MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH -
WYKA
AD 1
Elżbieta Jarzębowska
Zakład Automatyki i Osprzętu Lotniczego
Program wykładu
1. Wprowadzenie  czym jest modelowanie, modele liniowe, nieliniowe, zlinearyzowane.
1.1. Podstawowe reguły i etapy modelowania.
1.2. Skutki założeń modelowych  przykład  koło sztywne i koło ogumione.
1.3. Skutki linearyzacji modelu nieliniowego  przykład.
Spis zalecanej literatury pomocniczej do wykładu. Przewodnik po literaturze.
2. Klasyfikacje modeli dla układów mechanicznych.
2.1 Modele nieliniowe holonomiczne - przykłady.
2.2 Modele nieliniowe nieholonomiczne  przykłady.
2.2.1 modele kinematyczne
2.2.2 modele dynamiczne.
[Type text] page 1
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
3. Modele nieliniowe holonomiczne.
3.1 Teoria  równania Lagrange a II rodzaju.
3.2 Teoria  kanoniczne równania Hamiltona.
3.3 Zalety i ograniczenia niektórych równań; ciekawostka  dlaczego stosuje się
równania Routha do symulacji ruchu modelu satelity po orbicie.
3.4 Manipulator wieloczłonowy  przykład wykładowy  zbudować model dynamiki.
Projekt domowy - samodzielne zbudowanie modelu dynamiki dla zadanego przykładu,
wykonanie symulacji numerycznej, animacji ruchu.
Pracochłonność projektu domowego  10 godzin.
4. Modele nieliniowe nieholonomiczne.
4.1 Kinematyczne i dynamiczne modele układów nieholonomicznych.
4.2 Więzy  klasyfikacja więzów w mechanice i nie tylko.
4.3 Teoria  równania Lagrange a z mnożnikami.
4.4 Teoria  równania Maggiego i Kane a.
4.5 Teoria  równania Boltzmanna-Hamela.
4.6 Manipulator wieloczłonowy z więzami geometrycznymi  przykład wykładowy 
zbudować model dynamiki.
4.7 Pojazd kołowy - przykład wykładowy  zbudować model dynamiki.
4.8 Model układu biomechanicznego - przykład wykładowy  zbudować model
kinematyki skoczka z trampoliny i model dynamiki robaka z Å‚uskÄ….
4.9 Model  pojazdu kosmicznego - przykład wykładowy  zbudować model dynamiki.
[Type text] page 2
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Projekt domowy  zbudować, dla zadanego przykładu układu technicznego, nieliniowy
model dynamiki, przeprowadzić symulację ruchu, pokazać animację.
Pracochłonność projektu domowego  10 godzin.
5. Reprezentacja równań więzów w analizie numerycznej modeli nieliniowych.
6. Aspekty numeryczne rozwiązywania równań ruchu układów mechanicznych.
7. Podsumowanie kursu.
Rozdanie projektów domowych końcowych. Pracochłonność projektu domowego  15
godzin.
Cele kształcenia:
1. Przekazanie porcji wiedzy z zakresu metod modelowania nieliniowego układów mechanicznych,
typowych w zastosowaniach inżynierskich. Zakres przewidzianej porcji wiedzy obejmuje modelowanie
układów holonomicznych i nieholonomicznych, na poziomie kinematyki i dynamiki.
2. Pokazanie, poprzez strukturę wykładu i dobór przykładów, zakresu zastosowań różnych metod
modelowania i sposobu podejścia do budowy i analizy różnych modeli nieliniowych.
3. Pokazanie słuchaczom i nauczenie ich  sposobu podejścia do modelowania, który będą mogli
wykorzystać w pracy praktycznej jako inżynierowie i w pracy naukowej.
4. Wykład nie jest wykładem z mechaniki analitycznej mimo, że metody mechaniki analitycznej będą
wprowadzane i wykorzystywane w modelowaniu.
5. Pokazanie, że modelowanie jest pewną sztuką opartą jednak na racjonalnych regułach.
[Type text] page 3
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
WARUNKI ZALICZENIA: zadania domowe i projekt końcowy.
