Metody opracowania danych.
Sprawozdanie z zadania domowego.
Opracowali:
CZERNIAK Paweł
KACZMARCZYK Robert
SOKOA
OWSKI Maciej
Dane: Zestaw X - Bierzemy pod uwagę tylko po 20 rekordów z każdej próby.
147,321 147,5584
148,734 153,4768
156,8894 151,3053
145,0995 155,7309
146,8033 152,7637
151,5682 153,477
152,9251 149,6837
152,2599 148,4443
153,8438 148,3832
147,9231 157,0036
157,8647 146,4919
159,6625 150,221
147,7095 148,7748
153,9655 144,4543
146,6546 151,4807
152,7813 146,6392
150,9646 150,1456
143,2212 149,9126
155,1119 145,7833
148,7313 147,3148
1. Sprawdzid czy obie próby należą do tej samej populacji.
2. Zbadad losowośd próby (pojedynczej czy połączonej  w zależności od wyniku zadania 1).
3. W zależności od wyników zadania 1, znalez
d podstawowe charakterystyki liczbowe z próby
(średnia, odchylenie standardowe).
4. Przedziałowo oszacowad średnią i wariancję dla poziomu ufności 0,95.
5. W zależności od koloru kolumn Zestawu (w zależności od wyniku zadania 1): zweryfikowad
hipotezę, że dane są opisane rozkładem normalnym N(150,5), przy poziomie istotności 0,05
6. Znalez
d prostoliniową funkcję regresji (przyjmując xi=1 do 70, yi  wartości w próbie).
1. Sprawdzid czy obie próby należą do tej samej populacji.
Wykorzystując test znaków, stawiamy hipotezę, że obie próby pochodzą z tej samej
populacji:
H0: F(x1)=F(x2)
147,321 147,5584 -0,2374 -
148,734 153,4768 -4,7428 -
+
156,8894 151,3053 5,584088
145,0995 155,7309 -10,6313 -
146,8033 152,7637 -5,96036 -
151,5682 153,477 -1,90873 -
+
152,9251 149,6837 3,241373
+
152,2599 148,4443 3,815651
+
153,8438 148,3832 5,460622
147,9231 157,0036 -9,08045 -
+
157,8647 146,4919 11,37282
+
159,6625 150,221 9,441488
147,7095 148,7748 -1,06527 -
+
153,9655 144,4543 9,511175
146,6546 151,4807 -4,82616 -
+
152,7813 146,6392 6,142114
+
150,9646 150,1456 0,819038
143,2212 149,9126 -6,69131 -
+
155,1119 145,7833 9,328582
+
148,7313 147,3148 1,416539
r=11
'+'
9
'-'
Korzystając z tabeli: Rozkładu liczby znaków, odczytuję wartośd: rą= 5. Przyjmując za n=20 i ą=0,05,
dla r=11. WNIOSEK:
r= 11 > rÄ…= 5,
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0. Tym samym stwierdzamy, że obie próby pochodzą z tej
samej populacji.
2. Zbadad losowośd próby.
Do wykonania tego zadania wykorzystamy test serii. Wiemy już, że próby są z jednej populacji. Więc,
wykorzystamy Model I. Stawiamy hipotezę, że obie próby są losowe.
Mediana wynosi: 150,029. W poniższej tabeli, każdej wartości mniejszej od mediany przypisujemy
symbol A, a każdej wartości większej symbol B.
Strona | 2
147,321 A 147,5584 A
148,734 A 153,4768 B
156,8894 B 151,3053 B
145,0995 A 155,7309 B
146,8033 A 152,7637 B
151,5682 B 153,477 B
152,9251 B 149,6837 A
152,2599 B 148,4443 A
153,8438 B 148,3832 A
147,9231 A 157,0036 B
157,8647 B 146,4919 A
159,6625 B 150,221 B
147,7095 A 148,7748 A
153,9655 B 144,4543 A
146,6546 A 151,4807 B
152,7813 B 146,6392 A
150,9646 B 150,1456 B
143,2212 A 149,9126 A
155,1119 B 145,7833 A
148,7313 A 147,3148 A
Ilośd serii k=24, ą=0,05
Korzystając z tablic: Rozkładu serii odczytujemy wartości.
1
"= 0,025 5ØXÜ1 = 14
2
1
1 - "= 0,975 5ØXÜ2 = 27
2
WNIOSEK:
Sprawdzamy hipotezÄ™:
k1 < k < k2
14 < 23 < 27
Jako, że k zawiera się w powyższym przedziale. Nie mamy podstaw do odrzucenia naszej hipotezy i
tym samym stwierdzamy, że próba jest losowa.
