DODATEK 5
Pole elektryczne wewnątrz i na zewnątrz kuli z równomiernie rozłożonym w jej
wnętrzu ładunkiem objętościowym
Kula o promieniu R jest równomiernie naładowana ładunkiem objętościowym o stałej gęsto-
ści +qv = const. Całkowity ładunek Q kuli wynosi Q = qv V = qv 4/3ĄR3. Pole elektryczne jest
radialne o symetrii centralnej i wektory natężenia pola elektrycznego E na całej powierzchni
kuli są prostopadłe do niej, a tym samym do powierzchni Gaussa SG, zarówno wewnątrz, jak i
na zewnÄ…trz kuli, co ilustruje rys. D5.1. Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ sÄ… funk-
cjami tylko jednej zmiennej r  promienia, czyli odległości od środka kuli. Linie sił pola elek-
trycznego są prostopadłe do obu powierzchni Gaussa SG o promieniu r, a wektory natężenia
pola E są wszędzie jednakowe, czyli wartość natężenia pola elektrycznego jest stała E = En =
const. Strumień wektora natężenia pola elektrycznego Ś przez pola obu zamkniętych po-
wierzchni Gaussa SG o promieniu r (r < R i r > R) zależy od tych powierzchni.
SG
Q V
E
SG r
qv
90°
r
O
E
R
Rys. D5.1. Kula z równomiernie rozmieszczonym w niej
ładunkiem objętościowym i jej pole elektryczne
Powierzchnia Gaussa ogólnie dla obu przypadków wynosi
SG = 4Ä„r2 , (D5.1)
gdzie r jest promieniem sferycznej powierzchni Gaussa współśrodkowej z naładowaną ła-
dunkiem objętościowym qv kulą o promieniu R.
Na zewnątrz powierzchni kulistej (r > R) strumień Ś wektora natężenia pola E przez po-
wierzchniÄ™ Gaussa SG wynosi
SG
Åš = EdS = EdS =E dS = ESG = E Å"4Ä„r2 . (D5.2)
+"
+" +"
SG SG 0
Z definicji strumień ten jest równy
Q qvV qv 4
Åš = = = Ä„R3 , (D5.3)
µµ0 µµ0 µµ0 3
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem rozłożonym równomiernie wewnątrz kuli.
Porównując wzory (D5.2) i (D5.3) otrzymuje się wzór na natężenie pola elektrycznego na
zewnÄ…trz kuli
Q 1 qv R3
E = = . (D5.4)
4Ä„µµ0 r2 3µµ0 r2
 1 
Na powierzchni kuli r = R natężenie pola elektrycznego wynosi
Q 1 qv
E = = R . (D5.5)
4Ä„µµ0 R2 µµ0
Ponieważ
dÕ
E = -gradÕ i E = - , (D5.6)
dr
zatem potencjaÅ‚ Õ w polu elektrycznym Å‚adunku objÄ™toÅ›ciowego qv dla r > R jest caÅ‚kÄ… z natÄ™-
żenia pola elektrycznego wyrażonego wzorem (D5.4) i wynosi
qv R3 qv 1 qv R3
Õ = - Edr = - dr = - R3 dr = + C (D5.7)
+" +" +"
3µµ0 r2 3µµ0 r2 3µµ0 r
z dokładnością do stałej całkowania C i maleje z odległością. Jeśli się przyjmie, że potencjał
w nieskończoności jest równy zero, to warunek brzegowy jest następujący
Õ = 0 dla r = " i C = 0 , (D5.8)
a zatem wzór (D5.7) przyjmuje postać
qv R3
Õ =
(D5.9a)
3µµ0 r
albo
Q 1
Õ =
. (D5.9b)
4Ä„µµ0 r
Wzór (D5.9b) pokazuje, że potencjał na zewnątrz powierzchni kuli od ładunku objętościowe-
go qv jest taki sam jak potencjał równoważnego ładunku punktowego Q = qv V umieszczone-
go w środku kuli O i rozpatrywanego na zewnątrz dla warunku r > R.
Wewnątrz powierzchni kulistej (r < R) ładunek w objętości mniejszej niż całej kuli jest
częścią całkowitego ładunku. Jest mianowicie
Q Q *
qv = = = const
(D5.10)
4 4
Ä„R3 Ä„r3
3 3
i
r3
Q* = Q
. (D5.11)
R3
Strumień Ś wektora natężenia pola E przez powierzchnię Gaussa SG wewnątrz kuli na
podstawie wzoru (D5.2) wynosi
SG
Õ = EdS =E dS = ESG = E Å" 4Ä„r2 . (D5.12)
+"
+"
SG 0
Natomiast według wzoru (D5.11) strumień wektora natężenia pola elektrycznego wynosi
Q * Q r3
Åš = = . (D5.13)
µµ0 µµ0 R3
 2 
Z porównania wzorów (D5.12) i (D5.13) wynika, że wewnątrz kuli naładowanej ładunkiem
objętościowym qv pole elektryczne E zmienia się z liniowo z odległością r od środka O (r = 0)
do powierzchni kuli (r = R).
Natężenie pola elektrycznego wewnątrz kuli wynosi
Q r qv
E = = r . (D5.14)
4Ä„µµ0 R3 3µµ0
W związku z tym potencjał wewnątrz kuli musi się zmieniać z kwadratem odległości r.
Jest tak, ponieważ
dÕ
E = - (D5.15)
dr
i
Q Q qv
Õ = - Edr = - (D5.16)
+" +"rdr = - 8Ä„µµ0R3 r2 = - 6µµ0 r2 .
4µµ0R3
Na rys. D5.2 pokazano przebiegi zmian natężenia pola elektrycznego E i potencjaÅ‚u Õ w
funkcji odległości r dla wnętrza i zewnętrza równomiernie naładowanej ładunkiem po-
wierzchniowym qs powierzchni kuli  sfery. Potencjał na powierzchni kuli zmienia się sko-
kowo od wartoÅ›ci  qvR2/(6µµ0) do wartoÅ›ci qvR2/(3µµ0) i warunek ciÄ…gÅ‚oÅ›ci nie jest speÅ‚niony
dla r = R.
Rys. D5.2. Natężenie pola elektrycznego E i potencjaÅ‚ Õ w funkcji odlegÅ‚oÅ›ci r
od środka równomiernie naładowanej ładunkiem objętościowym kuli
 3