Zalecana literatura (możliwa do zdobycia, bez literatury o znaczeniu historycznym):
1. Bloch, A.M. 2003. Nonholonomic mechanics and control, New York: Springer-Verlag.
2. Brockett, R.W. 1983. Asymptotic stability and feedback stabilization. In Differential
geometric control theory, ed. R.W. Brockett, R.S. Millman and H.J. Sussmann, Boston, MA:
Birkhauser.
3. Chaplygin, S.A. 1897. About a motion of a heavy body on a horizontal plane. In Izbrannye
trudy klassiki nauki, 363-375. Moscow: Nauka (in Russian).
4. de Jalon, J.G. and E. Bayo. 1994. Kinematic and dynamic simulation of multibody systems.
Mech. Eng. Series. Berlin: Springer-Verlag.
5. Dobronravov, V.V. 1970. Foundations of mechanics of non-holonomic systems. Moscow:
Vyschaja Shkola (in Russian).
6. Galiulin, A.C. 1971. Design of systems for programmed motion. Moscow: Nauka (in
Russian).
[Type text] page 4
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
7. Gutowski, R. 1971. Analytical mechanics, Warsaw: PWN (in Polish) lub Mechanika
analityczna.
8. Jarzębowska, E. and N. H. McClamroch. 2000. On nonlinear control of the Ishlinsky
problem as an example of a nonholonomic non-Chaplygin system. In Proc. Am. Control
Conf. 3249-3253. Chicago, IL.
9. Jarzębowska, E. 2002. On derivation of motion equations for systems with nonholonomic
high-order program constraints. Multibody System Dynamics 7(3):307-329.
10. Jarzębowska, E. 2005. Dynamics modeling of nonholonomic mechanical systems: theory
and applications. Nonlinear Analysis 63 (5-7):185-197.
11. Jarzębowska, E. 2006. Control oriented dynamic formulation of robotic systems with
program constraints. Robotica 24(1):61-73.
12. Jarzębowska, E. and R. Lewandowski. 2006. Modeling and control design using the
Boltzmann-Hamel equations: a roller-racer example. In Proc. 8th IFAC Symposium on Robot
Control, SYROCO.
13. Jarzębowska, E. 2007. Stabilizability and motion tracking conditions for nonholonomic
control systems. Mathematical Problems in Engineering. Hindawi Publishing Corp.
[Type text] page 5
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
14. Kamman, J.W. and R. L. Huston 1984. Dynamics of constrained multibody systems. J.
Appl. Mech. 51:899-903.
15. Kane, T.R. and D. L. Levinson. 1985. Dynamics - theory and applications. McGraw Hill.
16. Kane, T.R. and D. L. Levinson. 1996. The Use of Kane s Dynamical Equations in
Robotics. Int. J. Robot. Res. 2(3):3-21.
17. Korieniev G.V. 1964. Introduction to mechanics of a controllable body. Moscow: Nauka, (in
Russian).
18. Kwatny, H.G. and G.L. Blankenship. 2000. Nonlinear control and analytical mechanics, a
computational approach. Boston: Birkhauser.
19. Lancos, C. 1986. The variational principles of mechanics. 4th ed. New York: Dover Publ.
20. Layton, R.A. 1998. Principles of analytical system dynamics. New York: Springer-Verlag.
21. Lewis, A.D., J.P. Ostrowski, R.M. Murray and J. Burdick. 1994. Nonholonomic
mechanics and locomotion: The snakeboard example. In IEEE Int. Conf. Robot. Automat.,
2391-2400.
[Type text] page 6
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
22. Lewis, F.L., C. T. Abdallah and D. M. Dawson. 1996. Control of robot manipulators. New
York: Macmillan Publ. Comp.
23. Marsden, J.E. and T.S. Ratiu 1992. An introduction to mechanics and symmetry. Texts in
Appl. Math. 17, Springer-Verlag.
