DODATEK 6
Pole elektryczne nieskończenie długiego walca z równomiernie rozłożonym w nim
ładunkiem objętościowym
Nieskończenie długi walec o promieniu R jest równomiernie naładowany ładunkiem objęto-
ściowym o stałej gęstości +qv = const. Całkowity ładunek Q walca wynosi Q = qv V = ". Pole
elektryczne jest symetryczne, radialne i wektory natężenia pola elektrycznego E na całej po-
wierzchni są prostopadłe do niej, co ilustruje rys. D6.1. Linie sił pola elektrycznego są rów-
nież prostopadle do pobocznicy walca, gdyż na podstawach nie istnieją składowe normalne
wektora natężenia pola elektrycznego E = En = 0. Natężenie pola elektrycznego E i potencjał
Õ sÄ… funkcjami tylko jednej zmiennej r  promienia, czyli odlegÅ‚oÅ›ci od osi walca. StrumieÅ„
wektora natężenia pola Ś wyznacza się przez powierzchnię Gaussa SG o długości l i promie-
niu r, zarówno wewnątrz (r < R), jak i na zewnątrz walca (r > R), gdzie wektory natężenia po-
la E na danej powierzchni są wszędzie jednakowe, czyli wartość natężenia pola elektrycznego
jest stała E = En = const.
Rys. D6.1. Nieskończenie długi walec z równomiernie rozmieszczonym ładunkiem objętościowym
Powierzchnia Gaussa wynosi
SG = 2Ä„rl , (D6.1)
gdzie r jest promieniem sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z walcem o promie-
niu R naładowanym ładunkiem objętościowym qv.
Całkowity ładunek Q zawarty w objętości V strefy o długości l jest równy
Q = qvV = qvĄR2l . (D6.2)
Na zewnątrz powierzchni walca (r > R) strumień Ś wektora natężenia pola E przez po-
wierzchniÄ™ Gaussa SG wynosi
SG
Åš = E dS = E dS = E dS = E SG = E 2Ä„rl . (D6.3)
+"
+" +"
SG SG 0
Z definicji strumień ten jest także równy
Q qvV qv
Åš = = = Ä„R2l , (D6.4)
µµ0 µµ0 µµ0
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem rozłożonym równomiernie w wydzielonej objętości V
walca.
Porównując wzory (D6.3) i (D6.4) otrzymuje się wzór na natężenie pola elektrycznego na
zewnÄ…trz walca
Q qv R2
E = = . (D6.5)
2Ä„µµ0rl 2µµ0 r
Na powierzchni walca r = R natężenie pola elektrycznego jest
Q qv
E = = R . (D6.6)
2Ä„µµ0Rl 2µµ0
Ponieważ
dÕ
E = -gradÕ i E = - , (D6.7)
dr
zatem potencjaÅ‚ Õ w polu elektrycznym Å‚adunku objÄ™toÅ›ciowego qv dla r > R jest caÅ‚kÄ… z natÄ™-
żenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D6.5) i jest opisany wzorem
qvR2 dr qvR2
Õ = - E dr = - = - ln r + C1 (D6.8)
+" +"
2µµ0 r 2µµ0
z dokładnością do stałej całkowania C1. Stałą całkowania można wyznaczyć z warunku cią-
głości potencjału na powierzchni granicznej walca, czyli przy przejściu z wnętrza do zewnę-
trza walca.
Wewnątrz powierzchni walca (r < R) ładunek Q* jest częścią całkowitego ładunku w stre-
fie o długości l i objętości V. A
adunek ten wynosi
Ä„r2l r2
Q* = Q = Q . (D6.9)
Ä„R2l R2
Strumień wektora natężenia pola elektrycznego Ś wynosi
SG
Åš = E dS = E dS = E dS = E SG = E 2Ä„rl (D6.10a)
+"
+" +"
SG SG 0
i
Q * Q r2
Åš = = . (D6.10b)
µµ0 µµ0 R2
Stąd wynika, że wewnątrz walca natężenie pola elektrycznego E jest opisane wzorem
Q r qv
E = = r (D6.11)
2Ä„µµ0l R2 2µµ0
PotencjaÅ‚ Õ wewnÄ…trz walca zmienia siÄ™ zgodnie ze wzorem
qv qv
Õ = - E dr = - r dr = - r2 + C2 . (D6.12)
+" +"
2µµ0 4µµ0
Stałą całkowania C2 wyznacza się z warunku brzegowego
Õ = 0 dla r = 0 i C2 = 0 , (D6.13)
ponieważ dla r = 0 jest Q* = 0  wzór (D6.9) i nie może tam istnieć potencjał.
PotencjaÅ‚ Õ wewnÄ…trz walca jest zatem wyrażony wzorem
 2 
qv
Õ = - r2 . (D6.14)
4µµ0
Aby wyznaczyć stałą całkowania C1, porównuje się wzory (D6.8) i (D6.14) dla r = R
qvR2 qv
- ln R + C1 = - R2 (D6.15)
2µµ0 4µµ0
skÄ…d
qvR2 qv
C1 = ln R - R2 . (D6.16)
2µµ0 4µµ0
Podstawiając C1 z wzoru (D6.16) do (D6.8) otrzymuje się wyrażenie na potencjał na zewnątrz
walca
qvR2 R qv
Õ = ln - R2 . (D6.17)
2µµ0 r 4µµ0
Na rys. D6.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ w
funkcji odległości r dla wnętrza i zewnętrza równomiernie naładowanego ładunkiem objęto-
ściowym qv walca.
