraz :
, ,
1 2 1
1 2 1 0
Widzimy zatem, \
e ogólna zale\
ność pomiędzy oraz mo\
e mieć następującą postać:
UWAGA: Z tego co pamiętam to na zajęciach podawałem definicję współczynnika w
następującej postaci:
, , , , & ,
,
!
Co oczywiście nie jest prawdą  nale\
y się posłu\
yć definicją przedstawioną wcześniej. Przykład
przedstawiony poni\
ej powinien wyjaśnić sytuację.
Jak nale\
y się posługiwać powy\
szymi zale\
nościami (tw.Heviside a)?
a) Sprawdzam, czy postać funkcji odpowiada zało\
eniom twierdzenia Heviside a.
b) Określamy liczbę ró\
nych pierwiastków , i przypisujemy ją do zmiennej (zakładam, \
e
pierwiastki są ju\
znane)
c) Wyznaczamy krotność danego pierwiastka
d) Posługujemy się zale\
nością 1.6 w celu wyznaczenia współczynników odpowiadających
,
zale\
ności 1.5. Do obliczenia współczynników potrzebna jest znajomość funkcji .
,
Przykład 1
Rozbij funkcję na ułamki proste, wykorzystaj twierdzenie Heviside a. Następnie wykorzystując
dostępne wzory transformacyjne wyznacz funkcję .
1
1
a) Stopień mianownika jest większy od stopnia licznika, więc jest OK.!
b) Określamy pierwiastki mianownika , ich liczbę oraz krotność
1 0 2
2 1 1
max 2
Zgodnie z ideą rozbijania funkcji na ułamki proste szukam rozwinięcia postaci:
, , ,
c) Wyznaczam współczynniki
, , ,
1!
, , ,
0!
, , ,
0!
Wyznaczam funkcje: , ,
1
1
 1
1
Przypomnijmy, \
e:
2
2
2
1
1
Wyznaczam wartości powy\
szych funkcji w zale\
ności od odpowiadającego im pierwiastka.
Przykładowo dla dowolnej funkcji podstawiam wartość pierwiastka , i tak dostajemy
kolejno:
0 1
0 1
1 1
Wartości szukanych współczynników wyniosą:
1
,
1
,
1
,
Ostatecznie otrzymujemy rozwinięcie postaci:
, , ,
1 1 1
1
d) Wyznaczam funkcję czasu
1 1 1
1
W tym punkcie wykorzystam własność liniowości odwrotnego operatora Laplace a,
zamieniając operację na sumie, na sumę operacji, tj.
1 1 1 1 1 1
1 1
Do wyznaczenia funkcji , 1,2,3 wykorzystuję następujące zale\
ności:
Funkcja czasu Transformata Laplace a
1
1
1
1 1
1
1
1
e) Rozwiązanie metodą konwencjonalną (np. dla porównania wyników)
Sposób 1
1
1 1
1
1 1 1
1
Zauwa\
my, \
e mianownik wyjściowej zale\
ności nie jest to\
samy mianownikowi ostatniego
wyra\
enia, tj.
1 1
Doprowadzamy ostatnią zale\
ność do takiej postaci aby taka to\
samość zachodziła:
1 1
Teraz aby zapewnić to\
samość pomiędzy licznikami, nale\
y poszukać takich , , aby
zachodziło:
1
Przypomnijmy, \
e dwa wielomiany są sobie to\
same wtedy i tylko wtedy, gdy ich
współczynniki są sobie równe. Dostajemy zatem układ równań:
1
0
0
Jego rozwiązaniem jest:
1 1 1
Dostajemy zatem rozwinięcie postaci:
1 1 1 1
1 1 1
Zgadza się to z wynikiem uzyskanym przy u\
yciu twierdzenia Heviside a.