24. Moon, F.C. 1998. Applied dynamics. John Wiley & Sons Inc.
25. Murray, R.M., Z.X. Li, and S.S. Sastry. 1994. A mathematical introduction to robotic
manipulation. Boca Raton, Florida: CRC Press.
26. Nejmark, J.I. and N.A. Fufaev. 1972. Dynamics of nonholonomic systems. Providence,
Rhode Island: Am. Math. Society.
27. Nielsen, J. 1935. Vorlesungen uber elementare mechanik. Berlin: Verlag von J. Springer.
28. Nijmeijer, H. and A. van der Schaft. 1990. Nonlinear dynamical control systems. New
York: Springer-Verlag.
29. Papastavridis, J.G. 2002. Analytical mechanics, a comprehensive treatise on the dynamics
of constrained systems; for engineers, physicians, and mathematicians. New York: Oxford
University Press.
[Type text] page 7
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
30. Pars, L.A. 1965. Treatise of analytical dynamics. London: W. Heinemann, Ltd.
31. Slotine, J.J. and W. Li. 1991. Applied nonlinear control. New Jersey: Prentice Hall,
Englewood Cliffs.
32. Sontag, E.D. 1990. Mathematical control theory. New York: Springer.
33. Spong, M.W. and M. Vidyasagar. 1989. Robot control and dynamics. New York: Wiley.
34. Udwadia, F. and R. Kalaba. 1996. Analytical dynamics - a new approach. New York:
Cambridge Univ. Press.
35. Yun, X. and N. Sarkar. 1998. Unified formulation of robotic systems with holonomic and
nonholonomic constraints. IEEE Trans. Robot. Automat., 14(4):640-650.
[Type text] page 8
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
1. Wprowadzenie:
MODELE UKA
ADÓW
MECHANICZNYCH
Modele
linearyzacja
Modele liniowe
nieliniowe
Modele
Modele
nieholonomiczne
holonomiczne
(pojazdy kołowe,
(roboty, manipulatory)
kosmiczne)
Modele Modele
dynamiczne dynamiczne
Model Model
Modele
kinematyczne
[Type text] page 9
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Dlaczego interesują nas modele nieliniowe? Przecież modele liniowe
są takie proste, przewidywalne (np. badanie stateczności), tanie pod
wieloma względami i jest dla nich rozwiniętych bardzo wiele
narzędzi badania i opisu.......
[Type text] page 10
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Podstawowe  reguły i etapy modelowania
Modelowanie jest jak uprawianie sportu  im więcej ćwiczysz, tym lepiej ci idzie.....
Modelowanie jest też jak sztuka  wymaga wyczucia, zmysłu obserwacji........
1. Jaki obiekt będzie modelowany? Wyodrębnienie obiektu modelowania.
2. Modelowanie jest procesem celowym  po co budujÄ™ model? Do analizy ruchu? Do
sterowania? Do przeprojektowania? Do......?
3. Cel modelowania determinuje model fizyczny.
4. Budowa modelu fizycznego. Ile wersji modelu budujÄ™?
5. Cel modelowania determinuje model matematyczny (współrzędne, model na poziomie
kinematyki, dynamiki.....)
6. Budowa modelu (modeli) matematycznego.
7. Identyfikacja (mamy modelowanie nieliniowe).
8. Symulacja modelu (badania modelu).
9. Weryfikacja z obiektem rzeczywistym. (Powrót do 3?)
[Type text] page 11
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Skutki linearyzacji modelu nieliniowego  przykład
Założenia: rozważmy przykład z zakresu sterowania i zlinearyzujemy model kinematyczny
monocyklu. Model monocyklu jest prosty, lecz jest kinematycznie ekwiwalentny modelowi
platformy dwukołowej lub dwukołowego pojazdu.
Zobaczmy, co z tego wyniknie........
jð - kÄ…t odchylenia (heading angle) koÅ‚a, mierzony od osi x,
qð - kÄ…t obrotu wÅ‚asnego (roll angle) mierzony of ustalonego odniesienia,
(x,y)  współrzędne punktu kontaktu koła z podłożem.