3. Znalez
d podstawowe charakterystyki liczbowe z próby.
Parametr Wartośd Parametr Wartośd
Średnia arytmetyczna 150,477 Rozstęp
Dominanta Nie występuje Wariancja 15,280
Mediana 150,029 Odchyl. Standardowe 3,900
Strona | 3
4. Przedziałowo oszacowad średnią i wariancję dla poziomu ufności 0,95.
W tym zadaniu zastosujemy przedział ufności dla średniej - MODEL III.
Dane:
Xj Nj
143,2 -144,8 2
144,8-146,4 2
146,4-148 9
148,0 - 149,6 5
149,6 -151,2 5
151,2 - 152,8 6
152,8-154,4 5
154,4-156 2
156-157,6 2
157,6-159,7 2
40
xj nj ‹j ‹jnj (‹j-xÅ›r)2 (‹j-xÅ›r)²nj
143,2 -144,8 2 144 288 41,95153 83,903058
144,8-146,4 2 145,6 291,2 23,78513 47,570258
146,4-148 9 147,2 1324,8 10,73873 96,648561
148,0 - 149,6 5 148,8 744 2,812329 14,061645
149,6 -151,2 5 150,4 752 0,005929 0,029645
151,2 - 152,8 6 152 912 2,319529 13,917174
152,8-154,4 5 153,6 768 9,753129 48,765645
154,4-156 2 155,2 310,4 22,30673 44,613458
156-157,6 2 156,8 313,6 39,98033 79,960658
157,6-159,7 2 158,4 316,8 62,77393 125,547858
" 40 6020,8 555,01796
Gdzie:
nj  liczba prób
xj  wartości prób
‹j  wartoÅ›d Å›rodkowa przedziaÅ‚u
xśr  średnia
h  wielkośd przedziałów: 1,6
xÅ›r = ‹jnj/nj = 150,52
s2 = (‹j-xÅ›r)2nj /nj =13,875
pop do s2: h^2/12= 0,2133
s2pop = s2-pop= 13,66212
s= pierwiastek(s2pop)= 3,696
Strona | 4
Z tablicy: Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy dla 1-ą=0,95; uą=1,96
s s
üð
PodstawiajÄ…c do wzoru: Pìðx -ð uað ×ð <ð m <ð x +ð uað ×ð =ð 1-ð að
íð żð
n n
îð þð
Otrzymujemy:
149,3745 < m < 151,6655,
WNIOSEK: Przedział liczbowy o koocach 149,374 i 151,665 obejmuje z ufnością 0,95 prawdziwą
średnią m w populacji.
Zastosujemy przedział ufności dla wariancji - MODEL II.
Dane z poprzedniego podpunktu.
PodstawiajÄ…c do wzoru:
ìð üð
ïð ïð
s s
ïð
Pïð <ð sð <ð ð 1-ðað
íð
uað żð
ïð1+ð uað ïð
1-ð
ïð ïð
2n 2n
îð þð
Otrzymujemy:
2,821 < sð < 5,356
WNIOSEK: Z ufnością ą=0,95 przedział liczbowy o koocach 2,821 i 5,356 obejmuje odchylenie
standardowe sð .
5. Zweryfikowad hipotezę, że dane są opisane rozkładem normalnym N(150,5), przy poziomie
istotności 0,05.
Zastosujemy test dla wartości średniej populacji- MODEL III.
Dane z poprzedniego zadania. uÄ…=1,96
Hipoteza: H0: m0=150;
H1: m0<150.
x -ð m0
Podstawiamy do wzoru: u =ð n = 0,88976
s
StÄ…d mamy:
u= 0,88976 < uÄ… = 1,96
Strona | 5
WNIOSEK: Wartośd u znalazła się w obszarze krytycznym, więc hipotezę H0 należy odrzucid na korzyśd
alternatywnej H1. Oznacza to, że z prawdopodobieostwem błędu mniejszym niż 0,05 możemy
twierdzid, że m0 jest niższe.
6. Znalez
d prostoliniową funkcję regresji (przyjmując xi=1 do 40, yi  wartości w próbie).
