DODATEK 2
Pole elektryczne między dwoma równoległymi nieskończenie wielkimi płaszczy-
znami z równomiernie rozłożonym na ich powierzchniach ładunkiem powierzch-
niowym różnoimiennym
W przypadku dwóch równoległych nieskończenie wielkich równoległych i równoodległych
płaszczyzn (1) i (2) równomiernie naładowanych różnoimiennym ładunkiem powierzchnio-
wym +qs i -qs (|+qs| = |-qs| oraz |qs| = const) natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ lub
różnicÄ™ potencjałów U = "Õ wyznacza siÄ™ przez  naÅ‚ożenie wyników rozważaÅ„ w DODAT-
KU 1. Wobec faktu, że płaszczyzny są naładowane ładunkiem powierzchniowym równym
pod względem wartości bezwzględnej, lecz przeciwnego znaku, łatwo można zauważyć  rys.
D2.1, że pole elektryczne E między płaszczyznami jest sumą pól E1 i E2 od ładunków ich obu,
natomiast na zewnątrz pole wypadkowe jest różnicą pól od obu płaszczyzn. Ponieważ na obu
płaszczyznach jest taki sam ładunek powierzchniowy natężenie pola elektrycznego między
płaszczyznami jest dwukrotnie większe od natężeń pól obu płaszczyzn. Stąd wynika także, że
na zewnątrz układu płaszczyzn nie ma pola elektrycznego E = 0.
z
y
1 2
E 0
E 0 E 0
90°
E1 E1 E1
x
0
E2 E2 E2
1 2
qs qs
d
Rys. D2.1. Nieskończenie wielkie płaszczyzny równomiernie naładowane
ładunkiem powierzchniowym różnoimiennym i ich pole elektryczne
Wektory natężenia pola elektrycznego E1 i E2 są wszędzie na powierzchniach obu płasz-
czyzn prostopadle do nich. Ze względu na znak ładunków powierzchniowych zwroty wekto-
rów E1 i E2 są takie, jak pokazano na rys. D2.1. Wobec powyższych rozważań jest
qs qs
E1 = i E2 = - . (D2.1)
2µµ0 2µµ0
Na zewnątrz obu płaszczyzn (1) i (2), czyli dla x < 0 i x > d, wektory natężenia pola elek-
trycznego E1 i E2 majÄ… przeciwne zwroty i ich suma wynosi
E1 = -E2 i E = E1 + E2 = 0 . (D2.2)
Stąd wartość natężenia pola elektrycznego E = 0. Natomiast między płaszczyznami (0 < x <
d) zwroty obu wektorów są zgodne i ich suma jest różna od zera
E1 = E2 i E = E1 + E2 `" 0 , (D2.3)
a wartość natężenia pola elektrycznego między płaszczyznami, która wynosi
qs qs qs
E = E1 + E2 = + = (D2.4)
2µµ0 2µµ0 µµ0
i jest wszędzie stała  E = const.
PotencjaÅ‚ Õ w polu elektrycznym miÄ™dzy dwoma pÅ‚aszczyznami (0 < x < d) jest caÅ‚kÄ… z na-
tężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D2.4) i wynosi
qs qs
Õ = - dx = - dx = - x + C
(D2.5)
+"E +"
2µµ0 2µµ0
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością od płaszczyzny z dodatnim ła-
dunkiem powierzchniowym w kierunku płaszczyzny z ładunkiem ujemnym i oba potencjały
muszą być sobie równe pod względem wartości bezwzględnej, ale przeciwnego znaku, co jest
w pełni uzasadnione fizycznie. Warunek brzegowy jest zatem następujący
Õ = 0 dla x = 0,5d , (D2.6)
dla którego potencjały płaszczyzn (1) i (2) według wzoru (D2.5) wynoszą
qs qs
Õ1 = d dla x = 0 i Õ2 = - d dla x = 0,5d
. (D2.7)
4µµ0 4µµ0
Różnica potencjałów U = Õ1 - Õ2 dla obu pÅ‚aszczyzn odlegÅ‚ych od siebie o d wynosi
0 d
qs qs d qs
U = Õ1 -Õ2 = - E dx = dx = x = d
(D2.8)
+" +"µµ µµ0 µµ0 .
0
0
d 0
Ze wzorów (D2.5) i (D2.7) oraz warunku Õ1 = -Õ2 wynika liniowe zmniejszanie siÄ™ poten-
cjału z odległością od równomiernie i dodatnio (qs > 0) naładowanej nieskończenie wielkiej
płaszczyzny w kierunku drugiej ujemnie (qs < 0) naładowanej płaszczyzny.
Potencjały na zewnątrz układu płaszczyzn dla x < 0 i x > d są stałe. Ich wartości wynoszą
qs qs
Õ1 = d dla x < 0 i Õ2 = - d dla x > d
, (D2.9)
4µµ0 4µµ0
ponieważ natężenie pola elektrycznego E w tych przedziałach jest równe zero  E = 0.
Na rys. D2.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ w
funkcji odległości x.
E
1
x
0 d
2
Rys. D2.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ wewnÄ…trz i na
zewnątrz dwóch nieskończenie wielkich płaszczyzn równoległych
 2