Tomasz Kowalski
Prognozowanie i symulacje
Wykład 2
Pojęcia podstawowe.
Prognozowanie na podstawie liniowego modelu tendencji rozwojowej
Przewidywaniem nazywać będziemy wnioskowanie o zdarzeniach nieznanych (należących
do przeszłości lub przyszłości) na podstawie zdarzeń znanych.
Prognozowanie  to racjonalne, naukowe przewidywanie przyszłych zdarzeń. Oznacza to, że
w całym procesie badawczym korzysta się z dorobku nauk, metodologii, teorii odnoszących się do
badanych zjawisk. Prognoza jest sądem dotyczącym określonej przyszłości, weryfikowanym
empirycznie, niepewnym ale akceptowanym.
Należące do
przeszłości
Zdarzenia znane
Zdarzenia
nieznane
Należące do
przyszłości
Prognoza odnosi się do określonego obiektu, w którym zachodzą zjawiska (proste lub złożone)
opisywane przy pomocy zmiennych (jakościowych i ilościowych).
Główne problemy prognostyczne w finansach i bankowości:
1. Przedsiębiorstwo:
przychody ze sprzedaży, koszty uzyskania sprzedaży, przepływy gotówkowe, rentowność,
płynność finansowa, zadłużenie, zdolność kredytowa, kondycja finansowa, upadłość.
2. Rynek finansowy:
ceny papierów wartościowych, kursy walutowe, stopy procentowe, stopy zwrotu.
3. Samorządy lokalne
dochody budżetu, wydatki budżetu, liczba i struktura ludności, aktywność ekonomiczna ludności.
4. Rząd centralny:
wzrost gospodarczy, koniunktura gospodarcza, inflacja, aktywność gospodarcza ludności,
dochody/wydatki budżetu, stopa redyskontowa, emisja papierów wartościowych.
Funkcje prognoz:
" preparacyjna  gdy prognoza jest działaniem przygotowującym inne działanie (np. chcemy
wyjść w góry; aby podjąć taką decyzję, najpierw prognozujemy, jaka będzie pogoda i dopiero
potem podejmujemy decyzję dotyczącą wyjścia),
" aktywizująca  prognoza ma pobudzić do działań sprzyjających realizacji prognozy, jeśli
zapowiada zajście zdarzeń korzystnych lub prowadzić do działań zapobiegających realizacji
prognozy, jeśli prognoza zapowiada zajście zdarzeń niekorzystnych,
" informacyjna  prognoza oswaja nas z nadchodzącymi zmianami.
Prognozy aktywizujące, zapowiadające zajście zdarzeń niekorzystnych, to prognozy
ostrzegawcze.
Prognozy preparacyjne powinny być realistyczne, czyli o dużym stopniu zaufania.
Prognozowanie i symulacje. Wykład 2
2
W literaturze polskiej spotyka się najczęściej następujący podział prognoz:
Kryterium podziału Rodzaje prognoz
" prognozy długo-, średnio- i krótkoterminowe
" prognozy perspektywiczne i ponadperspektywiczne
Horyzont czasowy
" prognozy operacyjne i strategiczne
" prognozy proste i złożone
Charakter lub struktura
" prognozy ilościowe lub jakościowe
Stopień szczegółowości " prognozy ogólne i szczegółowe
" prognozy częściowe i całościowe
Zakres ujęcia " prognozy globalne i odcinkowe
" prognozy kompleksowe i fragmentaryczne
Zasięg terenowy " prognozy światowe, międzynarodowe, krajowe, regionalne
" prognozy indukcyjne, dedukcyjne, minimalne, średnie, maksymalne,
Metoda opracowania
czyste, weryfikowane, modelowe
Cel lub funkcja " prognozy ostrzegawcze, badawcze, normatywne, aktywne, pasywne
W ramach przedmiotu  Prognozowanie i symulacje zajmować się będziemy w głównej
mierze prognozowaniem ekonometrycznym (predykacją) w oparciu o modele ekonometryczne.
U podstaw tego rodzaju prognozowania leży zjawisko korelacji zmiennych ekonomicznych. Fakt, że
w przeszłości zaobserwowaliśmy występowanie pewnej korelacji między zmiennymi sprawia, iż 
w nadziei, że korelacja ta się utrzyma także w przyszłości  próbujemy o tej przyszłości formułować
sądy.
Okoliczności, z powodu których zmienne występujące w modelach korelują ze sobą:
1. Zmienne te pozostają w zależności przyczynowo-skutkowej.
W takim przypadku staramy się opisać w modelu charakter zależności, a zwłaszcza kierunek,
wyróżniając zmienne będące przyczynami oraz zmienne będące skutkami. Im bardziej
stabilny jest związek przyczynowo-skutkowy, tym większa pewność, z jaką możemy
wykorzystywać taki model w prognozowaniu.
