Krystalografia
Krystalografia
Wykład III
Wykład III
Wykład III
Wykład III
Wykład III
Wykład III
Wykład III
Wykład III
Plan wykładu
Plan wykładu
" Współistnienie elementów symetrii
" Współistnienie elementów symetrii
" Grupy punktowe symetrii
" Grupy punktowe symetrii
" Symbole Schoenfliesa grup punktowych
" Symbole Schoenfliesa grup punktowych
2
2
Współistnienie elementów symetrii
OÅ› parzystokrotna Ä„" m Ò!
1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1 0 0 1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 1 0śł Å" ïÅ‚0 1 0śł = i
ïÅ‚0 1 0śł =
m(100) Å" 2[100] =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 0 1śł ðÅ‚0 0 1ûÅ‚ ïÅ‚0 0 1śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3
3
Oś n-krotna znajdująca się na płaszczyz
nie generuje n
płaszczyzn tworzących z sobą kąt Ą/n
4
4
Je\
eli istnieje tylko jedna oś o krotności większej ni\
2,
to ka\
da oś o krotności 2 musi być do niej prostopadła
5
5
Je\
eli oś 2 jest prostopadła do osi n-krotnej to istnieje
n osi 2 znajdujących się w płaszczyz
nie prostopadłej
do osi n-krotnej i tworzÄ…cych z sobÄ… kÄ…ty Ä„/n
6
6
Gdy zbiór skończony ma kilka elementów symetrii,
elementy te powinny przecinać się przynajmniej
w jednym punkcie.
7
7
GrupÄ… punktowÄ… symetrii nazywa
się zespół operacji symetrii zbioru skończonego,
gdy\
tworzÄ… one grupÄ™ w sensie matematycznym.
8
8
Grupa to zbiór elementów
Grupa to zbiór elementów
powiÄ…zanych zale\
nościami
powiÄ…zanych zale\
nościami
" Kombinacja ka\
dych dwóch elementów lub
kwadrat elementu musi tworzyć równie\

element grupy
" Dla iloczynu elementów grupy musi być
spełnione prawo łączności P(QR) = (PQ)R
" Jednym z elementów grupy musi być element
to\
samościowy E taki \
e: EP = PE = P
" Ka\
dy element grupy musi mieć odwrotność,
będącą równie\
elementem grupy tzn. PP-1 = E
9
9
Punktowa grupa symetrii
Punktowa grupa symetrii
" Gdy zbiór skończony ma kilka elementów
" Gdy zbiór skończony ma kilka elementów
symetrii, elementy te powinny przecinać się
symetrii, elementy te powinny przecinać się
przynajmniej w jednym punkcie.
przynajmniej w jednym punkcie.
" W zwiÄ…zku z tym grupÄ… punktowÄ… symetrii
" W zwiÄ…zku z tym grupÄ… punktowÄ… symetrii
nazywa się zespół operacji symetrii zbioru
nazywa się zespół operacji symetrii zbioru
skończonego, gdy\
tworzÄ… one grupÄ™ w sensie
skończonego, gdy\
tworzÄ… one grupÄ™ w sensie
matematycznym.
matematycznym.
10
10
Zasady tworzenia międzynarodowych
symboli krystalograficznych klas symetrii
11
11
Pozycja w symbolu
Układ
krystalograficzny 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1 lub
Trójskośny
2 II Y
Jednoskośny m Ą" Y
2 II Y
2 II Z
2 II X
Rombowy
m Ä„" Y
m Ä„" Z
m Ä„" X
oÅ› symetrii II Z
2 II X lub Y 2 II [110]
Tetragonalny
m Ä„" Z
m Ä„" X lub Y m Ä„" [110]
Heksagonalny
2 II [110]
4
3 II [111]
Regularny 4, , 2 II X, Y, Z
m Ä„" [110]
m Ä„" X, Y, Z
12
12
Układ
Symbol międzynarodowy
krystalograficzny
Trójskośny 1
1
m
Jednoskośny 2/m
2
2 2 2
mm2
Rombowy
Ò! mmm
222
m m m
4
4/m
4
Tetragonalny
42m
4 2 2
Ò! 4/mmm
4mm
m m m
422
13
13
23
2
3
Ò!
4 2
m3
m
3
Regularny Ò!
m3m
m m
43m
432
6
6/m
6
6 2 2
Heksagonalny 6m2
Ò!
6/mmm
6mm
m m m
622
3
3
2 32
Trygonalny
3
Ò! 3m
3m
m
14
14
Grupy graniczne
Grupy graniczne
15
15
Układ regularny
4 2
3
sześć osi dwukrotnych
m m
równoległych do kierunków
[110]
trzy osie 4-krotne równoległe cztery osie trójkrotne
do X, Y, Z do których równoległe do [111]
prostopadłe są płaszczyzny m
16
16
Grupa 2/m zawiera elementy symetrii:
Grupa 2/m zawiera elementy symetrii:
" oś 2 równoległą do Y czyli 2[010]
" oś 2 równoległą do Y czyli 2[010]
" m prostopadłą do Y czyli m (010)
" m prostopadłą do Y czyli m (010)
" środek symetrii oraz operację
" środek symetrii oraz operację
to\
samościową E
to\
samościową E
17
17
Tabela mno\
enia grupowego
Tabela mno\
enia grupowego
2[010] m[010] i E
2[010] E i m[010] 2[010]
m[010] i E 2[010] m[010]
i m[010] 2[010] E i
E 2[010] m[010] i E
18
18
Symbole Schoenfliesa grup punktowych
Symbole Schoenfliesa grup punktowych
19
19
Cn  jedna n-krotna oÅ› symetrii
Cn  jedna n-krotna oÅ› symetrii
Cn C1 C2 C3 C4 C6
X 1 2 3 4 6
20
20
Ci - grupy punktowe z osiÄ… inwersyjnÄ…
Ci - grupy punktowe z osiÄ… inwersyjnÄ…
Ci Cs C3i = S6 S4
2 a" m 3
X 1 4
21
21
Cnh - n-krotna oś symetrii i prostopadła do niej
Cnh - n-krotna oś symetrii i prostopadła do niej
płaszczyzna symetrii
płaszczyzna symetrii
Cnh C2h C3h C4h C6h
X/m 2/m 4/m 6/m
3/ m a" 6
22
22
Cnv - n-krotna oś symetrii i n płaszczyzn symetrii do niej
Cnv - n-krotna oś symetrii i n płaszczyzn symetrii do niej
równoległych
równoległych
Cnv C2v C3v C4v C6v
Xm mm2 3m 4mm 6mm
23
23
Dn - n-krotna oÅ› symetrii i n osi dwukrotnych
Dn - n-krotna oÅ› symetrii i n osi dwukrotnych
prostopadłych do niej
prostopadłych do niej
Dn D2 D3 D4 D6
X2 222 32 422 622
24
24
Dnh - n-krotna oś symetrii i płaszczyzna do niej
prostopadła oraz n płaszczyzn do niej równoległych
Dnh D2h D3h D4h D6h
X/mm mmm 4/mmm 6/mmm
3 / mm a" 6m2
25
25
Dnd  trzy prostopadłe do siebie osie 2-krotne i
Dnd  trzy prostopadłe do siebie osie 2-krotne i
przekątne płaszczyzny symetrii
przekątne płaszczyzny symetrii
Dnd D2d D3d
42m
Xm 3m
26
26
T - grupy tetraedru i O  oktaedru
T Th O Td Oh
23 432
m3
43m
m3m
27
27