[Type text] page 12
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Warunek toczenia sztywnego koÅ‚a bez poÅ›lizgu (kinematyka, semestr II Jð)
formułujemy w postaci tzw. więzów materialnych nieholonomicznych o
postaci
x =ð rqð&ðcosjð, y =ð rqð&ðsinjð
&ð &ð
Kinematyczny model sterowania ma postać
Å»(q)= g (q)v + g (q)É,
1 2
czyli
xÅ‚ð éðcosjðÅ‚ð
&ð
éð éð0Å‚ð
Ä™ð Ä™ðsinjð Å›ðv +ð Ä™ð0Å›ðwð
yÅ›ð =ð
&ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
&ðûð ëð
Ä™ð Ä™ð
ëðjðÅ›ð Ä™ð 0 Å›ð ëð1Å›ð
ûð ûð
v  prędkość liniowa koła,
É  prÄ™dkość kÄ…towa koÅ‚a wokół osi pionowej,
dwa wejścia sterujące  dwie prędkości.
[Type text] page 13
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Każdy wie, że monocyklem można jez
dzić  można nim sterować i
dostępna jest cała przestrzeń konfiguracji (zajedziemy wszędzie, choć
nie z  każdą prędkością). Badamy tzw. sterowalność w punkcie
(controllability at a point).
Linearyzacja styczna nieliniowego modelu kinematyki w punkcie qe
(tangent linearization) pozwala uzyskać model liniowy
éðcosjðe Å‚ð éð0Å‚ð
Ä™ð Ä™ð0Å›ðwð
~
&ð
q =ð sinjðe Å›ðv +ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0
Ä™ð Å›ð Ä™ð
ëð ûð ëð1Å›ð
ûð
~
gdzie q =ð q -ðqe.
Powyższy model jest niesterowalny! (Teoria sterowania  kryterium
LARC).
Macierz dystrybucji Dð =ð[ðg1 g2 g3]ð traci rzÄ…d.
[Type text] page 14
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Zobaczmy, że tylko w przypadku ogólnym, macierz dystrybucji zbudowana
z wektorów g , g i ich nawiasu Liegu, dla
1 2
xÅ‚ð éðcosjðÅ‚ð
&ð
éð éð0Å‚ð
Ä™ð Ä™ðsinjð Å›ðv +ð Ä™ð0Å›ðwð
yÅ›ð =ð
&ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
&ðûð ëð
Ä™ð Ä™ð
ëðjðÅ›ð Ä™ð 0 Å›ð ëð1Å›ð
ûð ûð
g g
1 2
ma pełny rząd.
sinjð
éð Å‚ð
Å›ðg2 Å›ðg1
Ä™ð Å›ð
RzeczywiÅ›cie: g3 =ð[ðg1 g2]ð=ð g1 -ð g2 =ð
Ä™ð-ðcosjðÅ›ð
Å›ðq Å›ðq
0
Ä™ð Å›ð
ëð ûð
Wtedy LARC jest spełnione globalnie( w każdym q ), ponieważ
e
Dð =ð[ðg1 g2 g3]ð i rank [g1 g2 [g1, g2] ] = 3 = n.
[Type text] page 15
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
WNIOSKI:
1. Model uproszczony jest niesterowalny!
2. Aby zaprojektować sterowanie, trzeba korzystać z modelu
nieliniowego i narzędzi sterowania nieliniowego (żaden algorytm
sterowania liniowego nie jest tu do zastosowania!!).
3. Do innych celów, model zlinearyzowany może byłby dobry.....czyli nie
zawsze można, ot po prostu...., zlinearyzować.....
[Type text] page 16
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Skutki założeń modelowych  przykład  koło sztywne i koło
ogumione
Wez
my koło sztywne z poprzedniego przykładu
i dodatkowe warunki, które są konsekwencją założenia sztywności koła i
toczenia bez poÅ›lizgu, czyli x =ð rqð&ðcosjð, y =ð rqð&ðsinjð . To zaÅ‚ożenie czyni
&ð &ð
model układu nieholonomicznym.