Sposób2
1
1 1
Mno\
ymy obie strony równania przez mianownik wyra\
enia wyjściowego:
1 1 1
Poniewa\
powy\
sza zale\
ność ma być prawdziwa dla ka\
dego , mo\
emy wybrać takie, które
pozwoli nam na szybkie wyznaczenie stałych , , , nie trudno się zorientować, \
e będą to
pierwiastki mianownika, odpowiadające danej stałej. I tak chcąc obliczyć podstawiamy do
powy\
szej zale\
ności 1, dstajemy:
1
Chcąc wyznaczyć podstawiamy 0, dstając:
1
A co z ? Jak zauwa\
yliśmy podstawienie wartości któregokolwiek z pierwiastków powoduje
redukcję członu związanego z . Nic nie przeszkadza nam w tym, aby to\
samość:
1 1 1
zró\
niczkować względem , w wyniku dostajemy:
0 2 2
Podstawiając 0 dostajemy:
1
Zauwa\
my, \
e równie dobrze moglibyśmy ró\
niczkować dalej, dostając:
0 2 2
co daje ten sam wynik:
1
Dostajemy ostatecznie rozwiniecie postaci:
1 1 1 1
1 1 1
Co zgadza się z wynikiem otrzymanym przy u\
yciu dwóch ostatnich metod.
Funkcje z członami w mianowniku
W przypadku takich funkcji pierwiastki mianownika są liczbami zespolonymi i wynoszą:
,
Gdzie jest liczbą urojoną. Zauwa\
my, \
e człon mo\
emy przedstawić jako:
Przykład 2
Spróbujmy obliczyć transformatę odwrotną funkcji:
Wyznaczmy wartości i :
Dostajemy układ równań:
0
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb:
/2 /2
Nasze rozwinięcie przyjmuje postać:
/2 /2
Zgodnie z teorią:
1
Funkcja czasu w naszym przypadku przyjmuje zatem postać:
2 2 2
Przypomnijmy, \
e zgodnie z wykładniczą definicją liczby zespolonej dostaniemy:
cos cos
cos
Podstawiając do powy\
szego dostajemy:
2 sin
2
Formalnie ka\
dą funkcję powinniśmy jeszcze przemno\
yć przez funkcję jednostkową Heviside a
:
sin
Aby wynik był spójny z definicją transformaty Laplace a.
Przykład 3
Wyznaczyć transformatę odwrotną funkcji podaną poni\
ej:
Wykorzystać następujące zale\
ności:
1
sin cos
Rozbijamy na ułamki proste:
Korzystamy przy tym z twierdzenia 2, o rozbijaniu funkcji wymiernych na ułamki proste. Zauwa\
my,
\
e musimy u\
yć ułamków prostych zarówno pierwszego i drugiego rodzaju:
Poszukajmy wartości stałych , , . Poniewa\
obie strony powy\
szego równania muszą być sobie
równowa\
ne, a mianowniki są sobie równowa\
ne, to wystarczy napisać to\
samość liczników, tj.
Pamiętając, \
e dwa wielomiany są sobie to\
same wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki są sobie
równe, dostaniemy układ równań:
1
0
Którego rozwiązaniem jest:
W tym miejscu wartości stałych , , są ju\
znane, mo\
emy zatem obliczyć transformatę
odwrotną.
cos
sin
Pytania do samodzielnego opracowania
1) Definicje i twierdzenia przedstawione na początku pozwalają na wygodną pracę z funkcjami
wymiernymi właściwymi, co w przypadku, gdy funkcja wymierna jest funkcją niewłaściwą?
2) Dlaczego ka\
dy wynik operacji poszukiwania odwrotnej transformacji Laplace a zawiera w
sobie czynnik , tj.
3) W którym miejscu, w obliczeniach transformaty odwrotnej Laplace a wykorzystujemy
własność liniowości operatora odwrotnej transformaty Laplace a?
Je\
eli gdzieś się pomyliłem, proszę mnie o tym poinformować.
Pozdrawiam,
A
ukasz Hirt