DODATEK 4
Pole elektryczne powierzchni kuli z równomiernie rozłożonym na jej powierzchni
Å‚adunkiem powierzchniowym
Powierzchnia kuli (sfera) o promieniu R jest równomiernie naładowana ładunkiem po-
wierzchniowym o stałej gęstości +qs = const. Całkowity ładunek Q na powierzchni kuli wy-
nosi Q = qs S = qs 4ĄR2. Pole elektryczne jest radialne o symetrii centralnej i wektory natęże-
nia pola elektrycznego E na całej powierzchni są prostopadłe do niej, co ilustruje rys. D4.1.
Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ sÄ… funkcjami tylko jednej zmiennej r  promie-
nia, czyli odległości od środka sfery. W rezultacie linie sił pola elektrycznego są również pro-
stopadłe do powierzchni Gaussa SG o promieniu r, a wektory natężenia pola E są wszędzie
jednakowe, czyli wartość natężenia pola elektrycznego jest stała E = En = const. Strumień
wektora natężenia pola elektrycznego Ś przez pole zamkniętej powierzchni Gaussa SG o
promieniu r (r > R) zależy wprost proporcjonalnie do tej powierzchni.
SG
SG
Q V
E
E
qs SS r
r
qv
G
90°
r
O
O
Q
E
R
R
Rys. D4.1. Powierzchnia kuli z równomiernie rozmieszczonym
na niej Å‚adunkiem powierzchniowym i jej pole elektryczne
Powierzchnia Gaussa wynosi
SG = 4Ä„r2 , (D4.1)
gdzie r jest promieniem sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z naładowaną ła-
dunkiem powierzchniowym qs powierzchniÄ… kuli o promieniu R.
Na zewnątrz powierzchni kulistej (r > R) strumień Ś wektora natężenia pola E przez po-
wierzchniÄ™ Gaussa SG wynosi
SG
Åš = EdS = EdS =E dS = ESG = E Å"4Ä„r2 . (D4.2)
+"
+" +"
SG SG 0
Z definicji strumień ten jest równy
Q qsS qs
Åš = = = 4Ä„R2 , (D4.3)
µµ0 µµ0 µµ0
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem rozłożonym równomiernie na powierzchni kuli.
Porównując wzory (D4.2) i (D4.3) otrzymuje się wzór na natężenie pola elektrycznego na
zewnÄ…trz kuli
Q 1 qs R2
E = = . (D4.4)
4Ä„µµ0 r2 µµ0 r2
Na powierzchni kuli r = R natężenie pola elektrycznego wynosi
Q 1 qs
E = = , (D4.5)
4Ä„µµ0 R2 µµ0
czyli jest równe natężeniu pola między dwoma nieskończenie wielkimi płaszczyznami rów-
nomiernie naładowanymi ładunkiem powierzchniowym  wzór (D2.4)
Ponieważ
dÕ
E = -gradÕ i E = - , (D4.6)
dr
zatem potencjaÅ‚ Õ w polu elektrycznym Å‚adunku powierzchniowego qs dla r > R jest caÅ‚kÄ… z
natężenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D4.4) i wynosi
qs R2 qs 1 qs R2
Õ = - Edr = - dr = - R2 dr = + C (D4.7)
+" +" +"
µµ0 r2 µµ0 r2 µµ0 r
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością. Jeśli się przyjmie, że potencjał
w nieskończoności jest równy zero, to warunek brzegowy jest następujący
Õ = 0 dla r = " i C = 0 , (D4.8)
a zatem wzór (D4.7) przyjmuje postać
qs R2
Õ =
(D4.9a)
µµ0 r
albo
Q 1
Õ =
. (D4.9b)
4Ä„µµ0 r
Wzór (D4.9b) pokazuje, że potencjał na zewnątrz powierzchni kuli od ładunku powierzch-
niowego qs jest taki sam jak potencjał równoważnego ładunku punktowego Q = qs S umiesz-
czonego w środku kuli O i rozpatrywanego dla warunku r > R.
Wewnątrz powierzchni kulistej (r < R) nie ma żadnego ładunku. Strumień Ś wektora natę-
żenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wewnątrz kuli na podstawie wzoru (D4.2) wynosi
SG
Åš = EdS = EdS =E dS = ESG = E Å"4Ä„r2 . (D4.10)
+"
+" +"
SG SG 0
Natomiast ze względu na brak ładunku wewnątrz kuli i według wzoru (D4.3) strumień wekto-
ra natężenia pola elektrycznego wynosi
Q qsSG
Åš = = = 0 . (D4.11)
µµ0 µµ0
Z porównania wzorów (D4.10) i (D4.11) wynika, że wewnątrz kuli naładowanej ładunkiem
powierzchniowym qs nie ma pola elektrycznego i E = 0, bez względu na to, czy ładunek na
powierzchni jest rozmieszczony równomiernie, czy nie. Jest to odwzorowanie sytuacji z peł-
nym przewodnikiem wprowadzonym w zewnętrzne pole elektryczne (patrz:  Przewodniki w
polu elektrycznym ).
W związku z powyższym potencjał wewnątrz kuli musi być wszędzie stały, czyli jej wnę-
trze jest ekwipotencjalne. Jest tak, ponieważ
 2 
dÕ
E = - = 0 (D4.12)
dr
i
Q qs
Õ = = R = const . (D4.13)
4Ä„µµ0R µµ0
Na rys. D4.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ w
funkcji odległości r dla wnętrza i zewnętrza równomiernie naładowanej ładunkiem po-
wierzchniowym qs powierzchni kuli  sfery. Na powierzchni kuli natężenie pola zmienia się
skokowo od 0 do wartoÅ›ci qs/µµ0 i warunek ciÄ…gÅ‚oÅ›ci nie jest speÅ‚niony dla r = R.
E
0 r
R
Rys. D4.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ w funkcji odlegÅ‚oÅ›ci r
od środka równomiernie naładowanej ładunkiem powierzchniowym sfery
 3