MODEL I:
5Ø[Ü 5Ø[Ü
5ØeÜ5ØVÜ - 5ØeÜ (5ØfÜ5ØVÜ - 5ØfÜ) 5ØeÜ5ØVÜ5ØfÜ5ØVÜ - 5Ø[Ü5ØeÜ5ØfÜ)
5ØVÜ=1 5ØVÜ=1
5ØNÜ = =
2
5Ø[Ü 5Ø[Ü
5ØeÜ5ØVÜ - 5ØeÜ 5ØeÜ5ØVÜ25Ø[Ü5ØeÜ2
5ØVÜ=1 5ØVÜ=1
5ØOÜ = 5ØfÜ - 5ØNÜ5ØeÜ
5ØCÜ 5ØfÜ5ØVÜ - 5ØaÜ 5ØþÞ5Ø`Ü5ØfÜ5ØVÜ < 5ØfÜ < 5ØfÜ5ØVÜ + 5ØaÜ5ØþÞ5Ø`Ü5ØfÜ5ØVÜ
1 (5ØeÜ5ØVÜ - 5ØeÜ)2
5Ø`Ü5ØfÜ5ØVÜ = 5Ø`Ü5Ø_Ü +
5Ø[Ü
5Ø[Ü (5ØeÜ5ØVÜ - 5ØeÜ)2
5ØVÜ=1
5Ø[Ü
1
5Ø`Ü5Ø_Ü = (5ØfÜ5ØVÜ - 5ØfÜ5ØVÜ)2
5Ø[Ü - 2
5ØVÜ=1
xi yi xi-xsr yi-ysr (xi-xsr)(yi-ysr) (xi-xsr)2
1 143,221 -19,5 -7,256 141,487 380,25
2 144,454 -18,5 -6,023 111,419 342,25
3 145,100 -17,5 -5,377 94,106 306,25
4 145,783 -16,5 -4,694 77,445 272,25
5 146,492 -15,5 -3,985 61,769 240,25
6 146,639 -14,5 -3,838 55,648 210,25
7 146,655 -13,5 -3,822 51,603 182,25
8 146,803 -12,5 -3,674 45,921 156,25
9 147,315 -11,5 -3,162 36,365 132,25
10 147,321 -10,5 -3,156 33,138 110,25
11 147,558 -9,5 -2,919 27,727 90,25
12 147,710 -8,5 -2,767 23,523 72,25
13 147,923 -7,5 -2,554 19,154 56,25
14 148,383 -6,5 -2,094 13,610 42,25
15 148,444 -5,5 -2,033 11,180 30,25
16 148,731 -4,5 -1,746 7,856 20,25
17 148,734 -3,5 -1,743 6,100 12,25
18 148,775 -2,5 -1,702 4,255 6,25
19 149,684 -1,5 -0,793 1,190 2,25
Strona | 6
20 149,913 -0,5 -0,564 0,282 0,25
21 150,146 0,5 -0,331 -0,166 0,25
22 150,221 1,5 -0,256 -0,384 2,25
23 150,965 2,5 0,488 1,219 6,25
24 151,305 3,5 0,828 2,899 12,25
25 151,481 4,5 1,004 4,517 20,25
26 151,568 5,5 1,091 6,002 30,25
27 152,260 6,5 1,783 11,589 42,25
28 152,764 7,5 2,287 17,150 56,25
29 152,781 8,5 2,304 19,587 72,25
30 152,925 9,5 2,448 23,257 90,25
31 153,477 10,5 3,000 31,498 110,25
32 153,477 11,5 3,000 34,500 132,25
33 153,844 12,5 3,367 42,085 156,25
34 153,965 13,5 3,489 47,095 182,25
35 155,112 14,5 4,635 67,207 210,25
36 155,731 15,5 5,254 81,435 240,25
37 156,889 16,5 6,412 105,805 272,25
38 157,004 17,5 6,527 114,215 306,25
39 157,865 18,5 7,388 136,673 342,25
40 159,662 19,5 9,186 179,117 380,25
820 6019,079 1749,078 5330
xśr= 20,5
yśr= 150,478
a= 0,328
b= 143,749
y=0,328x + 143,749
sr2= 0,549
sr= 0,741
Ä…= 0,05
tł=2
1/n= 0,025
MODEL II:
5Ø`Ü5Ø_Ü 5Ø`Ü5Ø_Ü
5ØCÜ 5ØNÜ - 5ØaÜ5ØþÞ 5Ø[Ü < 5ØNÜ < 5ØNÜ + 5ØaÜ5ØþÞ 5Ø[Ü = 1 - 5ØþÞ
(5ØeÜ5ØVÜ - 5ØeÜ)2 (5ØeÜ5ØVÜ - 5ØeÜ)2
5ØVÜ=1 5ØVÜ=1
Strona | 7
160
155
150
Funkcja regresji
Dolna krzywa ufności
145
Górna krzywa ufności
140
135
1 11 21 31
Przedział ufności:
0,307 < Ä… < 0,348
Strona | 8