W dalszej części wykładu zobaczymy, jak zbudować model matematyczny
dla układu nieholonomicznego.
[Type text] page 17
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Teraz załóżmy, że koło jest ogumione i wygląda, jak na rys. poniżej.
(wg. Tire modeling and friction estimation, J. Svendenius, Lund University, Dept. Of Automatic
Control, 2007)
Wyznaczenie F , F , momentów sił jest opisane wg. wielu teorii, np. przez tzw.
x y
magic formula Pacejki. Nie ma już równań więzów nieholonomicznych, jak w
poprzednim modelu.
Koło ogumione jest holonomiczne!
[Type text] page 18
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Prosty przykład wyboru współrzędnych do modelu matematycznego
zdeterminowanych sposobem napędzania manipulatora
Wybierz współrzędnie, gdy:
- dwuczłonowy manipulator napędzany jest jednym silnikiem z podstawy,
- dwuczłonowy manipulator napędzany jest silnikami umieszczonymi w
przegubach
[Type text] page 19
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
Spis zalecanej literatury do wykładu 1:
1. Bloch, A.M. 2003. Nonholonomic mechanics and control, New York: Springer-Verlag.
2. de Jalon, J.G. and E. Bayo. 1994. Kinematic and dynamic simulation of multibody
systems. Mech. Eng. Series. Berlin: Springer-Verlag.
3. Dobronravov, V.V. 1970. Foundations of mechanics of non-holonomic systems. Moscow:
Vyschaja Shkola (in Russian).
4. Gutowski, R. 1971. Analytical mechanics, Warsaw: PWN (in Polish) lub Mechanika
analityczna.
5. Jarzębowska, E. Mechanika analitczna, skrypt PW, oficyna wydawnicza PW, 2003.
6. Jarzębowska, E. and R. Lewandowski. 2006. Modeling and control design using the
Boltzmann-Hamel equations: a roller-racer example. In Proc. 8th IFAC Symposium on
Robot Control, SYROCO.
[Type text] page 20
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
7. Kane, T.R. and D. L. Levinson. 1985. Dynamics - theory and applications. McGraw Hill.
8. Kane, T.R. and D. L. Levinson. 1996. The Use of Kane s Dynamical Equations in
Robotics. Int. J. Robot. Res. 2(3):3-21.
9. Kwatny, H.G. and G.L. Blankenship. 2000. Nonlinear control and analytical mechanics, a
computational approach. Boston: Birkhauser.
10. Lancos, C. 1986. The variational principles of mechanics. 4th ed. New York: Dover
Publ.
11. Layton, R.A. 1998. Principles of analytical system dynamics. New York: Springer-
Verlag.
12. Lewis, F.L., C. T. Abdallah and D. M. Dawson. 1996. Control of robot manipulators.
New York: Macmillan Publ. Comp.
13. Moon, F.C. 1998. Applied dynamics. John Wiley & Sons Inc.
14. Murray, R.M., Z.X. Li, and S.S. Sastry. 1994. A mathematical introduction to robotic
manipulation. Boca Raton, Florida: CRC Press.
[Type text] page 21
MODELOWANIE NIELINIOWYCH UKA
ADÓW MECHANICZNYCH
15. Nejmark, J.I. and N.A. Fufaev. 1972. Dynamics of nonholonomic systems. Providence,
Rhode Island: Am. Math. Society.
16. Papastavridis, J.G. 2002. Analytical mechanics, a comprehensive treatise on the
dynamics of constrained systems; for engineers, physicians, and mathematicians. New
York: Oxford University Press.
17. Pars, L.A. 1965. Treatise of analytical dynamics. London: W. Heinemann, Ltd.
18. Spong, M.W. and M. Vidyasagar. 1989. Robot control and dynamics. New York: Wiley.
19. Udwadia, F. and R. Kalaba. 1996. Analytical dynamics - a new approach. New York:
Cambridge Univ. Press.
[Type text] page 22