2. Zmienne pozostają w zależności symptomatycznej.
W takim przypadku nie potrafimy wskazać zachodzącego między zmiennymi związku
przyczynowego, ale mamy podstawy sądzić, że istnieje ukryty mechanizm  jakaś wspólna
przyczyna sprawiająca, iż zmienne korelują. W takim przypadku posługujemy się tzw.
zmiennymi proxy.
W niektórych przypadkach nie potrafimy wskazać ani powodów istnienia ukrytego
mechanizmu, ani też odpowiedniej zmiennej-proxy. Wówczas:
a) Jeżeli rozważane zmienne charakteryzują się skłonnością do  jednokierunkowych zmian
w czasie , to uważamy, że wspólną  przyczyną takiej skłonności jest trend czasowy.
Modele trendu (modele tendencji rozwojowej) służą głównie celom prognostycznym, ze
względu na łatwość ich budowy i wykorzystania w prognozowaniu.
b) Jeżeli modelowana zmienna wykazuje wyraz
ne wahania, to zakładamy, że informacja o
działaniu ukrytego mechanizmu zawarta jest w zrealizowanych wartościach modelowych
zmiennych. Na tej podstawie budujemy różnorakie modele autoregresyjne (oznaczane,
stosownie do stopnia ich komplikacji, symbolami: AR, ARMA, ARIMA), lub szerzej modele
szeregów czasowych.
Prognozowanie i symulacje. Wykład 2
3
Prognozy ekonometryczne dzielimy na dwie podstawowe grupy:
1. Prognozy ex post - gdy dotyczą okresu, dla którego dane statystyczne są dostępne, lecz nie
zostały one wykorzystane do estymacji parametrów modelu,
2. Prognozy ex ante  gdy dotyczą okresu, dla którego nie istnieją informacje statystyczne,
odnośnie zmiennych występujących w modelu.
Pojęcia te zilustrowane zostały na poniższym schemacie:
Zakres prognoz EX POST
Zakres prognoz EX ANTE
obszar prognoz WYGASA
YCH
czas
chwila obecna
próba statystyczna
wykorzystana w estymacji
dane statystyczne są dostępne dane statystyczne nie są dostępne
Prognozy ekonometryczne mogą być dwojakiego rodzaju:
" prognozy punktowe,
" prognozy przedziałowe.
Prognoza punktowa jest liczbą uznaną za najlepszą ocenę wartości zmiennej prognozowanej
w okresie prognozowania. Prognozę tę otrzymuje się na podstawie modelu ekonometrycznego poprzez
podstawienie do niego odpowiednich wartości. W przypadku modelu tendencji rozwojowej do
oszacowanego równania w miejsce zmiennej t wstawia się numer T okresu prognozowania
*
i otrzymuje prognozę yT w okresie T. W przypadku modeli przyczynowo-skutkowych do
otrzymanego równania należy podstawić wartości zmiennych objaśniających przewidywane dla
okresu prognozowania T.
Prognoza przedziałowa jest przedziałem liczbowym, który ze z góry zadanym
prawdopodobieństwem, nazywanym wiarygodnością prognozy, zawiera nieznaną wartość zmiennej
prognozowanej w okresie prognozowania. Efektem wyznaczenia tej prognozy dla zmiennej Y w
* *
Ą#
okresie prognozowania T jest przedział ; gyT Ś# .
Ł#dyT ń#
Omówimy teraz procedurę otrzymania obu rodzajów prognoz w przypadku, gdy budowany
model ekonometryczny jest liniowym modelem tendencji rozwojowej.
1. Wprowadzamy dane liczbowe.
2. Szacujemy parametry a i b modelu Y = at + b +�t metodą najmniejszych kwadratów.
W tym celu:
a) obliczamy średnie arytmetyczne: t - zmiennej czasowej t oraz y - realizacji zmiennej Y:
nn
1
t = yt ,
"t, y = 1 "
nn
t =1 t=1
b) obliczamy wartości różnic: "t = t - t , "yt = yt - y , dla t =1,2,3,...,n ,
Prognozowanie i symulacje. Wykład 2
4
n n n n
2
c) wyznaczamy sumy = - t )2, =
""t "(t ""t"yt "(t - t )( yt - y) ,
t=1 t=1 t =1 t =1
d) obliczamy wartości ocen a*, b* parametrów a, b :
n
"(t - t )(yt - y)
t=1
a* = ; b* = y - a*t
n
"(t - t )2
t=1
3. Na podstawie otrzymanego modelu Y* = a *t + b * trendu liniowego wyznaczamy prognozę
punktową dla okresu T podstawiając do wzoru t = T . Jeżeli prognozy konstruujemy dla
k okresów, to do wzoru podstawiamy kolejno t = T1, T2, ... , Tk .