Rys. D6.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ w funkcji odlegÅ‚oÅ›ci r
od osi walca równomiernie naładowanego ładunkiem objętościowym
Można pokazać, że ten sam wynik otrzymuje się rozwiązując łącznie równania Poissona
"2Õ = qv/µµ0 i Laplace a "2Õ = 0. Z symetrii radialnej rozkÅ‚adu pola elektrycznego i symetrii
osiowej rozkÅ‚adu Å‚adunku przestrzennego wynika osiowa symetria potencjaÅ‚u: Õ = Õ (r).
Przyjmuje się oś z wzdłuż osi walca i oś r prostopadle do osi i tworzącej walca. Oś r w pro-
stokątnym układzie współrzędnych jest równoważna osiom x i y. Dlatego stosuje się w roz-
wiązaniu tego zagadnienia układ współrzędnych walcowych.
W tym układzie operator Laplace a ma postać
"2Õ 1 "Õ 1 "2Õ "2Õ 1 " "Õ 1 "2Õ "2Õ
ëÅ‚ öÅ‚
"2Õ = " = + + + = r + + . (D6.18)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
"r2 r "r r2 "Ä… "z2 r "r "r r2 "Ä… "z2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ potencjaÅ‚ Õ jest funkcjÄ… tylko promienia r, zatem wyrażenie (D6.18) upraszcza siÄ™
do postaci
 3 
1 d dÕ
ëÅ‚ öÅ‚
"2Õ = " = r . (D6.19)
ìÅ‚ ÷Å‚
r dr dr
íÅ‚ Å‚Å‚
Zgodnie z wzorem (D6.19) oba równania Poissona  wzór (2.43) i Laplace a  wzór
(2.44) przyjmują postać
1 d dÕw qv
ëÅ‚ öÅ‚
r =
ìÅ‚ ÷Å‚ - dla 0 < r < R,
r dr dr µµ0
íÅ‚ Å‚Å‚
(D6.20)
1 d dÕz
ëÅ‚ öÅ‚
r = 0 dla r > R,
ìÅ‚ ÷Å‚
r dr dr
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie indeksy w i z oznaczają  wewnątrz i  zewnątrz walca. Podwójne całkowanie daje
rozwiązanie ogólne
qv
Õw = - r2 + A1 ln r + B1,
4µµ0 (D6.21)
Õz = A2 ln r + B2.
Z warunku ciągłości potencjału na granicy obu stref, czyli wnętrza i zewnętrza walca oraz że
potencjał wszędzie powinien mieć skończoną wartość wynika, że przy r 0 lnr -", co
nie ma sensu fizycznego. W osi walca (r = 0) potencjaÅ‚ Õ musi być równy zero (warunek
brzegowy), bo wobec stałości gęstości ładunku objętościowego qv = const w nieskończenie
długiej osi nie ma żadnego ładunku Q*, zatem należy przyjąć, że współczynnik A1 = 0, co na-
tychmiast daje również warunek, że B1 = 0.
Warunki ciągłości potencjału i jego pierwszej pochodnej na granicy stref (r = R) dają dwa
niezależne równania z dwoma niewiadomymi A2 i B2, stanowiące kolejne warunki brzegowe,
tzw. warunki Dirichleta i Neumanna. Według wzorów (D6.20) otrzymuje się dwa równania
qv
- R2 = A2 ln R + B2,
4µµ0
(D6.22)
qv A2
- R = .
2µµ0 R
Rozwiązując układ równań (D6.22) otrzymuje się następujące postaci końcowe potencjałów
wewnÄ…trz i na zewnÄ…trz walca
qv
Õw = - r2, dla 0 < r < R,
4µµ0
(D6.23)
qv R qv
Õz = R2 ln - R2 dla r > R,
2µµ0 r 4µµ0
które są tożsame z otrzymanymi z prawa Gaussa  wzory (D6.14) i (D6.17).
Różniczkując potencjały w (D6.23) otrzymuje się wyrażenia dla natężeń pola elektryczne-
go wewnątrz i na zewnątrz walca z równomiernie rozmieszczonym w nim ładunkiem objęto-
ściowym qv
qv
Ew = r, dla 0 < r < R,
2µµ0
(D6.24)
qv R2
Ez = dla r > R.
2µµ0 r
PorównujÄ…c oba sposoby wyznaczania natężenia pole elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ dla
nieskończenie długiego równomiernie naładowanego ładunkiem objętościowym qv należy
stwierdzić, że uzyskanie wzorów na potencjał wewnątrz i na zewnątrz wymaga dobrej znajo-
 4 
mości zarówno fizyki zjawiska, jak i obu warunków brzegowych. Natomiast zastosowanie
prawa Gaussa sprowadza się w zasadzie do prawidłowego wyznaczenia stałej całkowania C1
we wzorze (D6.8) na podstawie stałej całkowania C2, którą wyznacza się względnie łatwo z
warunku zerowania się potencjału w osi walca, co jest faktem oczywistym.
W rozwiązywaniu zagadnień związanych z obliczaniem pól elektrycznych dla różnych
rozkładów ładunków wybór sposobu jest istotnym elementem decyzyjnym, który wymaga
dobrej znajomości danego zjawiska i wprawy w stosowaniu odpowiedniego aparatu matema-
tycznego. W wielu przypadkach stosowanie prawa Gaussa jest łatwiejsze niż rozwiązywanie
równań Poissona i Laplace a, raczej  zarezerwowane dla osób bardzo wprawnych.
 5