4. Wyznaczamy średni błąd prognozy dla okresu T.
W tym celu:
* *
a) obliczamy wartości teoretyczne yt = a *t + b * oraz reszty et = yt - yt
dla t =1,2,3,...,n ,
n
1
*2 2
b) obliczamy wartość �e =
"e oceny wariancji składnika losowego.
t
n - 2
t=1
Wówczas kwadrat średniego błędu prognozy dla okresu T wyraża się wzorem
Ą# ń#
ó#
1 (T - t )2 Ą#
*2 *2
ó# Ą#
.
�T = � �" 1+ +
e
n
n
ó#
"(t - t )2 Ą#
ó# Ą#
Ł# t =1 Ś#
Jeżeli prognozy konstruujemy dla k okresów, to w powyższym wzorze przyjmujemy kolejno
T = T1, T2, ... , Tk .
5. Dla założonej wiarygodności � wyznaczamy wartość współczynnika w� niezbędnego do
wyznaczenia prognozy przedziałowej. W tym celu:
a) gdy odchylenia losowe mają rozkład normalny oraz próba jest liczna (powyżej 30
obserwacji) posługujemy się dystrybuantą rozkładu normalnego w� = u� ,
b) gdy odchylenia losowe mają rozkład normalny dla małej próby (do 30 obserwacji)
posługujemy się rozkładem t-Studenta. Wtedy w� = t ,m , gdzie t,m jest wartością
krytyczną tego rozkładu dla poziomu istotności  =1- � przy m = n - 2 stopniach
swobody,
c) gdy w procesie weryfikacji nie sprawdzono normalności składnika losowego lub hipoteza
o jego normalności została odrzucona, wyznaczamy współczynnik w oparciu o wzór
1
wynikający z nierówności Czebyszewa: w� = , w którym współczynnik ten zależy
1- �
od wiarygodności prognozy.
* *
6. Wyznaczamy granice przedziału prognozy dla okresu T : dolną dyT oraz górną gyT
w oparciu o wzory:
* * * * * *
dyT = yT - w� �"�T , gyT = yT + w� �"�T .
Jeżeli prognozy przedziałowe konstruujemy dla k okresów, to w powyższych wzorach
przyjmujemy kolejno T = T1, T2, ... , Tk .
Prognozowanie i symulacje. Wykład 2
5
Uwagi:
1. Otrzymany na pewnym etapie prognozowania średni błąd dla okresu T określa, o ile przeciętnie
prognoza punktowa będzie się różnić od wartości rzeczywistej.
2. Analizując wzór na kwadrat średniego błędu prognozy dla okresu T
Ą# ń#
ó#
1 (T - t )2 Ą#
*2 *2
ó# Ą#
�T = � �" 1+ +
e
n
n
ó#
"(t - t )2 Ą#
ó# Ą#
Ł# t =1 Ś#
możemy stwierdzić, że oczekiwany błąd prognozy:
*2
a) rośnie, gdy wzrasta wariancja zakłóceń �e ,
b) rośnie, gdy wartości zmiennej czasowej oddalają się od średniej, w szczególności gdy wzrasta
numer okresu prognozy ex ante,
c) maleje, gdy wzrasta ilość obserwacji użytych do skonstruowania modelu,
d) maleje, gdy wzrasta zmienność zmiennej czasowej.
*
3. Wyznaczone przy danym poziomie wiarygodności � granice przedziału prognozy: dyT oraz
* * * *
gyT są tak dobrane, że P{dyT < yT < gyT } = � . Innymi słowy, możemy wtedy stwierdzić, że
z prawdopodobieństwem � wielkość prognozowana w okresie T znajdzie się w przedziale
* *
Ą#Ś#
Ł#dyT ; gyT ń# .
Przykład 1. Poniższa tabela przedstawia wielkości produkcji pewnego przedsiębiorstwa (w tys.
dolarów) w latach 1970  1982. Na podstawie tych danych zbudować liniowy model tendencji
rozwojowej, a następnie z jego pomocą wyznaczyć prognozę punktową oraz prognozę przedziałową
dla roku 1984 zakładając wiarygodność � = 0,95 .
Lata t Produkcja yt
1970 1 13,9
1971 2 14,1
1972 3 14,2
1973 4 14,7
1974 5 15,1
1975 6 15,7
1976 7 15,8
1977 8 16,2 Rozwiązanie. Ilustracja graficzna danych
1978 9 16,5 przedstawiona poniżej upewnia nas, że do opisu
zależności można użyć modelu tendencji
1979 10 16,7
rozwojowej.
1980 11 16,9
1981 12 17,1
1982 13 17,3
Produkcja przemysłowa przedsiębiorstwa
18
17
16
15
Dane
14
13
12
11
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Prognozowanie i symulacje. Wykład 2
6
Obliczenia niezbędne do wyznaczenia współczynników modelu zebrane zostały w poniższej tabelce:
yt (t - t )2 yt - y (yt - y)2 (t - t )( yt - y)
t - t
t
1 13,9 -6 36 -1,81 3,27 10,85
2 14,1 -5 25 -1,61 2,58 8,04
3 14,2 -4 16 -1,51 2,27 6,03
4 14,7 -3 9 -1,01 1,02 3,02
5 15,1 -2 4 -0,61 0,37 1,22
6 15,7 -1 1 -0,01 0,00 0,01
7 15,8 0 0 0,09 0,01 0,00
8 16,2 1 1 0,49 0,24 0,49
9 16,5 2 4 0,79 0,63 1,58
10 16,7 3 9 0,99 0,98 2,98
11 16,9 4 16 1,19 1,42 4,77
12 17,1 5 25 1,39 1,94 6,96
13 17,3 6 36 1,59 2,54 9,55
7 15,71 182 17,27 55,50
"(t - t )(yt - y)
y - y)2
t
"(t - t )2 "(yt
Stąd
n
"(t - t )(yt - y) 55,5
t =1
a* == = 0,30 , b* = y - a* �" t =15,71- 0,30�" 7 =13,61 .
n
"(t - t )2 182
t =1
*
Oznacza to, że wielkość produkcji yt w roku t można obliczać w oparciu o wzór:
yt* = 0,3�"t +13,61.
Wyznaczymy prognozę punktową na rok 1984 przyjmując w powyższym wzorze t =15 .
Mamy zatem
*
y15 = 0,3�"15 +13,61=18,06 .
Powyższe dane i prognozę punktową przedstawiono na wykresie:
19
18
17
16
Dane
15
Trend
14
Prog.pkt
13
12
11
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Zauważmy, że punkt odpowiadający prognozie punktowej leży na przedłużeniu linii
odzwierciedlającej trend.
Prognozowanie i symulacje. Wykład 2
7
Dokonamy teraz prognozy przedziałowej na rok 1984 przyjmując jako wiarygodność prognozy
� = 0,95 . Najpierw przeprowadzimy obliczenia wariancji resztowej modelu
* *
yt yt et = yt - yt Mamy
et2
t
n
2
1 13,9 13,88 0,02 0,00048
"e 0,34478
t
*2
t =1
2 14,1 14,18 -0,08 0,00688
� = = = 0,031343656 .
e
n - 2 13 - 2
3 14,2 14,49 -0,29 0,08289
4 14,7 14,79 -0,09 0,00862
Korzystając teraz ze wzoru na średni błąd
5 15,1 15,10 0,00 0,00000
prognozy dla okresu T =15 otrzymamy
6 15,7 15,40 0,30 0,08836
Ą#ń#
ó#
7 15,8 15,71 0,09 0,00852 1 (T - t )2 Ą#
*2 *2
ó#Ą#
�T = �e �" 1+ + =
n
n
8 16,2 16,01 0,19 0,03510 ó#
"(t - t )2 Ą#
ó#Ą#
Ł# t=1 Ś#
9 16,5 16,32 0,18 0,03328
Ą#ń#
1 (15 - 7)2
10 16,7 16,62 0,08 0,00600
= 0,031343656 �" + = 0,04477665
ó#1+ 13 182 Ą#
Ł#Ś#
11 16,9 16,93 -0,03 0,00075
12 17,1 17,23 -0,13 0,01753
Zatem
13 17,3 17,54 -0,24 0,05634
*
�T = 0,04477665 = 0,211605 .
0,34478
2
"et
.
Po zbudowaniu modelu ekonometrycznego nie sprawdzono normalności składnika losowego,
zatem współczynnik w� wyznaczamy w oparciu o wzór wynikający z nierówności Czebyszewa:
11
w� == = 20 = 4,47 .
1- � 1- 0,95
Wyznaczając granice przedziału prognozy dostajemy
* * *
dyT = yT - w� �"�T =18,06 - 4,47 �" 0,211605 =17,114 ,
* * *
gyT = yT + w� �"�T = 18,06 + 4,47 �" 0,211605 = 19,006 .
Ilustracja graficzna:
20
19
18
17 Dane
16 Trend
Prog.pkt
15
Prog.dol
14
Prog.gór.
13
12
11
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15